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>Modèle

ID:(52, 0)

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Un oscilador forzado puede ser representado por un resorte dont la masse est immergée dans un liquide visqueux et dont le point où le ressort est fixé oscille. Cet effet peut être obtenu en fixant le point à un disque qui tourne :

ID:(14098, 0)

Équation

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Une manière simple de modéliser la force externe est de supposer qu'elle a une magnitude de $F_0$ et une oscillation avec une fréquence angulaire $\omega$ quelconque.

$F = F_0 e^{ i \omega t }$

Conditions

Variables

$F$

Forcer

$N$

9988

$F_0$

Forcer l\'amplitude de la force

$N$

9993

$\omega$

Fréquence angulaire de forçage

$rad/s$

9989

$t$

Temps

$s$

5264

Relation

ID:(14099, 0)

Équation

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Dans le cas d'un oscillateur amorti sans excitation externe, l'équation de mouvement est

Dans le cas de l'excitation externe, la force que nous définissons comme

agit également sur le système, ce qui conduit à une équation de mouvement modifiée

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

Conditions

Variables

$x$

Allongement du ressort

$m$

5313

$b$

Constante de force visqueuse

$kg/s$

5312

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$F_0$

Forcer l\'amplitude de la force

$N$

9993

$\omega$

Fréquence angulaire de forçage

$rad/s$

9989

$m_i$

Masse d'inertie

$kg$

6290

$t$

Temps

$s$

5264

Relation

ID:(14100, 0)

Équation

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Dans le cas d'un oscillateur amorti sans forçage, l'équation de mouvement est :

Il est important de remarquer que la fréquence angulaire est celle du système lui-même. Dans notre cas, la fréquence angulaire sera celle du système qui force l'oscillation. En dehors de cela, il se peut que l'oscillation se produise avec un déphasage par rapport à la force oscillante. C'est pourquoi on peut proposer une solution sous la forme

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

Conditions

Variables

$A$

Amplitude d\'oscillation forcée

$m$

9991

$\omega$

Fréquence angulaire de forçage

$rad/s$

9989

$z$

Nombre complexe décrivant l\'oscillation forcée

$m$

9990

$\phi$

Phase oscillante

$rad$

9992

$t$

Temps

$s$

5264

Relation

ID:(14101, 0)

Équation

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Dans le cas d'un oscillateur amorti sans excitation externe, l'équation de mouvement est

Dans le cas de l'excitation externe, la force que nous définissons comme

agit également sur le système, ce qui conduit à une équation de mouvement modifiée

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

Conditions

Variables

$A$

Amplitude d\'oscillation forcée

$m$

9991

$b$

Constante de force visqueuse

$kg/s$

5312

$F_0$

Forcer l\'amplitude de la force

$N$

9993

$\omega$

Fréquence angulaire de forçage

$rad/s$

9989

$\omega_0$

Fréquence angulaire du ressort

$rad/s$

9798

$m_i$

Masse d'inertie

$kg$

6290

$\phi$

Phase oscillante

$rad$

9992

Relation

Développement

Pour simplifier la solution de l'équation différentielle

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

nous utilisons la solution

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

et nous la dérivons par rapport au temps pour obtenir la vitesse

$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$

et donc la deuxième dérivée qui est égale à la première dérivée de la vitesse

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$

ce qui, avec

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

nous amène à l'équation

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

ID:(14103, 0)

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Le déphasage est un décalage temporel d'une oscillation, ce qui signifie qu'elle commence soit en avance, soit en retard par rapport à son temps habituel, tout en conservant la même forme :

ID:(14102, 0)

0

Video

Vidéo: Oscillateurs forcés et leur équation