Utilisateur:
Oscillateur forcé
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Un oscilador forzado puede ser representado por un resorte dont la masse est immergée dans un liquide visqueux et dont le point où le ressort est fixé oscille. Cet effet peut être obtenu en fixant le point à un disque qui tourne :
ID:(14098, 0)
Force de forçage
Équation
Une manière simple de modéliser la force externe est de supposer qu'elle a une magnitude de $F_0$ et une oscillation avec une fréquence angulaire $\omega$ quelconque.
 $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14099, 0)
Équation de l'oscillateur forcé
Équation
Dans le cas d'un oscillateur amorti sans excitation externe, l'équation de mouvement est
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
Dans le cas de l'excitation externe, la force que nous définissons comme
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
agit également sur le système, ce qui conduit à une équation de mouvement modifiée
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14100, 0)
Structure de la solution d'oscillateur forcé
Équation
Dans le cas d'un oscillateur amorti sans forçage, l'équation de mouvement est :
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
Il est important de remarquer que la fréquence angulaire est celle du système lui-même. Dans notre cas, la fréquence angulaire sera celle du système qui force l'oscillation. En dehors de cela, il se peut que l'oscillation se produise avec un déphasage par rapport à la force oscillante. C'est pourquoi on peut proposer une solution sous la forme
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
ID:(14101, 0)
Équation d'oscillateur forcé dans un espace complexe
Équation
Dans le cas d'un oscillateur amorti sans excitation externe, l'équation de mouvement est
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
Dans le cas de l'excitation externe, la force que nous définissons comme
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
agit également sur le système, ce qui conduit à une équation de mouvement modifiée
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
Pour simplifier la solution de l'équation différentielle
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
nous utilisons la solution
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
et nous la dérivons par rapport au temps pour obtenir la vitesse
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
et donc la deuxième dérivée qui est égale à la première dérivée de la vitesse
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
ce qui, avec
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
nous amène à l'équation
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
ID:(14103, 0)
Changement de phase
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Le déphasage est un décalage temporel d'une oscillation, ce qui signifie qu'elle commence soit en avance, soit en retard par rapport à son temps habituel, tout en conservant la même forme :
ID:(14102, 0)
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Vidéo: Oscillateurs forcés et leur équation