Storyboard

Se considerarmos um fluido sem viscosidade e sem turbulência (escoamento laminar), podemos supor que a energia é conservada e flui com o líquido (ou gás). Nestes casos, obtemos uma equação que estabelece que a soma da densidade de energia cinética e da densidade de energia potencial são constantes.

Isso permite calcular como a velocidade evolui em função da posição desde que a pressão existente ou qualquer campo de força seja conhecido.

O único problema é que a maioria dos meios apresenta viscosidade relevante e, portanto, tende a não ter turbulência ou esta é desprezível e o fluxo é intrinsecamente turbulento. Portanto, a aplicação da lei de Bernoulli é, nesse sentido, restrita, ou melhor, uma primeira aproximação.

>Modelo

ID:(684, 0)

Iframe

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ID:(15486, 0)

Conceito

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Se considerarmos o fluxo como uma série de volumes com lados $\Delta x$, $\Delta y$ e $\Delta z$ se movendo na corrente, podemos assumir que a energia contida neles se mantém constante. Isso significa que, se calculamos a densidade de energia em qualquer ponto, ela será sempre a mesma.

ID:(11097, 0)

Conceito

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Se o meio possui uma densidade $\rho$, a massa do volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ pode ser calculada como:

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

A partir disso, podemos estimar a energia cinética do elemento utilizando a velocidade $v$:

$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$

Isso pode ser visualizado na seguinte imagem:

Portanto, a densidade da energia cinética é

$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

ID:(11101, 0)

Conceito

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Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l'élément et si nous orientons le système de coordonnées de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donné par :

$F\Delta x$

Si la force est générée par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire à la direction de la force, c'est-à-dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l'énergie sera:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Cela peut être visualisé dans l'image suivante :

Portanto, a densidade da energia potencial gravitacional é

$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$

ID:(11102, 0)

Conceito

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Se assumirmos que existe uma força atuando no elemento e se orientarmos o sistema de coordenadas de forma que essa força atue na direção x, então a força estará realizando um trabalho dado por:

$F\Delta x$

Se a força for gerada por uma pressão, então ela atuará na superfície perpendicular à direção da força, ou seja, $\Delta y \Delta z$. Portanto, a energia será:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Isso pode ser visualizado na seguinte imagem:

Portanto, a densidade da energia geral é

$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$

ID:(11103, 0)

Conceito

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A hipótese de Bernoulli postula que a energia é conservada localmente, ou seja, não existem mecanismos que permitam a um volume do meio trocar energia com o seu ambiente. Se analisarmos a equação de energia $E$, que inclui:

• A energia cinética em função da massa $m$ e la velocidade em um raio do cilindro ($v$),
• A energia potencial gravitacional dependente de la aceleração gravitacional ($g$) e la altura da coluna ($h$),
• Uma força externa $F$ que impulsiona o líquido ao longo de uma distância $\Delta z$,
podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Considerando a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por la densidade ($\rho$):

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E dado que la pressão da coluna de água ($p$) é definido como:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação de la densidade de energia ($e$):

Em um contexto onde não há viscosidade, a conservação da energia sugere que la densidade de energia ($e$) se mantém constante em qualquer ponto do fluido. Assim, conhecer a velocidade e/ou a pressão em um local determinado do fluido permite estabelecer uma relação entre essas variáveis em qualquer outra parte do mesmo.

ID:(15708, 0)

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A hipótese da lei de Bernoulli é que a energia, e consequentemente la densidade de energia ($e$), permanece constante. Nesse caso, a densidade de energia é a soma de:

• Energia cinética, que depende de la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$),
• Energia potencial gravitacional, que depende de la aceleração gravitacional ($g$) e la altura da coluna ($h$),
• Energia potencial em geral, que depende de la pressão ($p$),
resultando em:

No entanto, isso limita a aplicabilidade da lei porque:

• A viscosidade é um processo no qual a energia se difunde pelo meio e, nesse sentido, a energia não é conservada localmente, pois é redistribuída no meio.

• Vórtices não podem existir, pois eles inerentemente têm zonas de diferentes densidades de energia, o que vai contra a hipótese. Isso significa que não descreveria um fluxo turbulento.

O problema é que na maioria dos casos, o fluxo pode ser dominado pela viscosidade, chamado de fluxo laminar, ou pela inércia, observado como fluxo turbulento. Portanto, a lei de Bernoulli é um modelo aplicável apenas em situações em que a inomogeneidade da densidade de energia é menor.

ID:(15500, 0)

Conceito

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Se assumirmos que la densidade de energia ($e$) é conservado, podemos afirmar que para uma célula onde a velocidade média é La velocidade em um raio do cilindro ($v$), a densidade é La densidade ($\rho$), a pressão é La pressão da coluna de água ($p$), a altura é La altura da coluna ($h$) e a aceleração gravitacional é La aceleração gravitacional ($g$), temos o seguinte:

Em um ponto 1, essa equação será igual à mesma equação em um ponto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

onde la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$), la hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) e la pressão na coluna 1 ($p_1$) representam a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$), la hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$) representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente.

Portanto, temos a equação de Bernoulli [1]:

[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)

É importante ter em mente as seguintes suposições:

A energia é conservada, especialmente assumindo a ausência de viscosidade.

Não há deformação no meio, portanto, a densidade permanece constante.

Não há vorticidade, ou seja, não há redemoinhos que gerem circulação no meio. O fluido deve exibir um comportamento laminar.

ID:(15707, 0)

Descrição

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Nos dispensadores de perfume, é criado um fluxo de ar sobre um tubo imerso no perfume. Isso faz com que a pressão diminua, resultando em uma pressão menor na coluna de perfume em relação à coluna gerada pelo líquido dentro do frasco. Como resultado, o líquido é impulsionado através da coluna. No final, o líquido que chega à parte superior é pulverizado e transportado pelo jato de ar.

Para modelar o sistema, pode-se utilizar a lei de Bernoulli com a densidade do líquido la densidade líquida ($\rho_w$) e a altura la aceleração gravitacional ($g$). Se o ponto 1 estiver na base do tubo de transporte do líquido, então la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$) é nulo, la hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) é a profundidade do líquido ($h$), e la pressão na coluna 1 ($p_1$) é a pressão atmosférica. Se o ponto 2 estiver na saída superior do tubo de transporte do líquido, então la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$) é a velocidade com que o líquido emerge ($v$), la hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) é nulo, e la pressão na coluna 2 ($p_2$) é a pressão atmosférica. Portanto, a expressão

se reduz a

$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

pois a pressão atmosférica é simplificada. Com isso, a velocidade com que o líquido emerge é:

$v = \sqrt{ 2 g h }$

ID:(11096, 0)

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Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$\rho$

rho

Densidade

kg/m^3

Variáveis

$\Delta h$

Dh

Altura da coluna líquida

m

$e_1$

e_1

Densidade de energia em 1

J/m^3

$e_2$

e_2

Densidade de energia em 2

J/m^3

$\Delta v$

Dv

Diferença de velocidade entre superfícies

m/s

$h_1$

h_1

Hauteur ou profondeur 1

m

$h_2$

h_2

Hauteur ou profondeur 2

m

$p_1$

p_1

Pressão na coluna 1

Pa

$p_2$

p_2

Pressão na coluna 2

Pa

$v_1$

v_1

Velocidade média do fluido no ponto 1

m/s

$v_2$

v_2

Velocidade média do fluido no ponto 2

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15489, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a energia for conservada dentro dos volumes que fluem com o fluxo, então la densidade de energia em 1 ($e_1$) e la densidade de energia em 2 ($e_2$) devem ser iguais:

$e_1 = e_2$

Condições

Variáveis

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

10296

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

10297

Relação

Isso só é possível se a viscosidade for negligenciável, pois ela está associada à difusão de energia, e não há vórtices presentes, os quais apresentam diferenças de energia devido às velocidades tangenciais variadas ao longo do raio do vórtice.

ID:(15499, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p$), temos:

$e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1$

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

6259

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$e$

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

10296

$p$

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

6261

$v$

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

5415

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

o que corresponde à equação de Bernoulli.

ID:(3159, 1)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p$), temos:

$e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2$

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

6260

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$e$

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

10297

$p$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

6262

$v$

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

5416

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

o que corresponde à equação de Bernoulli.

ID:(3159, 2)

Equação

>Top, >Modelo

Com la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$), la hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) e la pressão na coluna 1 ($p_1$) representando a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$), la hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$) representando a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente, temos:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

6259

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

6260

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

6261

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

6262

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

5415

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

5416

Relação

Desenvolvimento

Se assumirmos que la densidade de energia ($e$) é conservado, podemos afirmar que para uma célula onde a velocidade média é La velocidade em um raio do cilindro ($v$), a densidade é La densidade ($\rho$), a pressão é La pressão da coluna de água ($p$), a altura é La altura da coluna ($h$) e a aceleração gravitacional é La aceleração gravitacional ($g$), temos o seguinte:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

Em um ponto 1, essa equação será igual à mesma equação em um ponto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

onde la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$), la hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) e la pressão na coluna 1 ($p_1$) representam a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$), la hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$) representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente. Portanto, temos:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2$

ID:(4504, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A diferença de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

$\Delta p = \rho g \Delta h$

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Altura da coluna líquida

$m$

5819

$\rho_w$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

5342

Relação

Desenvolvimento

Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

$\Delta p = p_2 - p_1$

podemos usar la pressão da coluna de água ($p$), que é definida como:

$p_t = p_0 + \rho_w g h$

Isso resulta em:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Como la diferença de altura ($\Delta h$) é:

$\Delta h = h_2 - h_1$

la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:

$\Delta p = \rho_w g \Delta h$

ID:(4345, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la altura da coluna líquida 1 ($h_1$) e la altura da coluna líquida 2 ($h_2$), é criada uma la diferença de altura ($\Delta h$), que é calculada da seguinte forma:

$\Delta h = h_2 - h_1$

Condições

Variáveis

$\Delta h$

Altura da coluna líquida

$m$

5819

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

6259

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

6260

Relação

A La diferença de altura ($\Delta h$) irá gerar a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4251, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la pressão na coluna 1 ($p_1$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$), é criada uma la diferença de pressão ($\Delta p$) que é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

$\Delta p = p_2 - p_1$

Condições

Variáveis

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

6261

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

6262

Relação

la diferença de pressão ($\Delta p$) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4252, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$) está com la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$) e la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$) é

$\Delta v = v_2 - v_1$

Condições

Variáveis

$\Delta v$

Diferença de velocidade entre superfícies

$m/s$

5556

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

5415

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

5416

Relação

ID:(15502, 0)