Storyboard

Dans le cas dun pendule avec une masse ponctuelle, lénergie potentielle est générée en élevant la masse contre le champ gravitationnel à mesure que le pendule se dévie dun angle donné.

>Modèle

ID:(1420, 0)

Iframe

>Top

ID:(15849, 0)

Description

>Top

Un pendule est décrit comme une masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil qui est attaché à un point de pivot et a une longueur $l$. On l'appelle pendule mathématique car c'est une abstraction d'un pendule physique, la différence étant que sa masse est considérée comme une masse ponctuelle.

ID:(7098, 0)

Description

>Top

Un pendule est défini par une masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil attaché à un pivot de longueur $l$. On l'appelle pendule mathématique car il s'agit d'une abstraction d'un pendule physique, dans lequel la masse est considérée comme concentrée en un seul point.

ID:(1180, 0)

Top

>Top

Paramètres

$g$

g

Accélération gravitationnelle

m/s^2

$\theta$

theta

Angle d'oscillation

rad

$\theta_0$

theta_0

Angle de départ

rad

$K$

K

Énergie cinétique de la masse ponctuelle

J

$V$

V

Énergie potentielle du pendule, pour les petits angles

J

$E$

E

Énergie totale

J

$\omega_0$

omega_0

Fréquence angulaire du pendule mathématique

rad/s

$L$

L

Longueur du pendule

m

$m_i$

m_i

Masse d'inertie

kg

$m_g$

m_g

Masse gravitationnelle

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

Variables

$\nu$

nu

Fréquence

Hz

$T$

T

Période

s

$t$

t

Temps

s

$\omega$

omega

Vitesse angulaire

rad/s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15852, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La énergie totale correspond à la somme de l'énergie cinétique totale et de l'énergie potentielle :

$E = K + V$

Conditions

Variables

$K$

$K$

Énergie cinétique de la masse ponctuelle

$J$

6286

$V$

$V$

Énergie potentielle du pendule, pour les petits angles

$J$

6285

$E$

Énergie totale

$J$

5290

Relation

ID:(3687, 0)

Équation

>Top, >Modèle

L'énergie cinétique d'un corps en rotation est donnée par

où $I$ est le moment d'inertie et $\omega$ est la vitesse angulaire. Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle $m$ qui tourne à une distance $L$ d'un axe est

donc nous avons

$K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

Conditions

Variables

$K$

Énergie cinétique de la masse ponctuelle

$J$

6286

$L$

Longueur du pendule

$m$

6282

$m_i$

Masse d'inertie

$kg$

6290

$\omega$

Vitesse angulaire

$rad/s$

6068

Relation

ID:(4515, 0)

Équation

>Top, >Modèle

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est

qui peut être approximée pour de petits angles comme :

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Conditions

Variables

$g$

Accélération gravitationnelle

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

Angle d'oscillation

$rad$

6283

$V$

Énergie potentielle du pendule, pour les petits angles

$J$

6285

$L$

Longueur du pendule

$m$

6282

$m_g$

Masse gravitationnelle

$kg$

8762

Relation

Développement

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse m, suspendu à un fil de longueur L et dévié d'un angle \theta est donnée par

$U = m g L (1-\cos \theta )$

où g est l'accélération due à la gravité.

Pour de petits angles, la fonction cosinus peut être approximée par le développement en série de Taylor jusqu'à l'ordre deux

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

Cette approximation conduit à une simplification de l'énergie potentielle en

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Il est important de noter que l'angle doit être en radians.

ID:(4514, 1)

Équation

>Top, >Modèle

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est

qui peut être approximée pour de petits angles comme :

$E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Conditions

Variables

$g$

Accélération gravitationnelle

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

$\theta_0$

Angle de départ

$rad$

5296

$V$

$E$

Énergie totale

$J$

5290

$L$

Longueur du pendule

$m$

6282

$m_g$

Masse gravitationnelle

$kg$

8762

Relation

Développement

L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse m, suspendu à un fil de longueur L et dévié d'un angle \theta est donnée par

$U = m g L (1-\cos \theta )$

où g est l'accélération due à la gravité.

Pour de petits angles, la fonction cosinus peut être approximée par le développement en série de Taylor jusqu'à l'ordre deux

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

Cette approximation conduit à une simplification de l'énergie potentielle en

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Il est important de noter que l'angle doit être en radians.

ID:(4514, 2)

Équation

>Top, >Modèle

Les masses que Newton a utilisées dans ses principes sont liées à l'inertie des corps, ce qui conduit au concept de a masse d'inertie ($m_i$).

La loi de Newton, qui est liée à la force entre les corps en raison de leurs masses, est associée à la gravité et est donc connue sous le nom de a masse gravitationnelle ($m_g$).

Empiriquement, on a conclu que les deux masses sont équivalentes, et donc nous définissons

$m_g = m_i$

Conditions

Variables

$m_i$

Masse d'inertie

$kg$

6290

$m_g$

Masse gravitationnelle

$kg$

8762

Relation

Einstein a été celui qui a remis en question cette égalité et, à partir de ce doute, a compris pourquoi les deux 'apparaissent' égales dans sa théorie de la gravité. Dans son argument, Einstein a expliqué que les masses déforment l'espace, et cette déformation de l'espace provoque un changement dans le comportement des corps. Ainsi, les masses s'avèrent être équivalentes. Le concept révolutionnaire de la courbure de l'espace implique même que la lumière, qui n'a pas de masse, est affectée par les corps célestes, ce qui contredit la théorie de la gravitation de Newton. Cela a été démontré expérimentalement en étudiant le comportement de la lumière lors d'une éclipse solaire. Dans cette situation, les faisceaux lumineux sont déviés en raison de la présence du soleil, permettant l'observation des étoiles qui se trouvent derrière lui.

ID:(12552, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas du pendule mathématique

l'énergie peut être exprimée comme

$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$

et à partir de cette expression, nous pouvons obtenir la fréquence angulaire

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

Conditions

Variables

$g$

Accélération gravitationnelle

9.8

$m/s^2$

5310

$\omega_0$

Fréquence angulaire du pendule mathématique

$rad/s$

6287

$L$

Longueur du pendule

$m$

6282

Relation

Développement

L'énergie cinétique du pendule mathématique avec une masse $m$, une longueur de corde $r$ et une vitesse angulaire $\omega$ est

$K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

et l'énergie potentielle gravitationnelle est

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Avec $\theta$ représentant l'angle et $g$ l'accélération angulaire, l'équation pour l'énergie totale est exprimée comme

$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$

Étant donné que la période est égale à

$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$

nous pouvons relier la fréquence angulaire comme

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

ID:(4516, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A fréquence angulaire ($\omega$) est avec a période ($T$) égal à

$\omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

Conditions

Variables

$\omega$

$\omega_0$

Fréquence angulaire du pendule mathématique

$rad/s$

6287

$T$

Période

$s$

5078

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relation

ID:(12335, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A fréquence ($\nu$) correspond au nombre de fois qu'une oscillation se produit en une seconde. A période ($T$) représente le temps nécessaire à une seule oscillation. Par conséquent, le nombre d'oscillations par seconde est :

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

Conditions

Variables

$\nu$

Fréquence

$Hz$

5077

$T$

Période

$s$

5078

Relation

La fréquence est indiquée en Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Avec la description de l'oscillation à l'aide de

la partie réelle correspond à l'évolution temporelle de l'amplitude

$\theta = \theta_0 \cos \omega_0 t$

$x = x_0 \cos \omega_0 t$

Conditions

Variables

$x$

$\theta$

Angle d'oscillation

$m$

6283

$x_0$

$\theta_0$

Angle de départ

$m$

5296

$\omega_0$

$\omega_0$

Fréquence angulaire du pendule mathématique

$rad/s$

6287

$t$

Temps

$s$

5264

Relation

ID:(14074, 0)

Équation

>Top, >Modèle

En obtenant la partie réelle de la dérivée du nombre complexe représentant l'oscillation



dont la partie réelle correspond à la vitesse

$\omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

Conditions

Variables

$x_0$

$\theta_0$

Angle de départ

$m$

5296

$\omega_0$

$\omega_0$

Fréquence angulaire du pendule mathématique

$rad/s$

6287

$t$

Temps

$s$

5264

$v$

$\omega$

Vitesse angulaire

$m/s$

6068

Relation

Développement

En utilisant le nombre complexe



introduit dans



nous obtenons

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

ainsi, la vitesse est obtenue comme la partie réelle

ID:(14076, 0)