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Péndulo Físico
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En el caso de un péndulo compuesto con una masa real, la energía potencial se genera al elevar el centro de masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.
ID:(1421, 0)
Oscilaciones con un péndulo físico
Descripción
A diferencia del péndulo matemático, el péndulo físico trabaja con una masa real en lugar de una masa puntual. Mientras que la longitud $l$ se define como la distancia entre el eje y el centro de masa del cuerpo, la energía potencial de ambos péndulos coincide. Sin embargo, la energía cinética ya no se puede aproximar utilizando expresiones que dependen solo de $l$ y $m$, sino que es necesario conocer el momento de inercia real del cuerpo.
ID:(7097, 0)
Péndulo físico
Descripción
A diferencia del péndulo matemático, el péndulo físico trabaja con una masa real en lugar de un punto. Al definir la longitud $l$ como la distancia entre el eje y el centro de masa del cuerpo, la energía potencial de ambos péndulos coincide. Sin embargo, la energía cinética ya no puede aproximarse mediante la expresión que depende de $l$ y $m$, sino que debe incluir el momento de inercia real del cuerpo.
ID:(1188, 0)
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Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ E = K_r + V $
E = K + V
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$
omega_0 ^2 = m * g * L / I
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15853, 0)
Energía total
Ecuación
La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:
| $ E = K_r + V $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Energía cinética de rotación
Ecuación
En el caso de estudio de la translación, la definición de la energía
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ T = I \alpha $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad angular de $\omega_1$ a $\omega_2$ se puede calcular utilizando la definición
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Utilizando la definición de velocidad angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
La diferencia en las velocidades angulares es
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por otro lado, la velocidad angular en sí se puede aproximar con la velocidad angular promedio
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Utilizando ambas expresiones, obtenemos la ecuación
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Así, el cambio en la energía está dado por
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Esto nos permite definir la energía cinética como
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Energía potencial de un péndulo matemático para pequeños ángulos (1)
Ecuación
La energía potencial gravitacional de un péndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ángulos pequeños puede aproximarse como:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energía potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.
ID:(4514, 1)
Energía potencial de un péndulo matemático para pequeños ángulos (2)
Ecuación
La energía potencial gravitacional de un péndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ángulos pequeños puede aproximarse como:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energía potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.
ID:(4514, 2)
Frecuencia angular para un péndulo físico
Ecuación
En relación al péndulo físico:
La energía se expresa como:
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Consecuentemente, la frecuencia angular es:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
Dado que la energía cinética del péndulo físico con momento de inercia $I$ y velocidad angular $\omega$ está representada por
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
y la energía potencial gravitacional está dada por
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
donde $m$ es la masa, $l$ es la longitud de la cuerda, $\theta$ es el ángulo y $g$ es la aceleración angular, la ecuación de energía se expresa como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Dado que el período se define como
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$
podemos determinar la frecuencia angular como
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
ID:(4517, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Ecuación
Como la frecuencia angular es con frecuencia angular $rad/s$, período $s$ y pi $rad$ igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \omega_0 = 2 \pi \nu $ |
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)
Frecuencia angular
Ecuación
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Frecuencia
Ecuación
La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Amplitud de la oscilación
Ecuación
Con la descripción de la oscilación usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la parte real corresponde a la evolución temporal de la amplitud
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Velocidad de la oscilación
Ecuación
Al obtener la parte real de la derivada del número complejo que representa la oscilación
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuya parte real se refiere a la velocidad
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Utilizando el número complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)