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Potentielle Gravitationsenergie
Storyboard 
Wenn ein Körper gegen die Gravitationskraft auf eine bestimmte Höhe angehoben wird, gewinnt er potenzielle Gravitationsenergie, die proportional zu seiner Masse, der Gravitationsbeschleunigung und der erreichten Höhe ist.
ID:(1422, 0)
Achterbahn
Beschreibung
Betrachten wir einen Achterbahnwagen, der sich ohne Reibung bewegt, bleibt seine Energie erhalten.
Das bedeutet, dass an jedem beliebigen Punkt die Gesamtenergie stets gleich bleibt:
| $ E_1 = E_2 $ |
Da die Energie aus einem Teil Gesamte kinetische Energie ($K$) und einem anderen die Potenzielle Energie ($V$) besteht, gemäß:
| $ E = K + V $ |
folgt daraus, dass, wenn eine Komponente zunimmt, die andere abnehmen muss, und umgekehrt. Da Translational Kinetic Energy ($K_t$) von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) abhängt, wie beschrieben in:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
während die Potenzielle Energie ($V$) von die Gravitationsmasse ($m_g$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe über dem Boden ($z$) abhängt, gemäß:
| $ V = m_g g z $ |
sehen wir, dass bei zunehmender Höhe die Geschwindigkeit abnimmt und umgekehrt. Auf diese Weise können wir die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe entlang der gesamten Achterbahn vorhersagen.
Wenn Sie einen speziellen Fall untersuchen, sollten Sie darauf achten, bei der Annahme von Daten sicherzustellen, dass eine Lösung existiert. Wenn eine zu niedrige Energie im Vergleich zu einer höheren potenziellen Energie angenommen wird, gibt es keine Geschwindigkeit, bei der die Gleichungen eine Lösung haben. Dies würde bedeuten, dass eine Position betrachtet wird, die das Objekt aufgrund unzureichender Energie niemals erreichen könnte.
ID:(15866, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ E_1 = K_1 + V_1 $
E = K + V
$ E_2 = K_2 + V_2 $
E = K + V
$ E_1 = E_2 $
E_1 = E_2
$ K_1 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_1 ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
$ K_2 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_2 ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ V_1 = m_g g z_1 $
V = m_g * g * z
$ V_2 = m_g g z_2 $
V = m_g * g * z
ID:(15863, 0)
Zeitinvariant
Gleichung
Invarianz (=keine Veränderung) in Bezug auf die Zeit bedeutet, dass etwas sich nicht verändert, während die Zeit vergeht. Mit anderen Worten, wenn etwas heute auf eine bestimmte Weise geschieht, wird es morgen genauso geschehen.
Die Zeitinvarianz ist mit der Energieerhaltung verbunden. Das bedeutet, dass die Summe aller Energien gleich der Gesamtenergie ist, die am Anfang vorhanden ist:
| $ E_1 = E_2 $ |
Ein Beispiel dafür ist ein Objekt in einem Gravitationsfeld, das immer das gleiche Verhalten zeigt. Dies bedeutet, dass das Gravitationsfeld keine Energie von sich bewegenden Objekten darin abgibt.
ID:(1177, 0)
Gesamtenergie (1)
Gleichung
Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus der Gesamtkinetischen Energie und der potenziellen Energie:
| $ E_1 = K_1 + V_1 $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 1)
Gesamtenergie (2)
Gleichung
Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus der Gesamtkinetischen Energie und der potenziellen Energie:
| $ E_2 = K_2 + V_2 $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 2)
Translationalle kinetische Energie (1)
Gleichung
Im Fall der Untersuchung von translatorischer Bewegung wird die Definition von Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ F = m_i a $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_1 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_1 ^2$ |
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
Die Energie, die benötigt wird, um ein Objekt von der Geschwindigkeit $v_1$ auf die Geschwindigkeit $v_2$ zu bringen, kann mithilfe der Definition mit berechnet werden.
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Mit Hilfe der Geschwindigkeitsdefinition mit
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
wobei die Differenz der Geschwindigkeiten ist
$\Delta v = v_2 - v_1$
Zudem kann die Geschwindigkeit selbst durch die Durchschnittsgeschwindigkeit angenähert werden
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke gelangen wir zu
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
So lässt sich die Änderung der Energie ausdrücken als
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
Auf diese Weise können wir die kinetische Energie definieren
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 1)
Translationalle kinetische Energie (2)
Gleichung
Im Fall der Untersuchung von translatorischer Bewegung wird die Definition von Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ F = m_i a $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_2 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_2 ^2$ |
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
Die Energie, die benötigt wird, um ein Objekt von der Geschwindigkeit $v_1$ auf die Geschwindigkeit $v_2$ zu bringen, kann mithilfe der Definition mit berechnet werden.
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Mit Hilfe der Geschwindigkeitsdefinition mit
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
wobei die Differenz der Geschwindigkeiten ist
$\Delta v = v_2 - v_1$
Zudem kann die Geschwindigkeit selbst durch die Durchschnittsgeschwindigkeit angenähert werden
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke gelangen wir zu
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
So lässt sich die Änderung der Energie ausdrücken als
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
Auf diese Weise können wir die kinetische Energie definieren
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 2)
Potenzielle Gravitationsenergie an der Oberfläche des Planeten (1)
Gleichung
An der Oberfläche des Planeten ist die Gravitationskraft
| $ F_g = m_g g $ |
und die Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
kann gezeigt werden, dass sie in diesem Fall
| $ V_1 = m_g g z_1 $ |
| $ V = m_g g z $ |
Weil die Gravitationskraft ist
| $ F_g = m_g g $ |
mit $m$ als Masse. Um diese von einer Höhe $h_1$ auf eine Höhe $h_2$ zu bewegen, wird eine Strecke von
| $ V = m g ( h_2 - h_1 )$ |
zurückgelegt. Daher ergibt sich die Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
mit $\Delta s=\Delta h$ die Veränderung der potenziellen Energie:
$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$
somit ist die potenzielle Gravitationsenergie
| $ V = m_g g z $ |
ist.
ID:(3245, 1)
Potenzielle Gravitationsenergie an der Oberfläche des Planeten (2)
Gleichung
An der Oberfläche des Planeten ist die Gravitationskraft
| $ F_g = m_g g $ |
und die Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
kann gezeigt werden, dass sie in diesem Fall
| $ V_2 = m_g g z_2 $ |
| $ V = m_g g z $ |
Weil die Gravitationskraft ist
| $ F_g = m_g g $ |
mit $m$ als Masse. Um diese von einer Höhe $h_1$ auf eine Höhe $h_2$ zu bewegen, wird eine Strecke von
| $ V = m g ( h_2 - h_1 )$ |
zurückgelegt. Daher ergibt sich die Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
mit $\Delta s=\Delta h$ die Veränderung der potenziellen Energie:
$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$
somit ist die potenzielle Gravitationsenergie
| $ V = m_g g z $ |
ist.
ID:(3245, 2)
Gleichheit von träger und schwerer Masse
Gleichung
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Trägheit der Körper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) führt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen Körpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen äquivalent sind, und daher definieren wir
| $ m_g = m_i $ |
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erklärte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung führt zu einer Veränderung des Verhaltens von Körpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als äquivalent. Das revolutionäre Konzept der Raumkrümmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelskörpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht während einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es ermöglicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
ID:(12552, 0)