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Se considerarmos um fluido sem viscosidade e sem turbulência (escoamento laminar), podemos supor que a energia é conservada e flui com o líquido (ou gás). Nestes casos, obtemos uma equação que estabelece que a soma da densidade de energia cinética e da densidade de energia potencial são constantes.

Isso permite calcular como a velocidade evolui em função da posição desde que a pressão existente ou qualquer campo de força seja conhecido.

O único problema é que a maioria dos meios apresenta viscosidade relevante e, portanto, tende a não ter turbulência ou esta é desprezível e o fluxo é intrinsecamente turbulento. Portanto, a aplicação da lei de Bernoulli é, nesse sentido, restrita, ou melhor, uma primeira aproximação.

>Modelo

ID:(684, 0)

Conceito

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ID:(15486, 0)

Conceito

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Se considerarmos o fluxo como uma série de volumes com lados $\Delta x$, $\Delta y$ e $\Delta z$ se movendo na corrente, podemos assumir que a energia contida neles se mantém constante. Isso significa que, se calculamos a densidade de energia em qualquer ponto, ela será sempre a mesma.

ID:(11097, 0)

Conceito

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Se o meio possui uma densidade $\rho$, a massa do volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ pode ser calculada como:

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

A partir disso, podemos estimar a energia cinética do elemento utilizando a velocidade $v$:

$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$

Isso pode ser visualizado na seguinte imagem:

Portanto, a densidade da energia cinética é

$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

ID:(11101, 0)

Conceito

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Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l'élément et si nous orientons le système de coordonnées de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donné par :

$F\Delta x$

Si la force est générée par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire à la direction de la force, c'est-à-dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l'énergie sera:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Cela peut être visualisé dans l'image suivante :

Portanto, a densidade da energia potencial gravitacional é

$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$

ID:(11102, 0)

Conceito

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Se assumirmos que existe uma força atuando no elemento e se orientarmos o sistema de coordenadas de forma que essa força atue na direção x, então a força estará realizando um trabalho dado por:

$F\Delta x$

Se a força for gerada por uma pressão, então ela atuará na superfície perpendicular à direção da força, ou seja, $\Delta y \Delta z$. Portanto, a energia será:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Isso pode ser visualizado na seguinte imagem:

Portanto, a densidade da energia geral é

$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$

ID:(11103, 0)

Conceito

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A hipótese da lei de Bernoulli é que a energia, e consequentemente la densidade de energia ($e$), permanece constante. Nesse caso, a densidade de energia é a soma de:

• Energia cinética, que depende de la densidade líquida ($\rho_w$) e la velocidade em um raio do cilindro ($v$),
• Energia potencial gravitacional, que depende de la aceleração gravitacional ($g$) e la altura da coluna ($h$),
• Energia potencial em geral, que depende de la pressão ($p$),
resultando em:

No entanto, isso limita a aplicabilidade da lei porque:

• A viscosidade é um processo no qual a energia se difunde pelo meio e, nesse sentido, a energia não é conservada localmente, pois é redistribuída no meio.

• Vórtices não podem existir, pois eles inerentemente têm zonas de diferentes densidades de energia, o que vai contra a hipótese. Isso significa que não descreveria um fluxo turbulento.

O problema é que na maioria dos casos, o fluxo pode ser dominado pela viscosidade, chamado de fluxo laminar, ou pela inércia, observado como fluxo turbulento. Portanto, a lei de Bernoulli é um modelo aplicável apenas em situações em que a inomogeneidade da densidade de energia é menor.

ID:(15500, 0)

Conceito

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O tubo de Venturi apresenta uma seção mais estreita e dois tubos verticais para medir a pressão. Quando o líquido circula pelo tubo, observa-se que as colunas na parte de maior seção são mais altas, enquanto na parte de menor seção, a coluna é mais baixa. Isso implica que na seção mais estreita, a velocidade do líquido é maior, gerando uma menor pressão dinâmica.

A velocidade gerada pela diferença de pressão pode ser modelada com o princípio de Bernoulli. Como la densidade de energia ($e$) é constante, la velocidade em um raio do cilindro ($v$) e la pressão ($p$) variam inversamente, e esta última pode ser medida com aberturas onde colunas do líquido emergem com as correspondentes la altura da coluna ($h$). A relação é descrita por la densidade líquida ($\rho_w$) e la aceleração gravitacional ($g$) como:

ID:(11093, 0)

Descrição

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Nos dispensadores de perfume, é criado um fluxo de ar sobre um tubo imerso no perfume. Isso faz com que a pressão diminua, resultando em uma pressão menor na coluna de perfume em relação à coluna gerada pelo líquido dentro do frasco. Como resultado, o líquido é impulsionado através da coluna. No final, o líquido que chega à parte superior é pulverizado e transportado pelo jato de ar.

Para modelar o sistema, pode-se utilizar a lei de Bernoulli com a densidade do líquido la densidade líquida ($\rho_w$) e a altura la aceleração gravitacional ($g$). Se o ponto 1 estiver na base do tubo de transporte do líquido, então la velocidade média do fluido no ponto 1 ($v_1$) é nulo, la hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) é a profundidade do líquido ($h$), e la pressão na coluna 1 ($p_1$) é a pressão atmosférica. Se o ponto 2 estiver na saída superior do tubo de transporte do líquido, então la velocidade média do fluido no ponto 2 ($v_2$) é a velocidade com que o líquido emerge ($v$), la hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) é nulo, e la pressão na coluna 2 ($p_2$) é a pressão atmosférica. Portanto, a expressão

se reduz a

$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $

pois a pressão atmosférica é simplificada. Com isso, a velocidade com que o líquido emerge é:

$v = \sqrt{ 2 g h }$

ID:(11096, 0)

Conceito

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Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15489, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura da coluna

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

Densidade de energia

$J/m^3$

$p$

Pressão da coluna de água

$Pa$

$v$

Velocidade em um raio do cilindro

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a energia for conservada dentro dos volumes que fluem com o fluxo, então la densidade de energia em 1 ($e_1$) e la densidade de energia em 2 ($e_2$) devem ser iguais:

$ e_1 = e_2 $

Condições

Variáveis

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

Relação

Isso só é possível se a viscosidade for negligenciável, pois ela está associada à difusão de energia, e não há vórtices presentes, os quais apresentam diferenças de energia devido às velocidades tangenciais variadas ao longo do raio do vórtice.

ID:(15499, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

$p$

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$v$

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 1)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

$p$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

$v$

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 2)

Equação

>Top, >Modelo

Se a energia é conservada e o meio flui sem deformação, a densidade entre dois pontos deve ser igual, resultando na conhecida equação de Bernoulli:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Se assumirmos que a densidade de energia é conservada, para uma célula em que a velocidade média é v, a densidade é \rho, a pressão é p, a altura é h e a aceleração gravitacional é g, temos o seguinte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

No ponto 1, essa equação será igual à mesma equação no ponto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

onde v_1, h_1 e p_1 representam a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e v_2, h_2 e p_2 representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente. Portanto, temos:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

É importante ter em mente as seguintes suposições:

A energia é conservada, especialmente assumindo a ausência de viscosidade.

Não há deformação no meio, portanto, a densidade permanece constante.

Não há vorticidade, ou seja, não há redemoinhos que gerem circulação no meio. O fluido deve exibir um comportamento laminar.

ID:(4504, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la altura da coluna líquida 1 ($h_1$) e la altura da coluna líquida 2 ($h_2$), é criada uma la diferença de altura ($\Delta h$), que é calculada da seguinte forma:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Condições

Variáveis

$\Delta h$

Diferença de altura ou profundidade

$m$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

Relação

A La diferença de altura ($\Delta h$) irá gerar a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4251, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la pressão na coluna 1 ($p_1$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$), é criada uma la diferença de pressão ($\Delta p$) que é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

Condições

Variáveis

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

Relação

la diferença de pressão ($\Delta p$) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4252, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A diferença de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$\Delta h$

Diferença de altura ou profundidade

$m$

Relação

Desenvolvimento

Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

podemos usar la pressão da coluna de água ($p_t$), que é definida como:

$ p = p_0 + \rho_w g h $

Isso resulta em:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Como la diferença de altura ($\Delta h$) é:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)