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Bernoulli con presión hidrostatica
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Si consideramos un fluido sin viscosidad y sin turbulencias (flujo laminar), podemos suponer que la energía se conserva y fluye con el líquido (o gas). En estos casos, obtenemos una ecuación que establece que la suma de la densidad de energía cinética y la densidad de energía potencial son constantes.
Esto permite calcular cómo evoluciona la velocidad en función de la posición siempre que se conozca la presión existente o cualquier campo de fuerza.
El único problema es que la mayoría de los medios presentan una viscosidad relevante y, por lo tanto, tienden a no tener turbulencias o estas son despreciables y el flujo es intrínsecamente turbulento. Por lo tanto, la aplicación de la ley de Bernoulli en este sentido está restringida, o más bien, es una primera aproximación.
ID:(684, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15486, 0)
Movimiento de un elemento del liquido/gas con el flujo
Concepto
Si consideramos el flujo como una serie de volúmenes con lados $\Delta x$, $\Delta y$ y $\Delta z$ desplazándose en la corriente, podemos asumir que la energía contenida se mantiene constante. Esto implica que la densidad de energía calculada en cualquier punto siempre será la misma.
ID:(11097, 0)
Energía cinetica del elemento en el flujo
Concepto
Si el medio tiene una densidad $\rho$, la masa del volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ se puede calcular como:
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
A partir de esto, podemos estimar la energía cinética del elemento utilizando la velocidad $v$:
$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$
Esto se puede visualizar en la siguiente imagen:
Por ello la densidad de la energía cinetica resulta
$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
ID:(11101, 0)
Energía potencial gravitacional del elemento en el flujo
Concepto
Si el medio tiene una densidad de $\rho$ la masa del volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ se puede calcular de
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
con lo que se puede estimar con la altura $h$ la energía potencial gravitacional del elemento
$mgh=\rho\Delta x\Delta y\Delta z gh$
lo que se visualiza en
Por ello la densidad de la energía potencial gravitacional resulta
$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$
ID:(11102, 0)
Energía potencial general del elemento en el flujo
Concepto
Si asumimos que existe una fuerza que actúa sobre el elemento y si orientamos el sistema de coordenadas de modo que esta actúe en la dirección x, entonces la fuerza estará realizando un trabajo dado por:
$F\Delta x$
Si la fuerza es generada por una presión, entonces esta actuará sobre la superficie perpendicular a la dirección de la fuerza, es decir, $\Delta y \Delta z$. Por lo tanto, la energía sería:
$F \Delta x= p \Delta S\Delta x = p \Delta x\Delta y\Delta z$
Esto se puede visualizar en la siguiente imagen:
Por ello la densidad de la energía general resulta
$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$
ID:(11103, 0)
Densidad de energía
Concepto
La hipótesis de Bernoulli postula que la energía se conserva localmente, es decir, no hay mecanismos que permitan que un volumen del medio intercambie energía con su entorno. Si consideramos la ecuación de energía $E$, que incluye:
• La energía cinética en función de la masa $m$ y la velocidad en un radio del cilindro ($v$),
• La energía potencial gravitacional en función de la aceleración gravitacional ($g$) y la altura de la columna ($h$), y
• Una fuerza externa $F$ que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$,
podemos expresarla de esta manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por la densidad ($\rho$):
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presión de la columna de agua ($p$) se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuación de la densidad de energía ($e$):
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En ausencia de viscosidad, la conservación de energía implica que la densidad de energía ($e$) es constante en cualquier punto del fluido. Por lo tanto, conocer la velocidad y/o la presión en cualquier lugar del fluido es suficiente para establecer una relación entre la velocidad y la presión en cualquier punto del fluido.
ID:(15708, 0)
Ley de Bernoulli y sus límites
Top
La hipótesis de la ley de Bernoulli es que la energía, y por ende la densidad de energía ($e$), es constante. En este caso, la densidad de energía es la suma de:
• Cinética, que depende de la densidad del líquido ($\rho_w$) y la velocidad en un radio del cilindro ($v$)
• Potencial gravitacional, que depende de la aceleración gravitacional ($g$) y la altura de la columna ($h$)
• Potencial en general, que depende de la presión ($p$)
lo que resulta en:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Sin embargo, esto limita la aplicabilidad de la ley debido a que:
• La viscosidad es un proceso en el que la energía se difunde a través del medio y, en este sentido, la energía no se conserva localmente ya que se redistribuye en el medio.
• No pueden existir vórtices, ya que estos presentan inherentemente zonas de densidades de energía diferentes y, por lo tanto, contravienen la hipótesis. Esto significa que la ley no describiría un flujo turbulento.
El problema es que en la mayoría de los casos, el flujo puede ser dominado por la viscosidad, denominándose el flujo como "laminar", o dominado por la inercia, lo que observamos como un flujo "turbulento". Por lo tanto, la ley de Bernoulli es un modelo solo aplicable en situaciones en las que la inhomogeneidad de la densidad de energía es menor.
ID:(15500, 0)
Ecuación de Bernoulli general
Concepto
Si asumimos que la densidad de energía ($e$) se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la densidad es la densidad ($\rho$), la presión es la presión de la columna de agua ($p$), la altura es la altura de la columna ($h$) y la aceleración gravitacional es la aceleración gravitacional ($g$), se cumple lo siguiente:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En un punto 1, esta ecuación será igual a la misma ecuación en un punto 2:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente.
Por lo tanto, se tiene la ecuación de Bernoulli [1]:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
Es importante tener en cuenta que se han hecho las siguientes suposiciones:
Se conserva la energía, en particular, se supone la ausencia de viscosidad.
No hay deformación en el medio, por lo tanto, la densidad no varía.
No hay vorticidad, es decir, no hay torbellinos que generen circulación en el medio. El fluido debe presentar un comportamiento laminar.
ID:(15707, 0)
Dispensador de perfume
Descripción
En los dispensadores de perfume, se crea un flujo de aire sobre un tubo sumergido en el perfume. Esto genera una disminución de la presión, lo que provoca que la presión en la columna de perfume sea menor que la columna generada por el líquido dentro del frasco. Como resultado, el líquido es impulsado a través de la columna. Finalmente, el líquido que alcanza la parte superior es pulverizado y transportado por el chorro de aire.
Para modelar el sistema, se puede utilizar la ley de Bernoulli con la densidad del líquido la densidad del líquido ($\rho_w$) y la altura la aceleración gravitacional ($g$). Si el punto 1 está en la base del tubo de transporte del líquido, entonces la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) es nulo, la altura o profundidad 1 ($h_1$) es la profundidad del líquido ($h$), y la presión en la columna 1 ($p_1$) es la presión atmosférica. Si el punto 2 está en la salida superior del tubo de transporte del líquido, entonces la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es la velocidad con la que emerge el líquido ($v$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) es nulo, y la presión en la columna 2 ($p_2$) es la presión atmosférica. Por lo tanto, la expresión
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
se reduce a
$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $
ya que la presión atmosférica se simplifica. Con ello, la velocidad con la que emerge el líquido es:
$v = \sqrt{ 2 g h }$
ID:(11096, 0)
Modelo
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Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \Delta h = h_2 - h_1 $
Dh = h_2 - h_1
$ \Delta p = p_2 - p_1 $
Dp = p_2 - p_1
$ \Delta p = \rho g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ \Delta v = v_2 - v_1 $
Dv = v_2 - v_1
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_1 = e_2 $
e_1 = e_2
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
rho * v_1 ^2/2+ rho * g * h_1 + p_1 = rho * v_2 ^2/2+ rho * g * h_2 + p_2
ID:(15489, 0)
Conservación de la densidad de energía
Ecuación
Si la energía se conserva dentro de los volúmenes que fluyen con el flujo, entonces la densidad de energía en 1 ($e_1$) y la densidad de energía en 2 ($e_2$) deben ser iguales:
| $ e_1 = e_2 $ |
Esto solo es posible si la viscosidad es despreciable, ya que esta está asociada a la difusión de energía y no existen torbellinos, los cuales presentan diferencias de energía debido a las velocidades tangenciales variadas a lo largo del radio del vórtice.
ID:(15499, 0)
Densidad de energía (1)
Ecuación
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
| $ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presión se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuación de densidad de energía:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
que corresponde a la ecuación de Bernoulli.
ID:(3159, 1)
Densidad de energía (2)
Ecuación
Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:
| $ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Y como la presión se expresa como:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Obtenemos la ecuación de densidad de energía:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
que corresponde a la ecuación de Bernoulli.
ID:(3159, 2)
Ecuación de Bernoulli general
Ecuación
Con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representando la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representando la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente se tiene que:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Si asumimos que la densidad de energía ($e$) se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la densidad es la densidad ($\rho$), la presión es la presión de la columna de agua ($p$), la altura es la altura de la columna ($h$) y la aceleración gravitacional es la aceleración gravitacional ($g$), se cumple lo siguiente:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En un punto 1, esta ecuación será igual a la misma ecuación en un punto 2:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente. Por lo tanto, se tiene:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
ID:(4504, 0)
Diferencia de presión entre columnas
Ecuación
La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:
| $ \Delta p = \rho g \Delta h $ |
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuación:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Diferencia de altura
Ecuación
Cuando se conectan dos columnas de líquido con la altura de columna de líquido 1 ($h_1$) y la altura de columna de líquido 2 ($h_2$), se crea una la diferencia de altura ($\Delta h$) que se calcula de acuerdo con la siguiente fórmula:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de altura ($\Delta h$) generará la diferencia de presiones que desplazará el líquido de la columna más alta hacia la columna más baja.
ID:(4251, 0)
Diferencia de presión
Ecuación
Cuando se conectan dos columnas de líquido con la presión en la columna 1 ($p_1$) y la presión en la columna 2 ($p_2$), se crea una la diferencia de presión ($\Delta p$) que se calcula mediante la siguiente fórmula:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) representa la diferencia de presiones que desplazará el líquido de la columna más alta hacia la columna más baja.
ID:(4252, 0)
Diferencia de velocidad
Ecuación
La diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) es con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) es
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
ID:(15502, 0)