
Distribuciones de Poisson
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En el caso en que la probabilidad es muy pequeña la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson.
ID:(1555, 0)

Distribución binomial
Ecuación 
Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por
W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2} |
con el número total de pasos es
N=n_1+n_2 |
y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que
p+q=1 |
por lo que con se tiene la distribución binomial
W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n } |
ID:(8961, 0)

Aplicación de la aproximación de Sterling
Ecuación 
Por ello expresiones como
u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u |
con lo que se obtiene con
osea
N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!} |
ID:(4738, 0)

Desviación estandard de distribución de Poisson
Ecuación 
La desviación estandard de la distribución binomial en el límite
\lambda=Np |
ID:(8964, 0)

Estimación de N! p^n/(N-n)! si p\sim 0 y N\gg n
Ecuación 
Con la aproximación
N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!} |
y empleando
\lambda=Np |
se puede mostrar que
\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n |
ID:(8969, 0)

Estimación de (1-p)^{N-n} si p\sim 0 y N\gg n
Ecuación 
Como el exponencial se define como
e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u |
y al introducir
\lambda=Np |
se puede reemplazar
e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n} |
ID:(8968, 0)

Poisson: Probabilidad para N grandes y p pequeños
Ecuación 
Como la probabilidad de dar
W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n } |
para un número grande
\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n |
y
e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n} |
la distribución binomial se reduce a una distribución de Poisson:
P_{\lambda}(n) =\displaystyle\frac{ \lambda ^ n }{ n! }e^{- \lambda } |
ID:(3369, 0)

Ejemplo comparación con distribución de Poisson
Imagen 
Si se estudia la distribución binomial para números grandes
ID:(7794, 0)

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Video: Distribuciones de Poisson