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Momento de inercia

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El momento de inercia es el factor en rotación que equivale a la masa en la traslación.

El momento de inercia se puede determinar empíricamente haciendo rotar un cuerpo en torno a un eje o calculando como se distribuye la masa en torno al eje.

>Modelo

ID:(600, 0)



Momento de inercia de una partícula fuera del eje

Ecuación

>Top, >Modelo


Una aplicación simple del teorema de Steiner es una masa puntual $m$ a una distancia $L$ del eje. Dado que una masa puntual no tiene dimensiones, no tiene momento de inercia con respecto a su centro de masa. Sin embargo, como el centro de masa está a una distancia de $L$ del eje según el teorema de Steiner,

$ I = I_{CM} + m d ^2$



su momento de inercia será

$ I = m L ^2$

$L$
Largo del péndulo
$m$
6282
$m$
Masa puntual
$kg$
6281
$I$
Momento de inercia de un péndulo matemático
$kg m^2$
9799

.

ID:(9880, 0)



Método de cálculo de momento de inercia

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia total $I_t$ de un objeto se calcula sumando los momentos de inercia de sus componentes que son comparables al momento de inercia de una partícula individual,

$ I = m r ^2$



lo que nos lleva a un momento de inercia resultante de

$I_t=\sum_kI_k$

$I_k$
Momento de Inercia del k-esimo Elemento
$kg m^2$
6160
$I_t$
Momento de Inercia Total
$kg m^2$
6161

.

ID:(4438, 0)



Calculo del momento de inercia de un cuerpo

Ecuación

>Top, >Modelo


Si el eje no varia y la distribución de la masa no varia el momento de inercia es constante se tiene que es

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $

$I$
Momento de inercia constante
$kg m^2$
8765
$I_0$
Momento de inercia inicial
$kg m^2$
8766

Para calcular el momento de inercia de un cuerpo se debe considerar este desglosado en pequeños volúmenes que se suman para obtener el momento de inercia total

$I_t=\sum_kI_k$



Como los momentos de inercia de masas m a una distancia r del eje son

$ I = m r ^2$

\\n\\npor lo que si se define la masa como la densidad \rho por el volumen dV se tiene que el momento de inercia es\\n\\n

$I=\displaystyle\sum_k I_k =\displaystyle\sum_k m_k r_k^2 = \displaystyle\sum_k \rho r_k^2 dV \rightarrow \displaystyle\int_V \rho r^2 dV$



por lo que

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $

ID:(10583, 0)



Barra que rota en torno a un eje $\perp$

Imagen

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Una barra de masa $m$ y longitud $l$ que gira alrededor de su centro, que coincide con el centro de masa:

ID:(10962, 0)



Momento de inercia de barra de largo $l$ eje $\perp$

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de una barra en rotación alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m l ^2$

$l$
Largo de barra delgada
$m$
6151
$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de una Barra delgada, eje perpendicular
$kg m^2$
5323

.

ID:(4432, 0)



Cilindro que rota en torno a eje $\parallel$

Imagen

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Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:

ID:(10964, 0)



Momento de inercia de cilindro, eje $\parallel$

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de un cilindro que rota alrededor de un eje paralelo ($\parallel$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$

$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de un Cilindro, eje paralelo a eje cilindro
$kg m^2$
5324
$r_c$
Radio de cilindro
$m$
5319

.

ID:(4434, 0)



Cilindro que rota en torno a eje $\perp$

Imagen

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En esta situación, un cilindro con masa $m$, radio $r$ y altura $h$ está girando alrededor de un eje que es perpendicular a su propio eje. Este eje pasa por el punto medio de la longitud del cilindro, donde se localiza el centro de masa (CM):

ID:(10965, 0)



Momento de inercia de cilindro, eje $\perp$

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de un cilindro que gira alrededor de un eje perpendicular ($\perp$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( h ^2+3 r_c ^2)$

$h$
Altura de cilindro
$m$
5318
$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de un Cilindro, eje perpendicular a eje cilindro
$kg m^2$
5325
$r_c$
Radio de cilindro
$m$
5319

.

ID:(4435, 0)



Momento de inercia de paralelepípedo regular

Imagen

>Top


Un paralelepípedo rectángulo con masa $m$, lados $a$ y $b$, y perpendicular al eje de rotación, está girando alrededor de su centro de masa, que se encuentra en el centro geométrico del cuerpo:

ID:(10973, 0)



Momento de inercia de paralelepípedo recto

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de un paralelepípedo en rotación alrededor de un eje que pasa por el centro se obtiene al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y luego sumarlos:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



esto da como resultado

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{12} m ( a ^2+ b ^2)$

$b$
Ancho de la arista de un paralelepípedo recto
$m$
6153
$a$
Largo de la arista de un paralelepípedo recto
$m$
6152
$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de un Paralelepípedo, Eje centro de Cara
$kg m^2$
5322

.

ID:(4433, 0)



Paralelepípedo recto

Imagen

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Para un paralelepípedo recto con masa $m$ y lado $a$, el centro de masa se encuentra en el centro geométrico:

ID:(10963, 0)



Momento de inercia de cubo recto

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de un cubo que rota en torno a un eje que pasa por el centro se obtiene segmentando el cuerpo en pequeños volúmenes sumando:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



resultando

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{6} m a ^2$

$a$
Largo de la arista de un paralelepípedo recto
$m$
6152
$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de un Paralelepípedo, Eje centro de Cara
$kg m^2$
5322

ID:(10972, 0)



Esfera

Imagen

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Una esfera con masa $m$ y radio $r$ está girando alrededor de su centro de masa, el cual se encuentra en el centro de la esfera:

ID:(10490, 0)



Momento de inercia de una esfera

Ecuación

>Top, >Modelo


El momento de inercia de una esfera en rotación alrededor de un eje que atraviesa su centro se obtiene mediante la segmentación del cuerpo en pequeños volúmenes y sumando:

$ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $



lo que resulta en

$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$

$m$
Masa del cuerpo
$kg$
6150
$I_{CM}$
Momento de Inercia CM de una Esfera
$kg m^2$
5326
$r_e$
Radio de esfera
$m$
5321

.

ID:(4436, 0)



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