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Das Trägheitsmoment ist der Drehfaktor, der der Masse in der Translation entspricht.

Das Trägheitsmoment kann empirisch bestimmt werden, indem ein Körper um eine Achse gedreht oder berechnet wird, wie sich die Masse um die Achse verteilt.

>Modell

ID:(600, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Eine einfache Anwendung des Steiner'schen Satzes ist eine Punktmasse $m$ in einem Abstand $L$ von einer Achse. Da eine Punktmasse keine Abmessungen hat, besitzt sie kein Trägheitsmoment bezüglich ihres Schwerpunkts. Jedoch, da der Schwerpunkt gemäß dem Steiner'schen Satz einen Abstand von $L$ zur Achse hat,

wird ihr Trägheitsmoment sein:

$I = m L ^2$

Bedingungen

Variablen

$L$

Pendel Länge

$m$

6282

$m$

Punkt Messe

$kg$

6281

$I$

Trägheitsmoment eines mathematischen Pendels

$kg m^2$

9799

Beziehung

.

ID:(9880, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Gesamtträgheitsmoment $I_t$ eines Objekts wird berechnet, indem die Trägheitsmomente seiner Komponenten summiert werden, die mit dem Trägheitsmoment einer einzelnen Teilchen vergleichbar sind,

was zu einem resultierenden Trägheitsmoment führt von

$I_t=\sum_kI_k$

Bedingungen

Variablen

$I_k$

Trägheitsmoment des k-ten Element

$kg m^2$

6160

$I_t$

Trägheitsmoment Gesamt

$kg m^2$

6161

Beziehung

ID:(4438, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Si el eje no varia y la distribución de la masa no varia el momento de inercia es constante se tiene que es

$I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV$

Bedingungen

Variablen

$I_0$

Anfangsträgheitsmoment

$kg m^2$

8766

$I$

Konstantes Trägheitsmoment

$kg m^2$

8765

Beziehung

Entwicklung

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo se debe considerar este desglosado en pequeños volúmenes que se suman para obtener el momento de inercia total

$I_t=\sum_kI_k$

Como los momentos de inercia de masas m a una distancia r del eje son

$I = m r ^2$

\\n\\npor lo que si se define la masa como la densidad \rho por el volumen dV se tiene que el momento de inercia es\\n\\n

$I=\displaystyle\sum_k I_k =\displaystyle\sum_k m_k r_k^2 = \displaystyle\sum_k \rho r_k^2 dV \rightarrow \displaystyle\int_V \rho r^2 dV$

por lo que

$I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV$

ID:(10583, 0)

Bild

>Top

Ein Balken mit Masse $m$ und Länge $l$, der um sein Zentrum rotiert, das mit dem Schwerpunkt übereinstimmt:

ID:(10962, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Trägheitsmoment einer Stange, die sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:

was zu folgendem Ergebnis führt:

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$

Bedingungen

Variablen

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$l$

Länge der Bar

$m$

6151

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM einer dünnen Stange, senkrechte Achse

$kg m^2$

5323

Beziehung

.

ID:(4432, 0)

Bild

>Top

Die Drehung eines Zylinders mit Masse $m$ und Radius $r$ um die Achse des Zylinders, wobei sich der Schwerpunkt (CM) in halber Höhe befindet:

ID:(10964, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine zur Hauptachse parallele Achse ($\parallel$) dreht und die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:

was zu folgendem Ergebnis führt:

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$

Bedingungen

Variablen

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM eines Zylinder, Achse parallel zur Zylinderachse

$kg m^2$

5324

$r_c$

Radius eines Zylinders

$m$

5319

Beziehung

.

ID:(4434, 0)

Bild

>Top

In dieser Situation rotiert ein Zylinder mit Masse $m$, Radius $r$ und Höhe $h$ um eine Achse, die senkrecht zu seiner eigenen Achse verläuft. Diese Achse verläuft durch den Mittelpunkt der Länge des Zylinders, wo sich der Schwerpunkt (CM) befindet:

ID:(10965, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine senkrechte ($\perp$) Achse dreht, die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:

was zu folgendem Ergebnis führt:

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$

Bedingungen

Variablen

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM eines Zylinder, Achse senkrecht zur Zylinderachse

$kg m^2$

5325

$r_c$

Radius eines Zylinders

$m$

5319

$h$

Zylinder Höhe

$m$

5318

Beziehung

.

ID:(4435, 0)

Bild

>Top

Ein rechtwinkliges Quader mit der Masse $m$ und den Seitenlängen $a$ und $b$, das senkrecht zur Rotationsachse steht, dreht sich um seinen Schwerpunkt, der sich im geometrischen Zentrum des Körpers befindet:

ID:(10973, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Trägheitsmoment eines Quaders, der sich um eine Achse dreht, die durch sein Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:

was zu folgendem Ergebnis führt:

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$

Bedingungen

Variablen

$b$

Breite der Kante des geraden Quader

$m$

6153

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$a$

Länge der Kante des geraden Quader

$m$

6152

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM der Quader, Zentrum auf die Gesichts

$kg m^2$

5322

Beziehung

.

ID:(4433, 0)

Bild

>Top

Im Fall eines rechtwinkligen Quaders mit Masse $m$ und Seitenlänge $a$ befindet sich der Schwerpunkt im geometrischen Zentrum:

ID:(10963, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:

resultando

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$

Bedingungen

Variablen

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$a$

Länge der Kante des geraden Quader

$m$

6152

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM der Quader, Zentrum auf die Gesichts

$kg m^2$

5322

Beziehung

ID:(10972, 0)

Bild

>Top

Eine Kugel mit der Masse $m$ und dem Radius $r$ rotiert um ihren Schwerpunkt, der sich im geometrischen Zentrum befindet:

ID:(10490, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Trägheitsmoment einer Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr Zentrum verläuft, wird durch die Segmentierung des Körpers in kleine Volumeneinheiten und deren Addition gewonnen:

was zu folgendem Ergebnis führt:

$I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$

Bedingungen

Variablen

$m$

Körpermasse

$kg$

6150

$I_{CM}$

Massenträgheitsmoment an der CM einer Kugel

$kg m^2$

5326

$r_e$

Radio der Kugel

$m$

5321

Beziehung

.

ID:(4436, 0)

0

Video

Video: Trägheitsmoment