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Wenn wir ein Fluid ohne Viskosität und ohne Turbulenzen (laminares Strömung) betrachten, können wir annehmen, dass die Energie erhalten bleibt und mit der Flüssigkeit (oder dem Gas) fließt. In diesen Fällen erhalten wir eine Gleichung, die besagt, dass die Summe aus der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der potenziellen Energie konstant ist.

Dies ermöglicht es, zu berechnen, wie sich die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Position entwickelt, solange der vorhandene Druck oder jedes vorhandene Kraftfeld bekannt ist.

Das einzige Problem ist, dass die meisten Medien eine relevante Viskosität aufweisen und daher dazu neigen, keine Turbulenzen aufzuweisen oder diese vernachlässigbar sind und der Fluss intrinsisch turbulent ist. Daher ist die Anwendung des Bernoulli-Gesetzes in diesem Sinne eingeschränkt oder vielmehr eine erste Näherung.

>Modell

ID:(684, 0)

Konzept

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ID:(15486, 0)

Konzept

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Wenn wir den Fluss als eine Reihe von Volumina mit den Seitenlängen $\Delta x$, $\Delta y$ und $\Delta z$ betrachten, die sich in der Strömung bewegen, können wir annehmen, dass die darin enthaltene Energie konstant bleibt. Dies bedeutet, dass die berechnete Energie-Dichte an jedem Punkt immer gleich sein wird.

ID:(11097, 0)

Konzept

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Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ aufweist, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als:

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

Daraus können wir die kinetische Energie des Elements unter Verwendung der Geschwindigkeit $v$ abschätzen:

$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$

Dies kann in folgender Abbildung visualisiert werden:

Daher beträgt die Dichte der kinetischen Energie

$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

ID:(11101, 0)

Konzept

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Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ hat, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als

$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$

mit dem, was Sie mit der Höhe $h$ der potentiellen Gravitationsenergie des Elements abschätzen können

$mgh=\rho\Delta x\Delta y\Delta z gh$

was wird in angezeigt

Daher beträgt die Dichte der potentiellen Gravitationsenergie

$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$

ID:(11102, 0)

Konzept

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Wenn wir davon ausgehen, dass eine Kraft auf das Element wirkt und das Koordinatensystem so orientieren, dass diese Kraft in Richtung der x-Achse wirkt, dann wird die Kraft Arbeit leisten:

$F\Delta x$

Wenn die Kraft durch einen Druck erzeugt wird, dann wirkt die Kraft auf die Fläche senkrecht zur Richtung der Kraft, also $\Delta y \Delta z$. Somit ergibt sich die Energie zu:

$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$

Dies kann in der folgenden Abbildung visualisiert werden:

Daher ist die Dichte der allgemeinen Energie

$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$

ID:(11103, 0)

Konzept

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Die Hypothese des Bernoulli-Gesetzes besagt, dass die Energie, und somit auch die Energiedichte ($e$), konstant bleibt. In diesem Fall ist die Energiedichte die Summe aus:

• Kinetischer Energie, die von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) abhängt,
• Gravitationspotenzieller Energie, die von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe der Säule ($h$) abhängt,
• Allgemeiner potenzieller Energie, die von die Druck ($p$) abhängt,
resultierend in:

Dies beschränkt jedoch die Anwendbarkeit des Gesetzes, da:

• Viskosität ein Prozess ist, bei dem Energie durch das Medium diffundiert, und in diesem Sinne wird Energie lokal nicht erhalten, da sie sich im Medium neu verteilt.

• Wirbel können nicht existieren, da sie inhärent Zonen unterschiedlicher Energiedichten aufweisen, was der Hypothese widerspricht. Dies bedeutet, dass es keinen turbulenten Fluss beschreiben würde.

Das Problem besteht darin, dass in den meisten Fällen der Fluss von Viskosität dominiert werden kann, was als laminarer Fluss bezeichnet wird, oder von Trägheit dominiert wird, was zu turbulentem Fluss führt. Daher ist das Bernoulli-Gesetz nur in Situationen anwendbar, in denen die Inhomogenität der Energiedichte geringer ist.

ID:(15500, 0)

Konzept

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Das Venturi-Rohr besteht aus einem engeren Abschnitt und zwei vertikalen Röhren zur Druckmessung. Wenn die Flüssigkeit durch das Rohr strömt, wird beobachtet, dass die Säulen im größeren Abschnitt höher sind, während sie im engeren Abschnitt kürzer sind. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeit der Flüssigkeit im engeren Abschnitt höher ist und somit einen geringeren dynamischen Druck erzeugt.

Die Geschwindigkeit, die durch den Druckunterschied entsteht, kann mit dem Bernoulli-Prinzip modelliert werden. Da die Energiedichte ($e$) konstant ist, variieren die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) und die Druck ($p$) invers. Letzteres kann mit Öffnungen gemessen werden, an denen Säulen der Flüssigkeit mit den entsprechenden die Höhe der Säule ($h$) entstehen. Die Beziehung wird durch die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) beschrieben:

ID:(11093, 0)

Beschreibung

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In Parfümdispensern wird ein Luftstrom über einem in das Parfüm eingetauchten Rohr erzeugt. Dadurch sinkt der Druck, sodass der Druck in der Parfümsäule geringer ist als der Druck in der Flüssigkeitssäule innerhalb der Flasche. Dies bewirkt, dass die Flüssigkeit durch die Säule nach oben gedrückt wird. Schließlich wird die Flüssigkeit an der Spitze zerstäubt und mit dem Luftstrom wegtransportiert.

Um das System zu modellieren, kann das Bernoulli-Prinzip mit der Dichte der Flüssigkeit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und der Höhe die Gravitationsbeschleunigung ($g$) verwendet werden. Wenn Punkt 1 sich am Boden des Flüssigkeitstransportrohrs befindet, dann ist die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) null, die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) repräsentiert die Tiefe der Flüssigkeit ($h$), und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) steht für den atmosphärischen Druck. Wenn Punkt 2 am oberen Auslass des Flüssigkeitstransportrohrs liegt, dann steht die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) für die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit austritt ($v$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) ist null, und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) ist der atmosphärische Druck. Daher reduziert sich der Ausdruck

zu

$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $

da sich der atmosphärische Druck vereinfacht. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit austritt, zu:

$v = \sqrt{ 2 g h }$

ID:(11096, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15489, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

Druck der Wassersäule

$Pa$

$e$

Energiedichte

$J/m^3$

$v$

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

Höhe der Säule

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Energie innerhalb der strömenden Volumina erhalten bleibt, müssen die Energiedichte in 1 ($e_1$) und die Energiedichte in 2 ($e_2$) gleich sein:

$ e_1 = e_2 $

Bedingungen

Variablen

$e_1$

Energiedichte in 1

$J/m^3$

$e_2$

Energiedichte in 2

$J/m^3$

Beziehung

Dies ist nur möglich, wenn die Viskosität vernachlässigbar ist, da sie mit der Energieverteilung verbunden ist und keine Wirbel vorhanden sind, die selbst aufgrund unterschiedlicher tangentialer Geschwindigkeiten entlang des Wirbels einen Energieunterschied aufweisen.

ID:(15499, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$e$

$e_1$

Energiedichte in 1

$J/m^3$

$v$

$v_1$

Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$e$

$e_2$

Energiedichte in 2

$J/m^3$

$v$

$v_2$

Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Energie erhalten bleibt und das Medium ohne Verformung fließt, ergibt sich, dass die Dichte zwischen zwei Punkten gleich sein muss. Dadurch erhalten wir die bekannte Bernoulli-Gleichung:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Bedingungen

Variablen

$v_2$

Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2

$m/s$

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$\rho$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

$v_1$

Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1

$m/s$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir annehmen, dass die Energie-Dichte erhalten bleibt, gilt für eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit v, die Dichte \rho, der Druck p, die Höhe h und die Erdbeschleunigung g sind, folgendes:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

An Punkt 1 wird diese Gleichung der Gleichung an Punkt 2 entsprechen:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

wobei v_1, h_1 und p_1 die Geschwindigkeit, Höhe und Druck am Punkt 1 darstellen, und v_2, h_2 und p_2 die Geschwindigkeit, Höhe und Druck am Punkt 2 darstellen. Daher haben wir:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Es ist wichtig, folgende Annahmen zu beachten:

Die Energie bleibt erhalten, insbesondere wird die Abwesenheit von Viskosität angenommen.

Es gibt keine Verformung des Mediums, wodurch die Dichte konstant bleibt.

Es gibt keine Wirbelbildung (Vortizität), das heißt, es gibt keine Strudelbewegungen, die zu Zirkulation im Medium führen. Die Flüssigkeit muss ein laminarisches Verhalten aufweisen.

ID:(4504, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Höhe der Flüssigkeitssäule 1 ($h_1$) und die Höhe der Flüssigkeitssäule 2 ($h_2$) verbunden werden, entsteht eine die Höhendifferenz ($\Delta h$), die wie folgt berechnet wird:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Bedingungen

Variablen

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

$\Delta h$

Höhen- oder Tiefenunterschied

$m$

Beziehung

die Höhendifferenz ($\Delta h$) erzeugt den Druckunterschied, der die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömen lässt.

ID:(4251, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Druck in Spalte 1 ($p_1$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die nach folgender Formel berechnet wird:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

Bedingungen

Variablen

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

Beziehung

die Druckunterschied ($\Delta p$) repräsentiert den Druckunterschied, der dazu führt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren fließt.

ID:(4252, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Bedingungen

Variablen

$\rho_w$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$\Delta h$

Höhen- oder Tiefenunterschied

$m$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

Beziehung

Entwicklung

Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

können wir die Druck der Wassersäule ($p_t$) verwenden, definiert als:

$ p = p_0 + \rho_w g h $

Dies ergibt:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)