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Drehmoment mit konstantem Trägheitsmoment
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Wenn der Drehzustand des Körpers geändert werden soll, muss der Drehimpuls geändert werden.
Die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, wird als Drehmoment bezeichnet, das als Änderung des Drehimpulses in der Zeit definiert ist, und ist vektoriell, da die Änderung des Drehimpulses ist. Dies wurde von Newton in seinem zweiten Prinzip im Falle der Rotation definiert.
ID:(599, 0)
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Gleichungen
$ a = r \alpha_0 $
a = r * alpha
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $
alpha_m = alpha_0
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$
alpha_m = Domega / Dt
$ \Delta L = L - L_0 $
DL = L - L_0
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $
Domega = omega - omega_0
$ \Delta p = p - p_0 $
Dp = p - p_0
$ \Delta t \equiv t - t_0 $
Dt = t - t_0
$ L = I \omega $
L = I * omega
$ L = r p $
L = r * p
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$
omega = omega_0 + alpha_0 * ( t - t_0 )
$ T = I \alpha_0 $
T = I * alpha
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$
theta = theta_0 + omega_0 *( t - t_0 )+ alpha_0 *( t - t_0 )^2/2
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$
theta = theta_0 +( omega ^2 - omega_0 ^2)/(2* alpha_0 )
$ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$
T_m = DL / Dt
ID:(15530, 0)
Drehimpuls
Gleichung
Der Moment ($p$) wurde als das Produkt von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert, was gleich ist zu:
| $ p = m_i v $ |
Das Analogon zu die Geschwindigkeit ($v$) im Fall der Rotation ist die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$), daher sollte das Äquivalent zu der Moment ($p$) ein der Angular Momentum ($L$) in der Form sein:
| $ L = I \omega $ |
.
die Träge Masse ($m_i$) ist mit der Trägheit bei der Translation eines Körpers verbunden, daher entspricht der Massenträgheitsmoment ($I$) der Trägheit bei der Rotation eines Körpers.
ID:(3251, 0)
Drehimpuls- und Momentbeziehung
Gleichung
Ähnlich wie das Verhältnis zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit, dargestellt durch die Gleichung:
| $ v = r \omega $ |
können wir eine Beziehung zwischen dem Drehimpuls und dem translatorischen Impuls herstellen. Allerdings ist in diesem Fall der multiplizierende Faktor nicht der Radius, sondern vielmehr der Moment. Die Beziehung wird ausgedrückt als:
| $ L = r p $ |
.
ID:(1072, 0)
Mittleres Drehmoment
Gleichung
Im Fall der Translation definiert das zweite Prinzip, wie die translatorische Bewegung mit der Definition der Kraft erzeugt wird
| $ F \equiv\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta t }$ |
Im Fall der Rotation ändert sich innerhalb eines Zeitintervalls $\Delta t$ der Drehimpuls $\Delta L$ wie folgt:
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
.
ID:(9876, 0)
Drehmoment für konstantes Trägheitsmoment
Gleichung
Im Fall, dass das Trägheitsmoment konstant ist, ist die Ableitung des Drehimpulses gleich
| $ L = I \omega $ |
was bedeutet, dass das Drehmoment gleich ist
| $ T = I \alpha_0 $ |
| $ T = I \alpha $ |
Da das Moment gleich ist
| $ L = I \omega $ |
folgt daraus, dass im Fall, dass sich das Trägheitsmoment nicht mit der Zeit ändert,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
was bedeutet, dass
| $ T = I \alpha $ |
.
Diese Beziehung entspricht dem Äquivalent des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation anstelle von Translation.
ID:(3253, 0)
Variation des Drehimpulses
Gleichung
Ähnlich wie im Fall der Translation, wo das dritte Prinzip besagt, dass jede Aktion eine gleich große und entgegengesetzte Reaktion hat:
| $ \Delta p = p - p_0 $ |
Das analoge Konzept in der Rotation ist
| $ \Delta L = L - L_0 $ |
.
ID:(9875, 0)
Winkelgeschwindigkeit mit konstanter Winkelbeschleunigung
Gleichung
Mit die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) stellt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine lineare Beziehung mit der Zeit ($t$) her, die auch die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$) einbezieht, wie folgt:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Daher, unter Berücksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
kann die Gleichung für die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
wie folgt ausgedrückt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Auflösen erhalten wir:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Diese Gleichung repräsentiert eine Gerade im Raum der Winkelgeschwindigkeit gegenüber der Zeit.
ID:(3237, 0)
Variation der Winkelgeschwindigkeiten
Gleichung
Die Beschleunigung wird als Änderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit definiert.
Daher kann die Winkelbeschleunigung die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Zeit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ausgedrückt werden:
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
ID:(3681, 0)
Verstrichenen Zeit
Gleichung
Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, müssen wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnen. Diese Größe wird durch Messung von der Startzeit ($t_0$) und der der Zeit ($t$) dieser Bewegung erhalten. Die Dauer wird bestimmt, indem die Anfangszeit von der Endzeit subtrahiert wird:
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 0)
Momentum Differenz
Gleichung
Nach Galileo tendieren Körper dazu, ihren Bewegungszustand beizubehalten, das bedeutet, der Impuls
$\vec{p} = m\vec{v}$
sollte konstant bleiben. Wenn es eine Einwirkung auf das System gibt, die seine Bewegung beeinflusst, wird dies mit einer Veränderung des Impulses verbunden sein. Die Differenz zwischen dem anfänglichen Impuls $\vec{p}_0$ und dem endgültigen Impuls $\vec{p}$ kann wie folgt ausgedrückt werden:
| $ \Delta p = p - p_0 $ |
ID:(3683, 0)
Angulo bei Konstanter Winkelbeschleunigung
Gleichung
Da der gesamte Weg der Fläche unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit gegenüber der Zeit entspricht, ergibt sich im Fall von eine Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$), dass der Weg der Winkel ($\theta$) mit den Variablen der Anfangswinkel ($\theta_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ist:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Da der zurückgelegte Winkel gleich der Fläche unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugefügt werden.
Dies führt uns zu dem Ausdruck für der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Diese Ausdruck entspricht der allgemeinen Form einer Parabel.
ID:(3682, 0)
Bremswinkel als Funktion der Winkelgeschwindigkeit
Gleichung
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) wird die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) bezüglich der Zeit ($t$), zusammen mit den zusätzlichen Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$), durch die Gleichung ausgedrückt:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Aus dieser Gleichung lässt sich die Beziehung zwischen der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$) sowie die Veränderung der Winkelgeschwindigkeit berechnen:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) auflösen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir den folgenden Ausdruck für die Zeit:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Diese Lösung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
was in der folgenden Gleichung resultiert:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
ID:(4386, 0)
Beschleunigung und Winkelbeschleunigung
Gleichung
Wenn wir das Verhältnis zwischen die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$), der Radio ($r$) und die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$), das in der folgenden Gleichung dargestellt ist:
| $ v = r \omega $ |
durch den Wert von der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, können wir den Faktor ermitteln, der es uns ermöglicht, die Winkelbeschleunigung entlang der Umlaufbahn zu berechnen:
| $ a = r \alpha_0 $ |
| $ a = r \alpha $ |
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gemäß
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ergibt sich folgende Gleichung:
| $ a = r \alpha $ |
ID:(3236, 0)
Mittlere Winkelbeschleunigung
Gleichung
Die Rate, mit der sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ändert, wird als die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) definiert. Um dies zu messen, müssen wir die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) beobachten.
Die Gleichung, die die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) beschreibt, lautet wie folgt:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zurückgelegten Winkel
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
und der verstrichenen Zeit
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls.
ID:(3234, 0)
Konstante Winkelbeschleunigung
Gleichung
Wenn die Beschleunigung nicht variiert, wird die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) sein, was wie folgt ausgedrückt wird:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
ID:(9873, 0)