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Péndulo Matemático
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En el caso de un péndulo compuesto por una masa puntual, la energía potencial se genera al elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.
ID:(1420, 0)
Oscilaciones con un péndulo matemático
Descripción
Un péndulo se describe como una masa puntual $m$ suspendida de una cuerda que está unida al eje de giro y tiene una longitud $l$. Se le llama péndulo matemático debido a que es una idealización de un péndulo físico, ya que en este caso, la masa se considera puntual y concentrada en un solo punto.
ID:(7098, 0)
Péndulo matemático
Descripción
Un péndulo se caracteriza por una masa puntual $m$ que cuelga de una cuerda unida al eje de giro de longitud $l$. Se le llama péndulo matemático porque es una idealización de un péndulo físico, en el cual la masa se considera puntual.
ID:(1180, 0)
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Ecuaciones
$ E = K + V $
E = K + V
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$
K = m_i * L ^2* omega ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$
omega_0 ^2 = g / L
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15852, 0)
Energía total
Ecuación
La energía total corresponde a la suma de la energía cinética total y la energía potencial:
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Energía cinética de una péndulo matemático
Ecuación
Como la energía cinética de un cuerpo de rota es
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
donde $I$ es el momento de inercia y $\omega$ la velocidad angular y el momento de inercia de una masa puntual $m$ que rota a una distancia $L$ de un eje es
| $ I = m L ^2$ |
se tiene que
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Energía potencial de un péndulo matemático para pequeños ángulos (1)
Ecuación
La energía potencial gravitacional de un péndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ángulos pequeños puede aproximarse como:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energía potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.
ID:(4514, 1)
Energía potencial de un péndulo matemático para pequeños ángulos (2)
Ecuación
La energía potencial gravitacional de un péndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ángulos pequeños puede aproximarse como:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
La energía potencial gravitacional de un péndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para pequeños ángulos, la función coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo término
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energía potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ángulo debe estar expresado en radianes.
ID:(4514, 2)
Igualdad de masa inercial y gravitacional
Ecuación
Las masas que Newton utilizó en sus principios están relacionadas con la inercia de los cuerpos, lo que lleva al concepto de la masa inercial ($m_i$).
La ley de Newton que se vincula con la fuerza entre cuerpos debido a sus masas está relacionada con la gravedad, por lo que se conoce como la masa gravitacional ($m_g$).
De manera empírica, se ha concluido que ambas masas son equivalentes, y por lo tanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein fue quien cuestionó esta igualdad y, a partir de esa duda, comprendió por qué ambas 'aparecen' iguales en su teoría de la gravedad. En su argumento, Einstein explicó que las masas deforman el espacio, y esta deformación del espacio provoca un cambio en el comportamiento de los cuerpos. De esta manera, las masas resultan ser equivalentes. El concepto revolucionario de la curvatura del espacio implica que incluso la luz, que carece de masa, se ve afectada por los cuerpos celestes, lo que contradice la teoría de la gravitación de Newton. Esto se demostró experimentalmente al estudiar el comportamiento de la luz durante un eclipse solar. En esta situación, los haces de luz se desvían debido a la presencia del sol, lo que permite observar estrellas que se encuentran detrás de él.
ID:(12552, 0)
Frecuencia angular de un péndulo matemático
Ecuación
En el caso del péndulo matemático
la energía se puede expresar como
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
y a partir de esta expresión podemos obtener la frecuencia angular
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
La energía cinética del péndulo matemático con masa $m$, largo de cuerda $r$ y velocidad angular $\omega$ es
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
y la energía potencial gravitacional es
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
con $\theta$ siendo el ángulo y $g$ la aceleración angular, la ecuación de energía total se expresa como
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que el período es igual a
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
podemos relacionar la frecuencia angular como
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
Frecuencia angular
Ecuación
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Frecuencia
Ecuación
La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Ecuación
Como la frecuencia angular es con frecuencia angular $rad/s$, período $s$ y pi $rad$ igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \omega_0 = 2 \pi \nu $ |
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)
Amplitud de la oscilación
Ecuación
Con la descripción de la oscilación usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la parte real corresponde a la evolución temporal de la amplitud
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Velocidad de la oscilación
Ecuación
Al obtener la parte real de la derivada del número complejo que representa la oscilación
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuya parte real se refiere a la velocidad
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Utilizando el número complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)