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Pendule mathématique
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Dans le cas dun pendule avec une masse ponctuelle, lénergie potentielle est générée en élevant la masse contre le champ gravitationnel à mesure que le pendule se dévie dun angle donné.
ID:(1420, 0)
Oscillations avec un pendule mathématique
Description
Un pendule est décrit comme une masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil qui est attaché à un point de pivot et a une longueur $l$. On l'appelle pendule mathématique car c'est une abstraction d'un pendule physique, la différence étant que sa masse est considérée comme une masse ponctuelle.
ID:(7098, 0)
Pendule mathématique
Description
Un pendule est défini par une masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil attaché à un pivot de longueur $l$. On l'appelle pendule mathématique car il s'agit d'une abstraction d'un pendule physique, dans lequel la masse est considérée comme concentrée en un seul point.
ID:(1180, 0)
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Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ E = K + V $
E = K + V
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$
K = m_i * L ^2* omega ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$
omega_0 ^2 = g / L
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15852, 0)
Énergie totale
Équation
La énergie totale correspond à la somme de l'énergie cinétique totale et de l'énergie potentielle :
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Énergie cinétique d'un pendule mathématique
Équation
L'énergie cinétique d'un corps en rotation est donnée par
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
où $I$ est le moment d'inertie et $\omega$ est la vitesse angulaire. Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle $m$ qui tourne à une distance $L$ d'un axe est
| $ I = m L ^2$ |
donc nous avons
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Énergie potentielle d'un pendule mathématique pour les petits angles (1)
Équation
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
qui peut être approximée pour de petits angles comme :
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
où
Pour de petits angles, la fonction cosinus peut être approximée par le développement en série de Taylor jusqu'à l'ordre deux
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Cette approximation conduit à une simplification de l'énergie potentielle en
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Il est important de noter que l'angle doit être en radians.
ID:(4514, 1)
Énergie potentielle d'un pendule mathématique pour les petits angles (2)
Équation
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
qui peut être approximée pour de petits angles comme :
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
où
Pour de petits angles, la fonction cosinus peut être approximée par le développement en série de Taylor jusqu'à l'ordre deux
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Cette approximation conduit à une simplification de l'énergie potentielle en
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Il est important de noter que l'angle doit être en radians.
ID:(4514, 2)
Égalité des masses inertielle et gravitationnelle
Équation
Les masses que Newton a utilisées dans ses principes sont liées à l'inertie des corps, ce qui conduit au concept de a masse d'inertie ($m_i$).
La loi de Newton, qui est liée à la force entre les corps en raison de leurs masses, est associée à la gravité et est donc connue sous le nom de a masse gravitationnelle ($m_g$).
Empiriquement, on a conclu que les deux masses sont équivalentes, et donc nous définissons
| $ m_g = m_i $ |
Einstein a été celui qui a remis en question cette égalité et, à partir de ce doute, a compris pourquoi les deux 'apparaissent' égales dans sa théorie de la gravité. Dans son argument, Einstein a expliqué que les masses déforment l'espace, et cette déformation de l'espace provoque un changement dans le comportement des corps. Ainsi, les masses s'avèrent être équivalentes. Le concept révolutionnaire de la courbure de l'espace implique même que la lumière, qui n'a pas de masse, est affectée par les corps célestes, ce qui contredit la théorie de la gravitation de Newton. Cela a été démontré expérimentalement en étudiant le comportement de la lumière lors d'une éclipse solaire. Dans cette situation, les faisceaux lumineux sont déviés en raison de la présence du soleil, permettant l'observation des étoiles qui se trouvent derrière lui.
ID:(12552, 0)
Fréquence angulaire d'un pendule mathématique
Équation
Dans le cas du pendule mathématique
l'énergie peut être exprimée comme
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
et à partir de cette expression, nous pouvons obtenir la fréquence angulaire
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
L'énergie cinétique du pendule mathématique avec une masse $m$, une longueur de corde $r$ et une vitesse angulaire $\omega$ est
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
et l'énergie potentielle gravitationnelle est
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Avec $\theta$ représentant l'angle et $g$ l'accélération angulaire, l'équation pour l'énergie totale est exprimée comme
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Étant donné que la période est égale à
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
nous pouvons relier la fréquence angulaire comme
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
Fréquence angulaire
Équation
A fréquence angulaire ($\omega$) est avec a période ($T$) égal à
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Fréquence
Équation
A fréquence ($\nu$) correspond au nombre de fois qu'une oscillation se produit en une seconde. A période ($T$) représente le temps nécessaire à une seule oscillation. Par conséquent, le nombre d'oscillations par seconde est :
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La fréquence est indiquée en Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Amplitude des oscillations
Équation
Avec la description de l'oscillation à l'aide de
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la partie réelle correspond à l'évolution temporelle de l'amplitude
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Vitesse d'oscillation
Équation
En obtenant la partie réelle de la dérivée du nombre complexe représentant l'oscillation
dont la partie réelle correspond à la vitesse
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
En utilisant le nombre complexe
introduit dans
nous obtenons
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
ainsi, la vitesse est obtenue comme la partie réelle
ID:(14076, 0)