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Oscilador forçado

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Um oscilador forçado pode ser um sistema em que uma massa ligada a uma mola está imersa em um líquido viscoso, e o ponto onde a mola está fixada oscila. Esse efeito pode ser alcançado ao fixar o ponto a um disco que gira:

ID:(14098, 0)



Força forçada

Equação

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Uma forma simples de modelar a força externa é assumir que ela possui uma magnitude de $F_0$ e uma oscilação com uma frequência angular $\omega$ qualquer.

$ F = F_0 e^{ i \omega t }$

$F_0$
Amplitude da força forçada
$N$
9993
$F$
Força forçante
$N$
9988
$\omega$
Frequência angular de forçamento
$rad/s$
9989
$t$
Tempo
$s$
5264

ID:(14099, 0)



Equação do oscilador forçado

Equação

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No caso de um oscilador amortecido sem forçamento externo, a equação de movimento é

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$



No caso de forçamento externo, a força que definimos como

$ F = F_0 e^{ i \omega t }$



age adicionalmente no sistema, levando a uma equação de movimento modificada

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

$x$
Alongamento de mola
$m$
5313
$F_0$
Amplitude da força forçada
$N$
9993
$b$
Constante de força viscosa
$kg/s$
5312
$k$
Constante de Hooke
$N/m$
5311
$\omega$
Frequência angular de forçamento
$rad/s$
9989
$m_i$
Massa inercial
$kg$
6290
$t$
Tempo
$s$
5264

ID:(14100, 0)



Estrutura da solução do oscilador forçado

Equação

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No caso de um oscilador amortecido sem forçamento, a equação de movimento é:

$ z = x_0 e^{i \omega t }$



É importante observar que a frequência angular é aquela do próprio sistema. No nosso caso, a frequência angular será a do sistema que está forçando a oscilação. Além disso, pode ser que a oscilação ocorra com um desfasamento em relação à força oscilante. Por isso, uma solução pode ser proposta na forma de

$ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

$A$
Amplitude de oscilação forçada
$m$
9991
$\phi$
Fase de balanço
$rad$
9992
$\omega$
Frequência angular de forçamento
$rad/s$
9989
$z$
Número complexo descrevendo oscilação forçada
$m$
9990
$t$
Tempo
$s$
5264

ID:(14101, 0)



Equação do oscilador forçado em espaço complexo

Equação

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Se utilizarmos a equação da oscilação

$ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$



e a inserirmos em

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$



obtemos a equação para o oscilador forçado no espaço complexo

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $

$F_0$
Amplitude da força forçada
$N$
9993
$A$
Amplitude de oscilação forçada
$m$
9991
$b$
Constante de força viscosa
$kg/s$
5312
$\phi$
Fase de balanço
$rad$
9992
$\omega_0$
Frequência angular da mola
$rad/s$
9798
$\omega$
Frequência angular de forçamento
$rad/s$
9989
$m_i$
Massa inercial
$kg$
6290

Para simplificar a solução da equação diferencial

$ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$



utilizamos a solução

$ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$



e procedemos a derivá-la em relação ao tempo para obter a velocidade

$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$



e, portanto, a segunda derivada que é igual à primeira derivada da velocidade

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$



que, juntamente com

$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$



nos leva à equação

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $

ID:(14103, 0)



Mudança de fase

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A defasagem é um deslocamento temporal de uma oscilação, ou seja, ela começa antes ou depois do tempo regular, mantendo a mesma forma:

ID:(14102, 0)



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Vídeo: Osciladores Forçados e sua Equação