Benützer:
Physikalischen Pendels
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Im Fall eines zusammengesetzten Pendels mit realer Masse wird die potenzielle Energie durch das Anheben des Schwerpunkts gegen das Gravitationsfeld erzeugt, wenn sich das Pendel um einen bestimmten Winkel auslenkt.
ID:(1421, 0)
Schwingungen mit einem physikalischen Pendel
Beschreibung
Im Gegensatz zum mathematischen Pendel arbeitet das physikalische Pendel mit einer realen, nicht punktförmigen Masse. Während die Länge $l$ als der Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Massenschwerpunkt des Körpers definiert ist, ist die potenzielle Energie beider Pendel gleich. Die kinetische Energie kann jedoch nicht mehr durch Ausdrücke approximiert werden, die nur von $l$ und $m$ abhängen. Stattdessen müssen Sie das tatsächliche Trägheitsmoment des Körpers kennen.
ID:(7097, 0)
Physikalisches Pendel
Beschreibung
Im Gegensatz zum mathematischen Pendel arbeitet das physikalische Pendel mit einer realen Masse, nicht mit einem Punkt. Wenn wir die Länge $l$ als den Abstand zwischen der Aufhängung und dem Schwerpunkt des Körpers definieren, stimmt die potenzielle Energie beider Pendel überein. Die kinetische Energie kann jedoch nicht mehr durch einen Ausdruck approximiert werden, der nur von $l$ und $m$ abhängt, sondern muss das tatsächliche Trägheitsmoment des Körpers berücksichtigen.
ID:(1188, 0)
Modell
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Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ E = K_r + V $
E = K + V
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
$ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$
nu =1/ T
$ \omega_0 = 2 \pi \nu $
omega = 2* pi * nu
$ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$
omega = 2* pi / T
$ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$
omega_0 ^2 = m * g * L / I
$ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $
v = - x_0 * omega_0 *sin( omega_0 * t )
$ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$
V = m_g * g * L * theta ^2/2
$ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $
x = x_0 *cos( omega_0 * t )
ID:(15853, 0)
Gesamtenergie
Gleichung
Die Gesamtenergie entspricht der Summe aus der Gesamtkinetischen Energie und der potenziellen Energie:
| $ E = K_r + V $ |
| $ E = K + V $ |
ID:(3687, 0)
Kinetische Energie der Rotation
Gleichung
Im untersuchten Fall der Translation wird die Definition der Energie
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ T = I \alpha $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ändern, kann mithilfe der Definition
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke ergibt sich die Gleichung
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Damit ändert sich die Energie gemäß
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Wir können dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Potenzielle Energie eines mathematischen Pendels für kleine Winkel (1)
Gleichung
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels ist
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
die für kleine Winkel approximiert werden kann als:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
wobei
Für kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Diese Näherung führt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es ist wichtig zu beachten, dass der Winkel in Radiant angegeben sein muss.
ID:(4514, 1)
Potenzielle Energie eines mathematischen Pendels für kleine Winkel (2)
Gleichung
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels ist
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
die für kleine Winkel approximiert werden kann als:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta_0 ^2$ |
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
wobei
Für kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Diese Näherung führt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es ist wichtig zu beachten, dass der Winkel in Radiant angegeben sein muss.
ID:(4514, 2)
Winkelfrequenz für ein physikalisches Pendel
Gleichung
Im Fall des physikalischen Pendels:
Die Energie ist gegeben durch:
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Daraus ergibt sich die Winkelgeschwindigkeit:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
Angesichts der kinetischen Energie des physikalischen Pendels mit Trägheitsmoment $I$ und Winkelgeschwindigkeit $\omega$, die durch
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
repräsentiert wird, sowie der potenziellen Gravitationsenergie, die durch
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
gegeben ist, wobei $m$ die Masse, $l$ die Seillänge, $\theta$ der Winkel und $g$ die Winkelbeschleunigung sind, kann die Energiegleichung wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Da die Periode definiert ist als
$T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$
können wir die Winkelgeschwindigkeit wie folgt bestimmen:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ m g L }{ I }$ |
ID:(4517, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Gleichung
Como la frecuencia angular es con pi $rad$, winkelfrequenz $rad/s$ und zeit $s$ igual a
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frequenz $Hz$ und zeit $s$ igual a
| $ \omega_0 = 2 \pi \nu $ |
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)
Winkelfrequenz
Gleichung
Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich
| $ \omega_0 = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
ID:(12335, 0)
Frequenz
Gleichung
Die Frequenz ($\nu$) entspricht der Anzahl der Schwingungen, die innerhalb einer Sekunde auftreten. Die Zeit ($T$) repräsentiert die Zeit, die für eine einzelne Schwingung benötigt wird. Daher ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
Die Frequenz wird in Hertz (Hz) angegeben.
ID:(4427, 0)
Schwingungsamplitude
Gleichung
Mit der Beschreibung der Schwingung mittels
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
entspricht der Realteil der zeitlichen Entwicklung der Amplitude
| $ \theta = \theta_0 \cos \omega_0 t $ |
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
ID:(14074, 0)
Schwunggeschwindigkeit
Gleichung
Wenn wir den Realteil der Ableitung der komplexen Zahl extrahieren, die die Schwingung repräsentiert
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
deren Realteil der Geschwindigkeit entspricht
| $ \omega = - \theta_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
Mit der komplexen Zahl
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
eingeführt in
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
erhalten wir
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
daher wird die Geschwindigkeit als der Realteil erhalten
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
ID:(14076, 0)