Storyboard

En el caso de un péndulo compuesto por una masa puntual, la energía potencial se genera al elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.

>Modelo

ID:(1420, 0)

Iframe

>Top

ID:(15849, 0)

Descripción

>Top

Un péndulo se describe como una masa puntual $m$ suspendida de una cuerda que está unida al eje de giro y tiene una longitud $l$. Se le llama péndulo matemático debido a que es una idealización de un péndulo físico, ya que en este caso, la masa se considera puntual y concentrada en un solo punto.

ID:(7098, 0)

Descripción

>Top

Un péndulo se caracteriza por una masa puntual $m$ que cuelga de una cuerda unida al eje de giro de longitud $l$. Se le llama péndulo matemático porque es una idealización de un péndulo físico, en el cual la masa se considera puntual.

ID:(1180, 0)

Top

>Top

Parámetros

$g$

g

Aceleración gravitacional

m/s^2

$\theta$

theta

Angulo de oscilación

rad

$\theta_0$

theta_0

Ángulo inicial

rad

$K$

K

Energía cinética de la masa puntual

J

$V$

V

Energía potencial del péndulo, para ángulos pequeños

J

$E$

E

Energía total

J

$\omega_0$

omega_0

Frecuencia angular del péndulo matemático

rad/s

$L$

L

Largo del péndulo

m

$m_g$

m_g

Masa gravitacional

kg

$m_i$

m_i

Masa inercial

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

Variables

$\nu$

nu

Frecuencia

Hz

$T$

T

Período

s

$t$

t

Tiempo

s

$\omega$

omega

Velocidad angular

rad/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15852, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:

$E = K + V$

Condiciones

Variables

$K$

$K$

Energía cinética de la masa puntual

$J$

6286

$V$

$V$

Energía potencial del péndulo, para ángulos pequeños

$J$

6285

$E$

Energía total

$J$

5290

Relación

ID:(3687, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la energía cinética de un cuerpo de rota es

donde $I$ es el momento de inercia y $\omega$ la velocidad angular y el momento de inercia de una masa puntual $m$ que rota a una distancia $L$ de un eje es

se tiene que

$K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

Condiciones

Variables

$K$

Energía cinética de la masa puntual

$J$

6286

$L$

Largo del péndulo

$m$

6282

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

$\omega$

Velocidad angular

$rad/s$

6068

Relación

ID:(4515, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía potencial gravitacional de un péndulo es

que para ángulos pequeños puede aproximarse como:

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

Angulo de oscilación

$rad$

6283

$V$

Energía potencial del péndulo, para ángulos pequeños

$J$

6285

$L$

Largo del péndulo

$m$

6282

$m_g$

Masa gravitacional

$kg$

8762

Relación

Desarrollo

La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa m, suspendido de un hilo de longitud L y desviado por un ángulo \theta es

$U = m g L (1-\cos \theta )$

donde g es la aceleración debida a la gravedad.

Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

lo que lleva a que la energía potencial se reduce a

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.

ID:(4514, 1)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía potencial gravitacional de un péndulo es

que para ángulos pequeños puede aproximarse como:

$E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\theta$

$\theta_0$

Ángulo inicial

$rad$

5296

$V$

$E$

Energía total

$J$

5290

$L$

Largo del péndulo

$m$

6282

$m_g$

Masa gravitacional

$kg$

8762

Relación

Desarrollo

La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa m, suspendido de un hilo de longitud L y desviado por un ángulo \theta es

$U = m g L (1-\cos \theta )$

donde g es la aceleración debida a la gravedad.

Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término

$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$

lo que lleva a que la energía potencial se reduce a

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.

ID:(4514, 2)

Ecuación

>Top, >Modelo

Las masas que Newton utilizó en sus principios están relacionadas con la inercia de los cuerpos, lo que lleva al concepto de la masa inercial ($m_i$).

La ley de Newton que se vincula con la fuerza entre cuerpos debido a sus masas está relacionada con la gravedad, por lo que se conoce como la masa gravitacional ($m_g$).

De manera empírica, se ha concluido que ambas masas son equivalentes, y por lo tanto, definimos

$m_g = m_i$

Condiciones

Variables

$m_g$

Masa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Masa inercial

$kg$

6290

Relación

Einstein fue quien cuestionó esta igualdad y, a partir de esa duda, comprendió por qué ambas 'aparecen' iguales en su teoría de la gravedad. En su argumento, Einstein explicó que las masas deforman el espacio, y esta deformación del espacio provoca un cambio en el comportamiento de los cuerpos. De esta manera, las masas resultan ser equivalentes. El concepto revolucionario de la curvatura del espacio implica que incluso la luz, que carece de masa, se ve afectada por los cuerpos celestes, lo que contradice la teoría de la gravitación de Newton. Esto se demostró experimentalmente al estudiar el comportamiento de la luz durante un eclipse solar. En esta situación, los haces de luz se desvían debido a la presencia del sol, lo que permite observar estrellas que se encuentran detrás de él.

ID:(12552, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso del péndulo matemático

la energía se puede expresar como

$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$

y a partir de esta expresión podemos obtener la frecuencia angular

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\omega_0$

Frecuencia angular del péndulo matemático

$rad/s$

6287

$L$

Largo del péndulo

$m$

6282

Relación

Desarrollo

La energía cinética del péndulo matemático con masa $m$, largo de cuerda $r$ y velocidad angular $\omega$ es

$K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$

y la energía potencial gravitacional es

$V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$

con $\theta$ siendo el ángulo y $g$ la aceleración angular, la ecuación de energía total se expresa como

$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$

Dado que el período es igual a

$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$

podemos relacionar la frecuencia angular como

$\omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$

ID:(4516, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a

$\omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

$\omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$

Condiciones

Variables

$\omega$

$\omega_0$

Frecuencia angular del péndulo matemático

$rad/s$

6287

$T$

Período

$s$

5078

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

ID:(12335, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:

$\nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

5077

$T$

Período

$s$

5078

Relación

La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).

ID:(4427, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la frecuencia angular es con frecuencia angular $rad/s$, período $s$ y pi $rad$ igual a

y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a

$\omega_0 = 2 \pi \nu$

$\omega = 2 \pi \nu$

Condiciones

Variables

$\nu$

Frecuencia

$Hz$

5077

$\omega$

$\omega_0$

Frecuencia angular del péndulo matemático

$rad/s$

6287

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Relación

ID:(12338, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la descripción de la oscilación usando

la parte real corresponde a la evolución temporal de la amplitud

$\theta = \theta_0 \cos \omega_0 t$

$x = x_0 \cos \omega_0 t$

Condiciones

Variables

$x$

$\theta$

Angulo de oscilación

$m$

6283

$x_0$

$\theta_0$

Ángulo inicial

$m$

5296

$\omega_0$

$\omega_0$

Frecuencia angular del péndulo matemático

$rad/s$

6287

$t$

Tiempo

$s$

5264

Relación

ID:(14074, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Al obtener la parte real de la derivada del número complejo que representa la oscilación

cuya parte real se refiere a la velocidad

$\omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

Condiciones

Variables

$x_0$

$\theta_0$

Ángulo inicial

$m$

5296

$\omega_0$

$\omega_0$

Frecuencia angular del péndulo matemático

$rad/s$

6287

$t$

Tiempo

$s$

5264

$v$

$\omega$

Velocidad angular

$m/s$

6068

Relación

Desarrollo

Utilizando el número complejo

$z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t$

introducido en

$\dot{z} = i \omega_0 z$

obtenemos

$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$

por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real

$v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t$

ID:(14076, 0)