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Mathematischen Pendel
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Im Fall eines Pendels mit Punktmasse wird die potenzielle Energie durch das Anheben der Masse gegen das Gravitationsfeld erzeugt, wenn das Pendel um einen bestimmten Winkel ausgelenkt wird.
ID:(1420, 0)
Schwingungen mit einem mathematischen Pendel
Beschreibung
Ein Pendel wird als eine Massenpunkt $m$ beschrieben, der an einer Schnur hängt, die an einem Drehpunkt befestigt ist und eine Länge von $l$ hat. Es wird als mathematisches Pendel bezeichnet, weil es eine Abstraktion eines physikalischen Pendels ist, bei dem die Masse als Massenpunkt betrachtet wird.
ID:(7098, 0)
Mathematisches Pendel
Beschreibung
Ein Pendel wird durch eine punktförmige Masse $m$ beschrieben, die an einer Schnur hängt, die mit einem Drehpunkt der Länge $l$ verbunden ist. Es wird als mathematisches Pendel bezeichnet, da es eine Abstraktion eines physikalischen Pendels darstellt, bei dem die Masse als punktförmig betrachtet wird.
ID:(1180, 0)
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, dann die Variable auswählen: 
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Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ E = K + V $
E = K + V
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$
K = m_i * L ^2* omega ^2/2
$ m_g = m_i $
m_g = m_i
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$
omega_0 ^2 = g / L
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15852, 0)
Gesamtenergie
Gleichung
Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus der Gesamtkinetischen Energie und der potenziellen Energie:
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Kinetische Energie eines mathematischen Pendels
Gleichung
Die kinetische Energie eines rotierenden Körpers ist gegeben durch
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
wobei $I$ das Trägheitsmoment und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit ist. Für eine Punktmasse $m$, die sich in einer Entfernung $L$ von einer Achse dreht, ist das Trägheitsmoment
| $ I = m L ^2$ |
somit ergibt sich
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Potenzielle Energie eines mathematischen Pendels für kleine Winkel (1)
Gleichung
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels ist
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
die für kleine Winkel approximiert werden kann als:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
wobei
Für kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Diese Näherung führt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es ist wichtig zu beachten, dass der Winkel in Radiant angegeben sein muss.
ID:(4514, 1)
Potenzielle Energie eines mathematischen Pendels für kleine Winkel (2)
Gleichung
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels ist
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
die für kleine Winkel approximiert werden kann als:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
wobei
Für kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Diese Näherung führt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es ist wichtig zu beachten, dass der Winkel in Radiant angegeben sein muss.
ID:(4514, 2)
Gleichheit von träger und schwerer Masse
Gleichung
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Trägheit der Körper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) führt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen Körpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen äquivalent sind, und daher definieren wir
| $ m_g = m_i $ |
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erklärte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung führt zu einer Veränderung des Verhaltens von Körpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als äquivalent. Das revolutionäre Konzept der Raumkrümmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelskörpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht während einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es ermöglicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
ID:(12552, 0)
Winkelfrequenz eines mathematischen Pendels
Gleichung
Im Fall des mathematischen Pendels
kann die Energie ausgedrückt werden als
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
und aus diesem Ausdruck können wir die Winkelgeschwindigkeit erhalten
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
Die kinetische Energie des mathematischen Pendels mit Masse $m$, Seillänge $r$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$ ist
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
und die potenzielle Gravitationsenergie ist
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Mit $\theta$, das den Winkel repräsentiert, und $g$, der die Winkelbeschleunigung darstellt, wird die Gleichung für die Gesamtenergie ausgedrückt als
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Angesichts der Tatsache, dass die Periode gleich ist
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
können wir die Winkelgeschwindigkeit in Beziehung setzen als
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
Winkelfrequenz
Gleichung
Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Frequenz
Gleichung
Die Frequenz ($\nu$) entspricht der Anzahl der Schwingungen, die innerhalb einer Sekunde auftreten. Die Zeit ($T$) repräsentiert die Zeit, die für eine einzelne Schwingung benötigt wird. Daher ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
Die Frequenz wird in Hertz (Hz) angegeben.
ID:(4427, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Gleichung
Como la frecuencia angular es con pi $rad$, winkelfrequenz $rad/s$ und zeit $s$ igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a
| $ \omega_0 = 2 \pi \nu $ |
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)
Schwingungsamplitude
Gleichung
Mit der Beschreibung der Schwingung mittels
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
entspricht der Realteil der zeitlichen Entwicklung der Amplitude
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Schwunggeschwindigkeit
Gleichung
Wenn wir den Realteil der Ableitung der komplexen Zahl extrahieren, die die Schwingung repräsentiert
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
deren Realteil der Geschwindigkeit entspricht
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Mit der komplexen Zahl
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
eingeführt in
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
erhalten wir
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
daher wird die Geschwindigkeit als der Realteil erhalten
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)