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Bernoulli mit hydrostatischem Druck
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Wenn wir ein Fluid ohne Viskosität und ohne Turbulenzen (laminares Strömung) betrachten, können wir annehmen, dass die Energie erhalten bleibt und mit der Flüssigkeit (oder dem Gas) fließt. In diesen Fällen erhalten wir eine Gleichung, die besagt, dass die Summe aus der Dichte der kinetischen Energie und der Dichte der potenziellen Energie konstant ist.
Dies ermöglicht es, zu berechnen, wie sich die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Position entwickelt, solange der vorhandene Druck oder jedes vorhandene Kraftfeld bekannt ist.
Das einzige Problem ist, dass die meisten Medien eine relevante Viskosität aufweisen und daher dazu neigen, keine Turbulenzen aufzuweisen oder diese vernachlässigbar sind und der Fluss intrinsisch turbulent ist. Daher ist die Anwendung des Bernoulli-Gesetzes in diesem Sinne eingeschränkt oder vielmehr eine erste Näherung.
ID:(684, 0)
Mechanismen
Iframe
Mechanismen
ID:(15486, 0)
Bewegung eines Flüssigkeits- /Gaselements mit der Strömung
Konzept
Wenn wir den Fluss als eine Reihe von Volumina mit den Seitenlängen $\Delta x$, $\Delta y$ und $\Delta z$ betrachten, die sich in der Strömung bewegen, können wir annehmen, dass die darin enthaltene Energie konstant bleibt. Dies bedeutet, dass die berechnete Energie-Dichte an jedem Punkt immer gleich sein wird.
ID:(11097, 0)
Kinetische Energie des Elements in der Strömung
Konzept
Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ aufweist, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als:
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
Daraus können wir die kinetische Energie des Elements unter Verwendung der Geschwindigkeit $v$ abschätzen:
$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$
Dies kann in folgender Abbildung visualisiert werden:
Daher beträgt die Dichte der kinetischen Energie
$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
ID:(11101, 0)
Gravitationspotentialenergie des Elements in der Strömung
Konzept
Wenn das Medium eine Dichte von $\rho$ hat, kann die Masse des Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ berechnet werden als
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
mit dem, was Sie mit der Höhe $h$ der potentiellen Gravitationsenergie des Elements abschätzen können
$mgh=\rho\Delta x\Delta y\Delta z gh$
was wird in angezeigt
Daher beträgt die Dichte der potentiellen Gravitationsenergie
$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$
ID:(11102, 0)
Allgemeine Potentialenergie des Elements in der Strömung
Konzept
Wenn wir davon ausgehen, dass eine Kraft auf das Element wirkt und das Koordinatensystem so orientieren, dass diese Kraft in Richtung der x-Achse wirkt, dann wird die Kraft Arbeit leisten:
$F\Delta x$
Wenn die Kraft durch einen Druck erzeugt wird, dann wirkt die Kraft auf die Fläche senkrecht zur Richtung der Kraft, also $\Delta y \Delta z$. Somit ergibt sich die Energie zu:
$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$
Dies kann in der folgenden Abbildung visualisiert werden:
Daher ist die Dichte der allgemeinen Energie
$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$
ID:(11103, 0)
Energiedichte
Konzept
Die Bernoulli-Hypothese besagt, dass Energie lokal erhalten bleibt, was bedeutet, dass es keine Mechanismen gibt, die es einem Volumen des Mediums ermöglichen, Energie mit seiner Umgebung auszutauschen. Wenn wir die Energiegleichung $E$ betrachten, die Folgendes umfasst:
• Die kinetische Energie als Funktion der Masse $m$ und der Geschwindigkeit die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$),
• Die potenzielle Gravitationsenergie als Funktion von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe der Säule ($h$) und
• Eine externe Kraft $F$, die die Flüssigkeit um eine Entfernung $\Delta z$ verschiebt,
können wir sie wie folgt ausdrücken:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie in einem Volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse durch die Dichte ($\rho$) ersetzen:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da die Druck der Wassersäule ($p$) wie folgt ausgedrückt wird:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte ($e$):
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Energieerhaltung, dass die Energiedichte ($e$) an jeder Stelle im Fluid konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle im Fluid zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jeder Stelle im Fluid herzustellen.
ID:(15708, 0)
Bernoullis Gesetz und seine Grenzen
Top
Die Hypothese des Bernoulli-Gesetzes besagt, dass die Energie, und somit auch die Energiedichte ($e$), konstant bleibt. In diesem Fall ist die Energiedichte die Summe aus:
• Kinetischer Energie, die von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) abhängt,
• Gravitationspotenzieller Energie, die von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhe der Säule ($h$) abhängt,
• Allgemeiner potenzieller Energie, die von die Druck ($p$) abhängt,
resultierend in:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Dies beschränkt jedoch die Anwendbarkeit des Gesetzes, da:
• Viskosität ein Prozess ist, bei dem Energie durch das Medium diffundiert, und in diesem Sinne wird Energie lokal nicht erhalten, da sie sich im Medium neu verteilt.
• Wirbel können nicht existieren, da sie inhärent Zonen unterschiedlicher Energiedichten aufweisen, was der Hypothese widerspricht. Dies bedeutet, dass es keinen turbulenten Fluss beschreiben würde.
Das Problem besteht darin, dass in den meisten Fällen der Fluss von Viskosität dominiert werden kann, was als laminarer Fluss bezeichnet wird, oder von Trägheit dominiert wird, was zu turbulentem Fluss führt. Daher ist das Bernoulli-Gesetz nur in Situationen anwendbar, in denen die Inhomogenität der Energiedichte geringer ist.
ID:(15500, 0)
Allgemeine Bernoulli-Gleichung
Konzept
Angenommen, dass die Energiedichte ($e$) erhalten bleibt, können wir feststellen, dass für eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) beträgt, die Dichte die Dichte ($\rho$), der Druck die Druck der Wassersäule ($p$), die Höhe die Höhe der Säule ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung die Gravitationsbeschleunigung ($g$) folgendes gilt:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
An Punkt 1 wird diese Gleichung gleich der gleichen Gleichung an Punkt 2 sein:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
wobei die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$), die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) die Geschwindigkeit, Höhe und Druck an Punkt 1 darstellen und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) die Geschwindigkeit, Höhe und Druck an Punkt 2 darstellen.
Daher haben wir die Bernoulli-Gleichung [1]:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
Es ist wichtig, folgende Annahmen zu beachten:
Die Energie bleibt erhalten, insbesondere wird die Abwesenheit von Viskosität angenommen.
Es gibt keine Verformung des Mediums, wodurch die Dichte konstant bleibt.
Es gibt keine Wirbelbildung (Vortizität), das heißt, es gibt keine Strudelbewegungen, die zu Zirkulation im Medium führen. Die Flüssigkeit muss ein laminarisches Verhalten aufweisen.
ID:(15707, 0)
Parfümspender
Beschreibung
In Parfümdispensern wird ein Luftstrom über einem in das Parfüm eingetauchten Rohr erzeugt. Dadurch sinkt der Druck, sodass der Druck in der Parfümsäule geringer ist als der Druck in der Flüssigkeitssäule innerhalb der Flasche. Dies bewirkt, dass die Flüssigkeit durch die Säule nach oben gedrückt wird. Schließlich wird die Flüssigkeit an der Spitze zerstäubt und mit dem Luftstrom wegtransportiert.
Um das System zu modellieren, kann das Bernoulli-Prinzip mit der Dichte der Flüssigkeit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und der Höhe die Gravitationsbeschleunigung ($g$) verwendet werden. Wenn Punkt 1 sich am Boden des Flüssigkeitstransportrohrs befindet, dann ist die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) null, die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) repräsentiert die Tiefe der Flüssigkeit ($h$), und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) steht für den atmosphärischen Druck. Wenn Punkt 2 am oberen Auslass des Flüssigkeitstransportrohrs liegt, dann steht die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) für die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit austritt ($v$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) ist null, und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) ist der atmosphärische Druck. Daher reduziert sich der Ausdruck
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
zu
$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $
da sich der atmosphärische Druck vereinfacht. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit, mit der die Flüssigkeit austritt, zu:
$v = \sqrt{ 2 g h }$
ID:(11096, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \Delta h = h_2 - h_1 $
Dh = h_2 - h_1
$ \Delta p = p_2 - p_1 $
Dp = p_2 - p_1
$ \Delta p = \rho g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ \Delta v = v_2 - v_1 $
Dv = v_2 - v_1
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_1 = e_2 $
e_1 = e_2
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
rho * v_1 ^2/2+ rho * g * h_1 + p_1 = rho * v_2 ^2/2+ rho * g * h_2 + p_2
ID:(15489, 0)
Erhaltung der Energiedichte
Gleichung
Wenn die Energie innerhalb der strömenden Volumina erhalten bleibt, müssen die Energiedichte in 1 ($e_1$) und die Energiedichte in 2 ($e_2$) gleich sein:
| $ e_1 = e_2 $ |
Dies ist nur möglich, wenn die Viskosität vernachlässigbar ist, da sie mit der Energieverteilung verbunden ist und keine Wirbel vorhanden sind, die selbst aufgrund unterschiedlicher tangentialer Geschwindigkeiten entlang des Wirbels einen Energieunterschied aufweisen.
ID:(15499, 0)
Energie Dichte (1)
Gleichung
Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p$):
| $ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da der Druck gegeben ist durch:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
was der Bernoulli-Gleichung entspricht.
ID:(3159, 1)
Energie Dichte (2)
Gleichung
Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p$):
| $ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Und da der Druck gegeben ist durch:
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
was der Bernoulli-Gleichung entspricht.
ID:(3159, 2)
Allgemeine Bernoulli-Gleichung
Gleichung
Mit die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$), die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) und die Druck in Spalte 1 ($p_1$), die die Geschwindigkeit, die Höhe und den Druck am Punkt 1 repräsentieren, und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$), die die Geschwindigkeit, die Höhe und den Druck am Punkt 2 repräsentieren, haben wir:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Angenommen, dass die Energiedichte ($e$) erhalten bleibt, können wir feststellen, dass für eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$) beträgt, die Dichte die Dichte ($\rho$), der Druck die Druck der Wassersäule ($p$), die Höhe die Höhe der Säule ($h$) und die Gravitationsbeschleunigung die Gravitationsbeschleunigung ($g$) folgendes gilt:
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
An Punkt 1 wird diese Gleichung gleich der gleichen Gleichung an Punkt 2 sein:
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
wobei die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$), die Höhe oder Tiefe 1 ($h_1$) und die Druck in Spalte 1 ($p_1$) die Geschwindigkeit, Höhe und Druck an Punkt 1 darstellen und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$), die Höhe oder Tiefe 2 ($h_2$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) die Geschwindigkeit, Höhe und Druck an Punkt 2 darstellen. Daher haben wir:
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
ID:(4504, 0)
Druckunterschied zwischen Säulen
Gleichung
Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:
| $ \Delta p = \rho g \Delta h $ |
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
können wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Dies ergibt:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Höhenunterschied
Gleichung
Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Höhe der Flüssigkeitssäule 1 ($h_1$) und die Höhe der Flüssigkeitssäule 2 ($h_2$) verbunden werden, entsteht eine die Höhendifferenz ($\Delta h$), die wie folgt berechnet wird:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
die Höhendifferenz ($\Delta h$) erzeugt den Druckunterschied, der die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömen lässt.
ID:(4251, 0)
Pressure Difference
Gleichung
Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Druck in Spalte 1 ($p_1$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die nach folgender Formel berechnet wird:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
die Druckunterschied ($\Delta p$) repräsentiert den Druckunterschied, der dazu führt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren fließt.
ID:(4252, 0)
Geschwindigkeitsunterschied
Gleichung
Die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) ist mit die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) und die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) ist
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
ID:(15502, 0)