Storyboard

Quando um corpo é elevado contra a força gravitacional a uma determinada altura, ele adquire energia potencial gravitacional, que é proporcional à sua massa, à aceleração gravitacional e à altura atingida.

>Modelo

ID:(1422, 0)

Iframe

>Top

ID:(15864, 0)

Descrição

>Top

Se considerarmos um carrinho de montanha-russa que se move sem atrito, sua energia permanecerá conservada.

Isso significa que, em qualquer par de pontos que consideremos, a energia total será sempre a mesma:

Como a energia é composta por uma parte energia cinética total ($K$) e outra la energia potencial ($V$), conforme:

segue-se que, se uma dessas componentes aumentar, a outra terá que diminuir, e vice-versa. Como energia cinética translacional ($K_t$) depende de la massa inercial ($m_i$) e la velocidade ($v$), de acordo com:

enquanto la energia potencial ($V$) depende de la massa gravitacional ($m_g$), la aceleração gravitacional ($g$) e la altura acima do solo ($z$), conforme descrito em:

veremos que, sempre que a altura aumenta, a velocidade diminui, e vice-versa. Dessa forma, podemos prever a velocidade em qualquer altura ao longo da montanha-russa.

Se você estiver analisando um caso específico, é importante ter cuidado ao presumir dados para garantir que haja uma solução. Se você assumir uma energia muito baixa em comparação com uma energia potencial mais alta, não haverá uma velocidade para a qual as equações tenham solução. Isso significaria que você está considerando uma posição que o objeto nunca poderia alcançar devido à falta de energia suficiente.

ID:(15866, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$z_1$

z_1

Altura acima do solo no ponto 1

m

$z_2$

z_2

Altura acima do solo no ponto 2

m

$K_1$

K_1

Energia cinética no ponto 1

J

$K_2$

K_2

Energia cinética no ponto 2

J

$E_1$

E_1

Energia no ponto 1

J

$E_2$

E_2

Energia no ponto 2

J

$m_g$

m_g

Massa gravitacional

kg

$m_i$

m_i

Massa inercial

kg

Variáveis

$V_1$

V_1

Energia potencial gravítica no ponto 1

J

$V_2$

V_2

Energia potencial gravítica no ponto 2

J

$v_1$

v_1

Velocidade no ponto 1

m/s

$v_2$

v_2

Velocidade no ponto 2

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15863, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A invariância (=não mudança) em relação ao tempo significa que algo não muda à medida que o tempo passa. Em outras palavras, se algo acontece de uma certa maneira hoje, acontecerá da mesma maneira amanhã.

A invariância em relação ao tempo está associada à conservação de energia. Isso implica que a soma de todas as energias será igual à energia total presente no início:

$ E_1 = E_2 $

Condições

Variáveis

$E_1$

Energia no ponto 1

$J$

10414

$E_2$

Energia no ponto 2

$J$

10415

Relação

Um exemplo é um objeto em um campo gravitacional que consistentemente se comporta da mesma maneira, indicando que o campo gravitacional não dissipa energia dos objetos em movimento dentro dele.

ID:(1177, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A energia total corresponde à soma da energia cinética total e da energia potencial:

$ E_1 = K_1 + V_1 $

$ E = K + V $

Condições

Variáveis

$K$

$K_1$

Energia cinética no ponto 1

$J$

10422

$V$

$V_1$

Energia potencial gravítica no ponto 1

$J$

10416

$E$

$E_1$

Energia no ponto 1

$J$

10414

Relação

ID:(3687, 1)

Equação

>Top, >Modelo

A energia total corresponde à soma da energia cinética total e da energia potencial:

$ E_2 = K_2 + V_2 $

$ E = K + V $

Condições

Variáveis

$K$

$K_2$

Energia cinética no ponto 2

$J$

10423

$V$

$V_2$

Energia potencial gravítica no ponto 2

$J$

10417

$E$

$E_2$

Energia no ponto 2

$J$

10415

Relação

ID:(3687, 2)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que se estuda a translação, a definição de energia

é aplicada ao segundo princípio de Newton

resultando na expressão

$ K_1 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_1 ^2$

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

Condições

Variáveis

$K_t$

$K_1$

Energia cinética no ponto 1

$J$

10422

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$v$

$v_1$

Velocidade no ponto 1

$m/s$

10418

Relação

Desenvolvimento

A energia necessária para que um objeto passe da velocidade $v_1$ para a velocidade $v_2$ pode ser calculada usando a definição com

$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $

Com a segunda lei de Newton, essa expressão pode ser reescrita como

$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$

Usando a definição de velocidade com

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

obtemos

$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$

onde a diferença de velocidades é

$\Delta v = v_2 - v_1$

Além disso, a velocidade em si pode ser aproximada pela velocidade média

$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$

Usando ambas as expressões, obtemos a expressão

$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

Portanto, a energia varia conforme

$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$

Dessa forma, podemos definir a energia cinética

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

ID:(3244, 1)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que se estuda a translação, a definição de energia

é aplicada ao segundo princípio de Newton

resultando na expressão

$ K_2 =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v_2 ^2$

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

Condições

Variáveis

$K_t$

$K_2$

Energia cinética no ponto 2

$J$

10423

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

$v$

$v_2$

Velocidade no ponto 2

$m/s$

10419

Relação

Desenvolvimento

A energia necessária para que um objeto passe da velocidade $v_1$ para a velocidade $v_2$ pode ser calculada usando a definição com

$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $

Com a segunda lei de Newton, essa expressão pode ser reescrita como

$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$

Usando a definição de velocidade com

$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

obtemos

$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$

onde a diferença de velocidades é

$\Delta v = v_2 - v_1$

Além disso, a velocidade em si pode ser aproximada pela velocidade média

$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$

Usando ambas as expressões, obtemos a expressão

$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

Portanto, a energia varia conforme

$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$

Dessa forma, podemos definir a energia cinética

$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$

ID:(3244, 2)

Equação

>Top, >Modelo

Na superfície do planeta, a força gravitacional é

e a energia

pode ser demonstrado que neste caso é

$ V_1 = m_g g z_1 $

$ V = m_g g z $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$z$

$z_1$

Altura acima do solo no ponto 1

$m$

10420

$V$

$V_1$

Energia potencial gravítica no ponto 1

$J$

10416

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

Relação

Desenvolvimento

Como a força gravitacional é

$ F_g = m_g g $

com $m$ representando a massa. Para mover essa massa de uma altura $h_1$ para uma altura $h_2$, é percorrida uma distância de

$ V = m g ( h_2 - h_1 )$

portanto, a energia

$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $

com $\Delta s=\Delta h$ nos dá a variação de energia potencial:

$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$

assim, a energia potencial gravitacional é

$ V = m_g g z $

ID:(3245, 1)

Equação

>Top, >Modelo

Na superfície do planeta, a força gravitacional é

e a energia

pode ser demonstrado que neste caso é

$ V_2 = m_g g z_2 $

$ V = m_g g z $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$z$

$z_2$

Altura acima do solo no ponto 2

$m$

10421

$V$

$V_2$

Energia potencial gravítica no ponto 2

$J$

10417

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

Relação

Desenvolvimento

Como a força gravitacional é

$ F_g = m_g g $

com $m$ representando a massa. Para mover essa massa de uma altura $h_1$ para uma altura $h_2$, é percorrida uma distância de

$ V = m g ( h_2 - h_1 )$

portanto, a energia

$ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $

com $\Delta s=\Delta h$ nos dá a variação de energia potencial:

$\Delta W = F\Delta s=mg\Delta h=mg(h_2-h_1)=U_2-U_1=\Delta V$

assim, a energia potencial gravitacional é

$ V = m_g g z $

ID:(3245, 2)

Equação

>Top, >Modelo

As massas que Newton utilizou em seus princípios estão relacionadas à inércia dos corpos, o que leva ao conceito de la massa inercial ($m_i$).

A lei de Newton, que está ligada à força entre corpos devido às suas massas, está relacionada à gravidade, sendo conhecida como la massa gravitacional ($m_g$).

Empiricamente, concluiu-se que ambas as massas são equivalentes, e, portanto, definimos

$ m_g = m_i $

Condições

Variáveis

$m_g$

Massa gravitacional

$kg$

8762

$m_i$

Massa inercial

$kg$

6290

Relação

Einstein foi quem questionou essa igualdade e, a partir dessa dúvida, compreendeu por que ambas 'aparecem' iguais em sua teoria da gravidade. Em seu argumento, Einstein explicou que as massas deformam o espaço, e essa deformação do espaço causa uma mudança no comportamento dos corpos. Assim, as massas acabam sendo equivalentes. O conceito revolucionário da curvatura do espaço implica que até mesmo a luz, que não tem massa, é afetada por corpos celestes, contradizendo a teoria da gravitação de Newton. Isso foi demonstrado experimentalmente ao estudar o comportamento da luz durante um eclipse solar. Nessa situação, os feixes de luz são desviados devido à presença do sol, permitindo a observação de estrelas que estão atrás dele.

ID:(12552, 0)