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Im Falle eines erzwungenen Oszillators wird eine externe Kraft auf die oszillierende Masse ausgeübt. Dies kann dazu führen, dass der Teig verlangsamt oder beschleunigt wird.

Wenn die Kraft synchron wirkt (mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der die Masse natürlich schwingt), entstehen Resonanzen, die die Amplitude der Schwingung dramatisch erhöhen können.

>Modell

ID:(52, 0)

Bild

>Top

Ein erzwungener Oszillator kann ein System sein, bei dem eine Masse, die an einer Feder befestigt ist, in einer viskosen Flüssigkeit eingetaucht ist und der Punkt, an dem die Feder befestigt ist, oszilliert. Dieser Effekt kann erreicht werden, indem der Punkt an eine rotierende Scheibe befestigt wird:

ID:(14098, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Eine einfache Möglichkeit, die externe Kraft zu modellieren, besteht darin anzunehmen, dass sie eine Größe von $F_0$ hat und mit einer beliebigen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ oszilliert.

$F = F_0 e^{ i \omega t }$

Bedingungen

Variablen

$F_0$

Amplitude der Zwangskraft

$N$

9993

$F$

Erzwingende Kraft

$N$

9988

$\omega$

Winkelzwangsfrequenz

$rad/s$

9989

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

ID:(14099, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall eines gedämpften Oszillators ohne äußere Einwirkung lautet die Bewegungsgleichung

Im Fall einer externen Einwirkung wirkt die von uns definierte Kraft

zusätzlich auf das System, was zu einer modifizierten Bewegungsgleichung führt

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

Bedingungen

Variablen

$F_0$

Amplitude der Zwangskraft

$N$

9993

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$b$

Konstante des Viscose Kraft

$kg/s$

5312

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

$x$

Verlängerung der Feder

$m$

5313

$\omega$

Winkelzwangsfrequenz

$rad/s$

9989

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

ID:(14100, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Fall eines unangeregten gedämpften Oszillators lautet die Bewegungsgleichung:

Dabei ist es wichtig zu beachten, dass die Winkelgeschwindigkeit der natürlichen Frequenz des Systems entspricht. In unserem Fall wird die Winkelgeschwindigkeit derjenigen des Systems entsprechen, das die Schwingung antreibt. Abgesehen davon ist es möglich, dass die Schwingung eine Phasenverschiebung zur Antriebskraft aufweist. Daher kann eine Lösung in Form von

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

Bedingungen

Variablen

$A$

Amplitude der erzwungenen Schwingung

$m$

9991

$z$

Komplexe Zahl, die eine erzwungene Schwingung beschreibt

$m$

9990

$\phi$

Schwungphase

$rad$

9992

$\omega$

Winkelzwangsfrequenz

$rad/s$

9989

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

vorgeschlagen werden.

ID:(14101, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Gleichung der Schwingung

verwenden und sie in

einsetzen, erhalten wir die Gleichung für den erzwungenen Oszillator im komplexen Raum

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

Bedingungen

Variablen

$A$

Amplitude der erzwungenen Schwingung

$m$

9991

$F_0$

Amplitude der Zwangskraft

$N$

9993

$\omega_0$

Frecuencia angular del resorte

$rad/s$

9798

$b$

Konstante des Viscose Kraft

$kg/s$

5312

$\phi$

Schwungphase

$rad$

9992

$m_i$

Träge Masse

$kg$

6290

$\omega$

Winkelzwangsfrequenz

$rad/s$

9989

Beziehung

Entwicklung

Um die Lösung der Differentialgleichung

$m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$

zu vereinfachen, verwenden wir die Lösung

$z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$

und leiten sie nach der Zeit ab, um die Geschwindigkeit zu erhalten

$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$

und somit auch die zweite Ableitung, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit entspricht

$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$

was zusammen mit

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$

zur Gleichung führt

$(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0$

ID:(14103, 0)

Bild

>Top

Die Phasenverschiebung ist eine zeitliche Verschiebung einer Schwingung, was bedeutet, dass sie entweder vor oder hinter ihrer regulären Zeit liegt, während sie die gleiche Form beibehält:

ID:(14102, 0)

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Video

Video: Erzwungene Oszillatoren und ihre Gleichung