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No caso de uma coluna de líquido, pode-se aplicar a lei de Bernoulli juntamente com o termo de pressão hidrostática. No entanto, é importante notar que, ao não considerar a viscosidade do líquido, a redução do nível ocorre de forma uniforme. Nesse sentido, pode ser modelado usando a equação de continuidade para determinar a velocidade de descida do cilindro.

Para uma coluna de líquido com saída na base, o comportamento é semelhante ao que é estimado com o princípio de Bernoulli. As diferenças surgem devido à formação de pequenos redemoinhos na saída, que efetivamente reduzem a área de saída e obstruem o fluxo. No entanto, o fluxo de um líquido de baixa viscosidade pode ser modelado na zona sem redemoinhos usando o princípio de Bernoulli.

>Modelo

ID:(1427, 0)

Conceito

>Top

ID:(15487, 0)

Descrição

>Top

Quando você tem quatro colunas de diferentes seções interconectadas, o líquido assumirá o mesmo nível em todas elas. Se você abrir o canal de interconexão, o líquido começará a fluir em direção à abertura onde a pressão é igual à pressão ambiente. No primeiro cilindro, a pressão é igual à pressão da coluna de água mais a pressão atmosférica, portanto, a diferença em relação à pressão na saída é a pressão da primeira coluna. O líquido começa a ganhar velocidade enquanto a pressão dinâmica começa a diminuir, o que é evidente nas colunas cada vez menores.

ID:(11092, 0)

Descrição

>Top

Isso significa que à medida que a coluna vai esvaziando e a altura $h$ diminui, a velocidade $v$ também diminui de forma proporcional.

Os parâmetros-chave são:

• Diâmetro interno do recipiente: 93 mm

• Diâmetro interno do canal de evacuação: 3 mm

• Comprimento do canal de evacuação: 18 mm

Esses parâmetros são importantes para compreender e analisar o processo de esvaziamento da coluna e como a velocidade de saída varia com a altura.

ID:(9870, 0)

Conceito

>Top

Parâmetro selecionado

Cálculos

ID:(15490, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

$p$

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$v$

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 1)

Equação

>Top, >Modelo

Se a energia for conservada dentro dos volumes que fluem com o fluxo, então la densidade de energia em 1 ($e_1$) e la densidade de energia em 2 ($e_2$) devem ser iguais:

$ e_1 = e_2 $

Condições

Variáveis

$e_1$

Densidade de energia em 1

$J/m^3$

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

Relação

Isso só é possível se a viscosidade for negligenciável, pois ela está associada à difusão de energia, e não há vórtices presentes, os quais apresentam diferenças de energia devido às velocidades tangenciais variadas ao longo do raio do vórtice.

ID:(15499, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

$e_2$

Densidade de energia em 2

$J/m^3$

$p$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

$v$

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 2)

Equação

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Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia ($e$). Portanto, com la densidade ($\rho$), la velocidade em um raio do cilindro ($v$), la altura da coluna ($h$), la aceleração gravitacional ($g$) e la pressão da coluna de água ($p_t$), temos:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura da coluna

$m$

$\rho$

Densidade

$kg/m^3$

$e$

Densidade de energia

$J/m^3$

$p$

Pressão da coluna de água

$Pa$

$v$

Velocidade em um raio do cilindro

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia $E$, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância $\Delta z$, podemos expressá-la da seguinte forma:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Se considerarmos a energia em um volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos substituir a massa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

E como a pressão é dada por:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtemos a equação para a densidade de energia:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia ($e$) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(3159, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a energia é conservada e o meio flui sem deformação, a densidade entre dois pontos deve ser igual, resultando na conhecida equação de Bernoulli:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

$v_1$

Velocidade média do fluido no ponto 1

$m/s$

$v_2$

Velocidade média do fluido no ponto 2

$m/s$

Relação

Desenvolvimento

Se assumirmos que a densidade de energia é conservada, para uma célula em que a velocidade média é v, a densidade é \rho, a pressão é p, a altura é h e a aceleração gravitacional é g, temos o seguinte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

No ponto 1, essa equação será igual à mesma equação no ponto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

onde v_1, h_1 e p_1 representam a velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente, e v_2, h_2 e p_2 representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2, respectivamente. Portanto, temos:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

É importante ter em mente as seguintes suposições:

A energia é conservada, especialmente assumindo a ausência de viscosidade.

Não há deformação no meio, portanto, a densidade permanece constante.

Não há vorticidade, ou seja, não há redemoinhos que gerem circulação no meio. O fluido deve exibir um comportamento laminar.

ID:(4504, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la altura da coluna líquida 1 ($h_1$) e la altura da coluna líquida 2 ($h_2$), é criada uma la diferença de altura ($\Delta h$), que é calculada da seguinte forma:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Condições

Variáveis

$\Delta h$

Diferença de altura ou profundidade

$m$

$h_1$

Hauteur ou profondeur 1

$m$

$h_2$

Hauteur ou profondeur 2

$m$

Relação

A La diferença de altura ($\Delta h$) irá gerar a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4251, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando duas colunas de líquido são conectadas com la pressão na coluna 1 ($p_1$) e la pressão na coluna 2 ($p_2$), é criada uma la diferença de pressão ($\Delta p$) que é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

Condições

Variáveis

$p_1$

Pressão na coluna 1

$Pa$

$p_2$

Pressão na coluna 2

$Pa$

Relação

la diferença de pressão ($\Delta p$) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4252, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A área la seção ($S$) de um disco com um diâmetro de ($$) é calculada da seguinte forma:

$ S_1 = \pi r ^2$

$ S = \pi r ^2$

Condições

Variáveis

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$S$

$S_1$

Seção no ponto 1

$m^2$

Relação

ID:(3804, 1)

Equação

>Top, >Modelo

A área la seção ($S$) de um disco com um diâmetro de ($$) é calculada da seguinte forma:

$ v_{max} = \pi r ^2$

$ S = \pi r ^2$

Condições

Variáveis

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$S$

$v_{max}$

Velocidade máxima de fluxo através de um cilindro

$m^2$

Relação

ID:(3804, 2)

Equação

>Top, >Modelo

A diferença de altura, representada por la diferença de altura ($\Delta h$), implica que a pressão em ambas as colunas é diferente. Em particular, la diferença de pressão ($\Delta p$) é uma função de la densidade líquida ($\rho_w$), la aceleração gravitacional ($g$) e la diferença de altura ($\Delta h$), da seguinte forma:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho_w$

Densidade líquida

$kg/m^3$

$\Delta h$

Diferença de altura ou profundidade

$m$

Relação

Desenvolvimento

Se houver la diferença de pressão ($\Delta p$) entre dois pontos, conforme determinado pela equação:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

podemos usar la pressão da coluna de água ($p_t$), que é definida como:

$ p = p_0 + \rho_w g h $

Isso resulta em:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Como la diferença de altura ($\Delta h$) é:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

la diferença de pressão ($\Delta p$) pode ser expressa como:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)

Equação

>Top, >Modelo

ID:(4350, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de um líquido não viscoso fluindo de forma laminar, a diferença de pressão gerada pela coluna é a seguinte:

Isso resulta em um fluxo de velocidade $v$ através de um tubo de acordo com o princípio de Bernoulli:

Dada a velocidade e o raio do tubo, podemos calcular o fluxo, que está relacionado com o fluxo dentro da coluna através da lei da continuidade. Por sua vez, isso se relaciona com a variação da altura $h", como descrito em:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura da coluna

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$S$

Seção de tubo

$m^2$

$t$

Tempo

$s$

Relação

Desenvolvimento

Usando a equação de Bernoulli, podemos analisar o caso de uma coluna de água que gera uma diferença de pressão:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

e induz um fluxo de velocidade $v$ através de um tubo, de acordo com:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

Portanto, podemos estimar a velocidade como:

$v = \sqrt{2 g h}$

Essa velocidade, através de uma seção de tubo com raio $R$, resulta em um fluxo:

$J = \pi R^2 v$

Se a coluna tem uma área de seção transversal $S$ e sua altura diminui em relação à variação da altura $h$ ao longo do tempo $t$, podemos aplicar a lei da continuidade, que estabelece:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Portanto, a equação que descreve essa situação é:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

ID:(9882, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se observarmos a equação para o esvaziamento de uma coluna de líquido não viscoso:

podemos condensar as constantes em uma unidade de tempo característica:

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h_0$

Altura inicial da coluna líquida

$m$

$\tau_b$

Coluna de tempo característica com Bernoulli

$s$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Raio do cilindro

$m$

$S$

Seção de tubo

$m^2$

Relação

Desenvolvimento

Este valor representa o tempo necessário para que a coluna seja completamente esvaziada e depende da altura inicial.

ID:(14523, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A equação que descreve a evolução da coluna de líquido viscoso que está drenando é a seguinte:

Podemos reescrever esta equação em termos do tempo característico:

Ao realizar a integração, obtemos:

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Condições

Variáveis

$h$

Altura da coluna

$m$

$h_0$

Altura inicial da coluna líquida

$m$

$\tau_b$

Coluna de tempo característica com Bernoulli

$s$

$t$

Tempo

$s$

Relação

Desenvolvimento

Se na equação

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

as constantes forem substituídas por

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

obtemos a equação diferencial linear de primeira ordem

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$

cuja solução é

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Onde $h_0$ representa a altura inicial.

ID:(14524, 0)