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>Modelo

ID:(52, 0)

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Um oscilador forçado pode ser um sistema em que uma massa ligada a uma mola está imersa em um líquido viscoso, e o ponto onde a mola está fixada oscila. Esse efeito pode ser alcançado ao fixar o ponto a um disco que gira:

ID:(14098, 0)

Equação

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Uma forma simples de modelar a força externa é assumir que ela possui uma magnitude de $F_0$ e uma oscilação com uma frequência angular $\omega$ qualquer.

$F = F_0 e^{ i \omega t }$

Condições

Variáveis

$F_0$

Amplitude da força forçada

$N$

9993

$F$

Força forçante

$N$

9988

$\omega$

Frequência angular de forçamento

$rad/s$

9989

$t$

Tempo

$s$

5264

Relação

ID:(14099, 0)

Equação

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No caso de um oscilador amortecido sem forçamento externo, a equação de movimento é

No caso de forçamento externo, a força que definimos como

age adicionalmente no sistema, levando a uma equação de movimento modificada

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

Condições

Variáveis

$x$

Alongamento de mola

$m$

5313

$F_0$

Amplitude da força forçada

$N$

9993

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$\omega$

Frequência angular de forçamento

$rad/s$

9989

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$t$

Tempo

$s$

5264

Relação

ID:(14100, 0)

Equação

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No caso de um oscilador amortecido sem forçamento, a equação de movimento é:

É importante observar que a frequência angular é aquela do próprio sistema. No nosso caso, a frequência angular será a do sistema que está forçando a oscilação. Além disso, pode ser que a oscilação ocorra com um desfasamento em relação à força oscilante. Por isso, uma solução pode ser proposta na forma de

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

Condições

Variáveis

$A$

Amplitude de oscilação forçada

$m$

9991

$\phi$

Fase de balanço

$rad$

9992

$\omega$

Frequência angular de forçamento

$rad/s$

9989

$z$

Número complexo descrevendo oscilação forçada

$m$

9990

$t$

Tempo

$s$

5264

Relação

ID:(14101, 0)

Equação

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Se utilizarmos a equação da oscilação

e a inserirmos em

obtemos a equação para o oscilador forçado no espaço complexo

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

Condições

Variáveis

$F_0$

Amplitude da força forçada

$N$

9993

$A$

Amplitude de oscilação forçada

$m$

9991

$b$

Constante de força viscosa

$kg/s$

5312

$\phi$

Fase de balanço

$rad$

9992

$\omega_0$

Frequência angular da mola

$rad/s$

9798

$\omega$

Frequência angular de forçamento

$rad/s$

9989

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Desenvolvimento

Para simplificar a solução da equação diferencial

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

utilizamos a solução

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

e procedemos a derivá-la em relação ao tempo para obter a velocidade

$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$

e, portanto, a segunda derivada que é igual à primeira derivada da velocidade

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$

que, juntamente com

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

nos leva à equação

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

ID:(14103, 0)

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A defasagem é um deslocamento temporal de uma oscilação, ou seja, ela começa antes ou depois do tempo regular, mantendo a mesma forma:

ID:(14102, 0)

0

Video

Vídeo: Osciladores Forçados e sua Equação