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Torque con momento de inercia constante
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Si se desea modificar el estado rotacional del cuerpo se debe modificar el momento angular.
La velocidad con que esto ocurre se denomina torque definida como la variación del momento angular en el tiempo y es vectorial dado que la variación del momento angular lo es. Esto lo definió Newton en su segundo principio para el caso de la rotación.
ID:(599, 0)
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Ecuaciones
$ a = r \alpha_0 $
a = r * alpha
$ \bar{\alpha} = \alpha_0 $
alpha_m = alpha_0
$ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$
alpha_m = Domega / Dt
$ \Delta L = L - L_0 $
DL = L - L_0
$ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $
Domega = omega - omega_0
$ \Delta p = p - p_0 $
Dp = p - p_0
$ \Delta t \equiv t - t_0 $
Dt = t - t_0
$ L = I \omega $
L = I * omega
$ L = r p $
L = r * p
$ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$
omega = omega_0 + alpha_0 * ( t - t_0 )
$ T = I \alpha_0 $
T = I * alpha
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$
theta = theta_0 + omega_0 *( t - t_0 )+ alpha_0 *( t - t_0 )^2/2
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$
theta = theta_0 +( omega ^2 - omega_0 ^2)/(2* alpha_0 )
$ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$
T_m = DL / Dt
ID:(15530, 0)
Momento angular
Ecuación
El momento ($p$) fue definido como el producto de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$), lo cual es igual a:
| $ p = m_i v $ |
El análogo de la velocidad ($v$) en el caso de la rotación es la velocidad angular instantánea ($\omega$), por lo tanto, el equivalente a el momento ($p$) debería ser un el momento Angular ($L$) de la forma:
| $ L = I \omega $ |
.
la masa inercial ($m_i$) se asocia con la inercia en la traslación de un cuerpo, por lo que el momento de inercia ($I$) corresponde a la inercia en la rotación de un cuerpo.
ID:(3251, 0)
Relación momento angular y momento
Ecuación
Similar a la relación existente entre la velocidad y la velocidad angular, representada por la ecuación:
| $ v = r \omega $ |
podemos establecer una relación entre el momento angular y el momento de traslación. Sin embargo, en esta instancia, el factor multiplicativo no es el radio, sino más bien el momento. La relación se expresa como:
| $ L = r p $ |
ID:(1072, 0)
Torque medio
Ecuación
En el caso de la translación, el segundo principio define cómo se genera el movimiento traslacional con la definición de la fuerza
| $ F \equiv\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta t }$ |
En el caso de la rotación, en un intervalo de tiempo $\Delta t$, el momento angular $\Delta L$ varía de acuerdo a:
| $ T_m =\displaystyle\frac{ \Delta L }{ \Delta t }$ |
.
ID:(9876, 0)
Torque para momento de inercia constante
Ecuación
En el escenario en el que el momento de inercia es constante, la derivada del momento angular es igual a
| $ L = I \omega $ |
lo cual implica que el torque es igual a
| $ T = I \alpha_0 $ |
| $ T = I \alpha $ |
Dado que el momento es igual a
| $ L = I \omega $ |
se sigue que en el caso en que el momento de inercia no cambia con el tiempo,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
lo que implica que
| $ T = I \alpha $ |
.
Esta relación equivale a la segunda ley de Newton en el contexto de la rotación en lugar de la traslación.
ID:(3253, 0)
Variación del momento angular
Ecuación
De manera similar al caso de la traslación, donde el tercer principio establece que toda acción tiene una reacción igual y opuesta:
| $ \Delta p = p - p_0 $ |
El análogo en el caso de la rotación es
| $ \Delta L = L - L_0 $ |
.
ID:(9875, 0)
Velocidad angular con aceleración angular constante
Ecuación
Con la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) establece una relación lineal con el tiempo ($t$), que también incorpora las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), tal que:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Si suponemos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es constante, equivalente a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), entonces se aplica la siguiente ecuación:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Por lo tanto, al considerar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto con la velocidad angular ($\omega$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) en relación con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
la ecuación para la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
puede expresarse como:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Despejando esta última, obtenemos:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Esta ecuación representa una recta en el plano de velocidad angular versus tiempo.
ID:(3237, 0)
Variación de velocidades angulares
Ecuación
La aceleración se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.
Por lo tanto, la aceleración angular la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se puede expresar en términos de la velocidad angular la velocidad angular ($\omega$) y el tiempo la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la siguiente manera:
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
ID:(3681, 0)
Tiempo transcurrido
Ecuación
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 0)
Diferencia de momento
Ecuación
Según Galileo, los cuerpos tienden a mantener su estado de movimiento, lo que hoy denominamos la variación del momento ($\Delta p$) y que se calcula con la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) mediante
| $ p = m_i v $ |
debe ser constante. Si hay alguna acción sobre el sistema que afecte su movimiento, estará asociada a la variación del momento ($\Delta p$) que se calcula de el momento ($p$) y el momento inicial ($p_0$) con:
| $ \Delta p = p - p_0 $ |
ID:(3683, 0)
Angulo para aceleración angular constante
Ecuación
Dado que el desplazamiento total corresponde al área bajo la curva de velocidad angular frente al tiempo, en el caso de una aceleración angular constante ($\alpha_0$), se determina que el desplazamiento el ángulo ($\theta$) con las variables el ángulo inicial ($\theta_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) es el siguiente:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la velocidad angular ($\omega$) en función de el tiempo ($t$) sigue una relación lineal con el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la forma:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Dado que el ángulo recorrido es igual al área bajo la curva de velocidad angular-tiempo, en este caso se puede sumar la contribución del rectángulo:
$\omega_0(t-t_0)$
y el triángulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
Esto nos lleva a la expresión para el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Esta expresión corresponde a la forma general de una parábola.
ID:(3682, 0)
Angulo de frenado en función de la velocidad angular
Ecuación
En el caso de la aceleración angular constante ($\alpha_0$), la función de la velocidad angular ($\omega$) respecto a el tiempo ($t$), con variables adicionales la velocidad angular inicial ($\omega_0$) y el tiempo inicial ($t_0$), está expresada por la ecuación:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
A partir de esta ecuación, es posible calcular la relación entre el ángulo ($\theta$) y el ángulo inicial ($\theta_0$), así como el cambio en la velocidad angular:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
Si resolvemos la ecuación de la velocidad angular ($\omega$) en términos de tiempo, que incluye las variables la velocidad angular inicial ($\omega_0$), el tiempo ($t$), el tiempo inicial ($t_0$) y la aceleración angular constante ($\alpha_0$):
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
obtenemos la siguiente expresión para el tiempo:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Esta solución puede ser sustituida en la ecuación para calcular el ángulo ($\theta$) utilizando el ángulo inicial ($\theta_0$) de la siguiente manera:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
Lo que resulta en la siguiente ecuación:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
ID:(4386, 0)
Aceleración y aceleración angular
Ecuación
Si dividimos la relación entre la velocidad media ($\bar{v}$), el radio ($r$) y la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), expresada en la siguiente ecuación:
| $ v = r \omega $ |
por el valor de el tiempo transcurrido ($\Delta t$), podemos obtener el factor que nos permite calcular la aceleración angular a lo largo de la órbita:
| $ a = r \alpha_0 $ |
| $ a = r \alpha $ |
Dado que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) según
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) conforme a
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
se deduce que
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Si asumimos que la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$)
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
y suponiendo que la aceleración media ($\bar{a}$) es igual a la aceleración constante ($a_0$)
| $ a_0 = \bar{a} $ |
entonces se obtiene la siguiente ecuación:
| $ a = r \alpha $ |
ID:(3236, 0)
Aceleración angular media
Ecuación
La proporción en la que la variación de la velocidad angular a lo largo del tiempo se define como la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
La ecuación que describe la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es la siguiente:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
La aceleración angular media se define como la proporción del ángulo recorrido
| $ \Delta\omega = \omega - \omega_0 $ |
y el tiempo transcurrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Esta relación entre ambos se establece como la aceleración angular media
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
durante dicho intervalo de tiempo.
ID:(3234, 0)
Aceleración angular constante
Ecuación
Si la aceleración no varía, la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) será igual a la aceleración angular constante ($\alpha_0$), lo que se expresa como:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
ID:(9873, 0)