Storyboard

O momento de inércia é o equivalente rotacional da massa no movimento de translação. No caso de uma esfera que gira em torno de um eixo que passa por seu centro, o caso mais simples ocorre quando a rotação acontece ao redor do centro de massa.

>Modelo

ID:(2088, 0)

Iframe

>Top

ID:(15856, 0)

Descrição

>Top

Quando o eixo de rotação não passa pelo centro de massa (CM), o momento de inércia $I$ pode ser calculado usando o Teorema de Steiner. Para isso, começa-se com o momento de inércia em relação ao centro de massa, por exemplo:

• Para uma barra com um eixo perpendicular, é calculado

• Para um cilindro com um eixo perpendicular, é calculado

• Para um cilindro com um eixo paralelo, é calculado

• Para um paralelepípedo, é calculado

• Para um cubo, é calculado

• Para uma esfera, é calculado

Em seguida, a massa multiplicada pelo quadrado da distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é adicionada

ID:(15867, 0)

Imagem

>Top

Uma esfera com massa $m$ e raio $r$ está girando em torno do seu centro de massa, que se localiza no centro da esfera:

ID:(10490, 0)

Imagem

>Top

Para uma esfera com um eixo a uma distância do centro:

cujo momento de inércia em relação ao centro de massa (CM) é definido como massa corporal $kg$, momento de Inércia CM de uma Esfera $kg m^2$ e raio da esfera $m$

o cálculo do momento de inércia pode ser realizado utilizando o teorema de Steiner com a seguinte fórmula distância centro de massa e eixo $m$, massa corporal $kg$, momento de inércia do centro de massa $kg m^2$ e momento de inércia do eixo que não passa pelo CM $kg m^2$

.

ID:(11553, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$\alpha_0$

alpha_0

Aceleração angular constante

rad/s^2

$\theta_0$

theta_0

ângulo inicial

rad

$d$

d

Distância centro de massa e eixo

m

$m$

m

Massa corporal

kg

$I_{CM}$

I_CM

Momento de Inércia CM de uma Esfera

kg m^2

$I$

I

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

kg m^2

$r$

r

Rádio

m

$r_e$

r_e

Raio da esfera

m

$t_0$

t_0

Tempo inicial

s

$T$

T

Torque

N m

$\omega_0$

omega_0

Velocidade angular inicial

rad/s

Variáveis

$\theta$

theta

Ângulo

rad

$F$

F

Força

N

$t$

t

Tempo

s

$\omega$

omega

Velocidade angular

rad/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15861, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O momento de inércia de uma esfera que gira em torno de um eixo que passa pelo centro é obtido pela segmentação do corpo em pequenos volumes e somando:



resultando em

$I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$

Condições

Variáveis

$m$

Massa corporal

$kg$

6150

$I_{CM}$

Momento de Inércia CM de uma Esfera

$kg m^2$

5326

$r_e$

Raio da esfera

$m$

5321

Relação

.

ID:(4436, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) pode ser calculado usando la momento de inércia do centro de massa ($I_{CM}$) e somando o momento de inércia de la massa corporal ($m$) como se fosse uma massa pontual em la distância centro de massa e eixo ($d$):

$I = I_{CM} + m d ^2$

Condições

Variáveis

$d$

Distância centro de massa e eixo

$m$

5285

$m$

Massa corporal

$kg$

6150

$I_{CM}$

$I_{CM}$

Momento de Inércia CM de uma Esfera

$kg m^2$

5326

$I$

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

$kg m^2$

5315

Relação

ID:(3688, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Dado que a relação entre o momento angular e o torque é

sua derivada temporal nos leva à relação do torque

$T = r F$

Condições

Variáveis

$F$

Força

$N$

4975

$r$

Rádio

$m$

9884

$T$

Torque

$N m$

4988

Relação

A rotação do corpo ocorre em torno de um eixo na direção do torque, que passa pelo centro de massa.

ID:(4431, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que o momento de inércia é constante, a derivada do momento angular é igual a

o que implica que o torque é igual a

$T = I \alpha_0$

$T = I \alpha$

Condições

Variáveis

$\alpha$

$\alpha_0$

Aceleração angular constante

$rad/s^2$

5298

$I$

$I$

Momento de inércia do eixo que não passa pelo CM

$kg m^2$

5315

$T$

Torque

$N m$

4988

Relação

Desenvolvimento

Como o momento é igual a

$L = I \omega$

segue-se que no caso em que o momento de inércia não muda com o tempo,

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$

o que implica que

$T = I \alpha$

.

Essa relação é o equivalente da segunda lei de Newton para a rotação em vez da translação.

ID:(3253, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) forma uma relação linear com o tempo ($t$), incorporando as variáveis la velocidade angular inicial ($\omega_0$) e o tempo inicial ($t_0$) da seguinte forma:

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Condições

Variáveis

$\alpha_0$

Aceleração angular constante

$rad/s^2$

5298

$t$

Tempo

$s$

5264

$t_0$

Tempo inicial

$s$

5265

$\omega$

Velocidade angular

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

Se assumirmos que la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$) é constante, equivalente a la aceleração angular constante ($\alpha_0$), então a seguinte equação se aplica:

$\bar{\alpha} = \alpha_0$

Portanto, considerando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) junto com la velocidade angular ($\omega$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$):

$\Delta\omega = \omega - \omega_0$

e o tempo decorrido ($\Delta t$) em relação a o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):

$\Delta t \equiv t - t_0$

a equação para la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):

$\bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

pode ser expressa como:

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$

Resolvendo isso, obtemos:

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Esta equação representa uma linha reta no plano de velocidade angular versus tempo.

ID:(3237, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Dado que o deslocamento total corresponde à área sob a curva de velocidade angular versus tempo, no caso de uma aceleração angular constante ($\alpha_0$), determina-se que o deslocamento o ângulo ($\theta$) com as variáveis o ângulo inicial ($\theta_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$) é o seguinte:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Condições

Variáveis

$\alpha_0$

Aceleração angular constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Ângulo

$rad$

6065

$\theta_0$

ângulo inicial

$rad$

5296

$t$

Tempo

$s$

5264

$t_0$

Tempo inicial

$s$

5265

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), la velocidade angular ($\omega$) como função de o tempo ($t$) segue uma relação linear com o tempo inicial ($t_0$) e la velocidade angular inicial ($\omega_0$) na forma:

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Dado que o deslocamento angular é igual à área sob a curva de velocidade angular-tempo, neste caso, pode-se adicionar as contribuições do retângulo:

$\omega_0(t-t_0)$

e do triângulo:

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$

Isso nos leva à expressão para o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$):

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Essa expressão corresponde à forma geral de uma parábola.

ID:(3682, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de la aceleração angular constante ($\alpha_0$), a função de la velocidade angular ($\omega$) em relação a o tempo ($t$), juntamente com as variáveis adicionais la velocidade angular inicial ($\omega_0$) e o tempo inicial ($t_0$), é expressa pela equação:

A partir desta equação, é possível calcular a relação entre o ângulo ($\theta$) e o ângulo inicial ($\theta_0$), bem como a mudança na velocidade angular:

$\theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

Condições

Variáveis

$\alpha_0$

Aceleração angular constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Ângulo

$rad$

6065

$\theta_0$

ângulo inicial

$rad$

5296

$\omega$

Velocidade angular

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

Se resolvermos o tempo na equação de la velocidade angular ($\omega$) que inclui as variáveis la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$), o tempo inicial ($t_0$) e la aceleração angular constante ($\alpha_0$):

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

obtemos a seguinte expressão para o tempo:

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$

Esta solução pode ser substituída na equação para calcular o ângulo ($\theta$) usando o ângulo inicial ($\theta_0$) da seguinte forma:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

o que resulta na seguinte equação:

$\theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

ID:(4386, 0)