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Energía potencial gravitacional
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Cuando un cuerpo se eleva contra la fuerza gravitacional a una altura determinada, adquiere energía potencial gravitacional, la cual es proporcional a su masa, la aceleración gravitacional y la altura alcanzada.
ID:(1422, 0)
Montaña rusa
Descripción
Si consideramos un carrito de montaña rusa que se desplaza sin fricción, su energía se mantendrá constante.
Esto significa que, en cualquier par de puntos que elijamos, la energía total siempre será la misma:
| $ E_1 = E_2 $ |
Dado que la energía está compuesta por una parte energía cinética total ($K$) y otra la energía potencial ($V$), según:
| $ E = K + V $ |
se deduce que, si una de estas componentes aumenta, la otra deberá disminuir, y viceversa. Como energía cinética de traslación ($K_t$) depende de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) de acuerdo con:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
mientras que la energía potencial ($V$) depende de la masa gravitacional ($m_g$), la aceleración gravitacional ($g$) y la altura sobre el suelo ($z$), tal como se describe en:
| $ V = m_g g z $ |
tendremos que, cada vez que la altura aumenta, la velocidad disminuirá, y viceversa. De esta manera, es posible predecir la velocidad en función de la altura a lo largo de toda la montaña rusa.
Si se está estudiando un caso particular, es importante tener cuidado al asumir los datos para garantizar que exista una solución. Si se asume una energía demasiado baja en comparación con una energía potencial más alta, no habrá una velocidad para la cual las ecuaciones tengan solución. Esto implicaría que se está considerando una posición a la que el objeto nunca podría llegar debido a la falta de energía suficiente.
ID:(15866, 0)
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Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ E_1 = K_1 + V_1 $
E = K + V
$ E_2 = K_2 + V_2 $
E = K + V
$ E_1 = E_2 $
E_1 = E_2
$ K_1 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_1 ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
$ K_2 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_2 ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ V_1 = m_g g z_1 $
V = m_g * g * z
$ V_2 = m_g g z_2 $
V = m_g * g * z
ID:(15863, 0)
Invariante en el tiempo
Ecuación
La invariancia (=no cambia) con respecto al tiempo significa que algo no cambia a medida que el tiempo pasa. En otras palabras, si algo ocurre de cierta manera hoy, ocurrirá de la misma manera mañana.
La invariancia con respecto al tiempo está relacionada con la conservación de la energía. Esto implica que la suma de todas las energías será igual a la energía total presente al principio:
| $ E_1 = E_2 $ |
Un ejemplo es un objeto en un campo gravitacional que siempre muestra el mismo comportamiento, lo que significa que el campo gravitacional no disipa energía de los objetos que se mueven en él.
ID:(1177, 0)
Energía total (1)
Ecuación
La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:
| $ E_1 = K_1 + V_1 $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 1)
Energía total (2)
Ecuación
La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:
| $ E_2 = K_2 + V_2 $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 2)
Energía cinética de traslación (1)
Ecuación
En el caso de estudiar la traslación, la definición de la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ F = m_i a $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_1 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_1 ^2$ |
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad de $v_1$ a $v_2$ se puede calcular utilizando la definición con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Usando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Empleando la definición de velocidad con
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
donde la diferencia de velocidades es
$\Delta v = v_2 - v_1$
Además, la velocidad en sí misma puede aproximarse con la velocidad promedio
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Usando ambas expresiones, llegamos a
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Así, el cambio en la energía se expresa como
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
De esta manera, podemos definir la energía cinética
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 1)
Energía cinética de traslación (2)
Ecuación
En el caso de estudiar la traslación, la definición de la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ F = m_i a $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_2 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_2 ^2$ |
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad de $v_1$ a $v_2$ se puede calcular utilizando la definición con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Usando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Empleando la definición de velocidad con
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
donde la diferencia de velocidades es
$\Delta v = v_2 - v_1$
Además, la velocidad en sí misma puede aproximarse con la velocidad promedio
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Usando ambas expresiones, llegamos a
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Así, el cambio en la energía se expresa como
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
De esta manera, podemos definir la energía cinética
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 2)
Energía potencial gravitacional en la superficie del planeta (1)
Ecuación
En la superficie del planeta, la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
y la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
puede demostrarse que en este caso es
| $ V_1 = m_g g z_1 $ |
| $ V = m_g g z $ |
Dado que la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
con $m$ representando la masa. Para mover esta desde una altura $h_1$ a una altura $h_2$, se recorre una distancia de
| $ V = m g ( h_2 - h_1 )$ |
lo que implica que la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
con $\Delta s=\Delta h$ nos proporciona la variación de la energía potencial:
$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$
esto lleva a que la energía potencial gravitacional sea
| $ V = m_g g z $ |
ID:(3245, 1)
Energía potencial gravitacional en la superficie del planeta (2)
Ecuación
En la superficie del planeta, la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
y la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
puede demostrarse que en este caso es
| $ V_2 = m_g g z_2 $ |
| $ V = m_g g z $ |
Dado que la fuerza gravitacional es
| $ F_g = m_g g $ |
con $m$ representando la masa. Para mover esta desde una altura $h_1$ a una altura $h_2$, se recorre una distancia de
| $ V = m g ( h_2 - h_1 )$ |
lo que implica que la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
con $\Delta s=\Delta h$ nos proporciona la variación de la energía potencial:
$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$
esto lleva a que la energía potencial gravitacional sea
| $ V = m_g g z $ |
ID:(3245, 2)
Igualdad de masa inercial y gravitacional
Ecuación
Las masas que Newton utilizó en sus principios están relacionadas con la inercia de los cuerpos, lo que lleva al concepto de la masa inercial ($m_i$).
La ley de Newton que se vincula con la fuerza entre cuerpos debido a sus masas está relacionada con la gravedad, por lo que se conoce como la masa gravitacional ($m_g$).
De manera empírica, se ha concluido que ambas masas son equivalentes, y por lo tanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein fue quien cuestionó esta igualdad y, a partir de esa duda, comprendió por qué ambas 'aparecen' iguales en su teoría de la gravedad. En su argumento, Einstein explicó que las masas deforman el espacio, y esta deformación del espacio provoca un cambio en el comportamiento de los cuerpos. De esta manera, las masas resultan ser equivalentes. El concepto revolucionario de la curvatura del espacio implica que incluso la luz, que carece de masa, se ve afectada por los cuerpos celestes, lo que contradice la teoría de la gravitación de Newton. Esto se demostró experimentalmente al estudiar el comportamiento de la luz durante un eclipse solar. En esta situación, los haces de luz se desvían debido a la presencia del sol, lo que permite observar estrellas que se encuentran detrás de él.
ID:(12552, 0)