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Bernoulli avec pression hydrostatique
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Si nous considérons un fluide sans viscosité et sans turbulence (écoulement laminaire), nous pouvons supposer que l'énergie est conservée et circule avec le liquide (ou le gaz). Dans ces cas, nous obtenons une équation qui établit que la somme de la densité d'énergie cinétique et la densité d'énergie potentielle sont constantes.
Cela permet de calculer comment la vitesse évolue en fonction de la position dès lors que la pression existante ou tout champ de force est connu.
Le seul problème est que la plupart des milieux présentent une viscosité pertinente et, par conséquent, tendent à ne pas avoir de turbulence ou celle-ci est négligeable et l'écoulement est intrinsèquement turbulent. Par conséquent, l'application de la loi de Bernoulli est dans ce sens restreinte, ou plutôt une première approximation.
ID:(684, 0)
Mécanismes
Iframe
Mécanismes
ID:(15486, 0)
Mouvement d'un élément liquide/gaz avec l'écoulement
Concept
Si nous envisageons l'écoulement comme une série de volumes avec des côtés $\Delta x$, $\Delta y$ et $\Delta z$ se déplaçant dans le courant, nous pouvons supposer que l'énergie qu'ils contiennent reste constante. Cela signifie que si nous calculons la densité d\'énergie en n\'importe quel point, elle sera toujours la même.
ID:(11097, 0)
Énergie cinétique de l'élément dans le flux
Concept
Si le milieu a une densité de $\rho$, la masse du volume $\Delta x\Delta y\Delta z$ peut être calculée comme suit :
$m=\rho\Delta x\Delta y\Delta z$
À partir de là, nous pouvons estimer l'énergie cinétique de l'élément en utilisant la vitesse $v$:
$\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=\displaystyle\frac{1}{2}\rho\Delta x\Delta y\Delta z v^2$
Cela peut être visualisé dans l'image suivante :
Par conséquent, la densité de l'énergie cinétique est
$\displaystyle\frac{m v^2}{2 \Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
ID:(11101, 0)
Énergie potentielle gravitationnelle de l'élément dans l'écoulement
Concept
Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l'élément et si nous orientons le système de coordonnées de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectue un travail donné par :
$F\Delta x$
Si la force est générée par une pression, alors elle agit sur la surface perpendiculaire à la direction de la force, c'est-à-dire $ \Delta y \Delta z$. Ainsi, l'énergie est donnée par :
$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$
Cela peut être visualisé dans l'image suivante :
Par conséquent, la densité de l'énergie potentielle gravitationnelle est
$\displaystyle\frac{mgh}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\rho g h$
ID:(11102, 0)
Énergie potentielle générale de l'élément dans l'écoulement
Concept
Si l'on suppose qu'il existe une force agissant sur l'élément et si nous orientons le système de coordonnées de sorte que cette force agisse dans la direction x, alors la force effectuera un travail donné par :
$F\Delta x$
Si la force est générée par une pression, alors elle agira sur la surface perpendiculaire à la direction de la force, c'est-à-dire $\Delta y \Delta z$. Ainsi, l'énergie sera :
$F = p \Delta S = p \Delta y\Delta z$
Cela peut être visualisé dans l'image suivante :
Par conséquent, la densité de l'énergie générale est
$\displaystyle\frac{F \Delta x}{\Delta x\Delta y\Delta z}=\displaystyle\frac{p \Delta x\Delta y\Delta z}{\Delta x\Delta y\Delta z}=p$
ID:(11103, 0)
Densité d'énergie
Concept
L'hypothèse de Bernoulli postule que l'énergie est conservée localement, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de mécanismes permettant à un volume du milieu d'échanger de l'énergie avec son environnement. Si nous considérons l'équation de l'énergie $E$, qui inclut :
• L'énergie cinétique en fonction de la masse $m$ et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$),
• L'énergie potentielle gravitationnelle en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$) et a hauteur de la colonne ($h$),
• Une force externe $F$ qui déplace le liquide sur une distance $\Delta z$,
nous pouvons l'exprimer ainsi :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
En considérant l'énergie dans un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, nous pouvons remplacer la masse par a densité ($\rho$) :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et comme a pression de la colonne d'eau ($p$) est exprimé par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
Nous obtenons l'équation de a densité d'énergie ($e$) :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En l'absence de viscosité, la conservation de l'énergie implique que a densité d'énergie ($e$) reste constante en tout point du fluide. Par conséquent, connaître la vitesse et/ou la pression en un lieu donné du fluide suffit pour établir une relation entre la vitesse et la pression en tout point du fluide.
ID:(15708, 0)
La loi de Bernoulli et ses limites
Top
L'hypothèse de la loi de Bernoulli est que l'énergie, et donc a densité d'énergie ($e$), reste constante. Dans ce cas, la densité d'énergie est la somme de :
• L'énergie cinétique, qui dépend de a densité du liquide ($\rho_w$) et a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$),
• L'énergie potentielle gravitationnelle, qui dépend de a accélération gravitationnelle ($g$) et a hauteur de la colonne ($h$),
• L'énergie potentielle générale, qui dépend de a pression ($p$),
ce qui donne :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Cependant, cela limite l'applicabilité de la loi car :
• La viscosité est un processus dans lequel l'énergie se diffuse à travers le milieu et, dans ce sens, l'énergie n'est pas conservée localement car elle est redistribuée dans le milieu.
• Les tourbillons ne peuvent pas exister car ils ont inhéremment des zones de densités énergétiques différentes, ce qui contredit l'hypothèse. Cela signifie qu'elle ne décrirait pas un écoulement turbulent.
Le problème est que dans la plupart des cas, l'écoulement peut être dominé par la viscosité, appelé écoulement laminaire, ou par l'inertie, observé comme un écoulement turbulent. Ainsi, la loi de Bernoulli est un modèle applicable uniquement dans des situations où l'inhomogénéité de la densité d'énergie est moindre.
ID:(15500, 0)
Équation générale de Bernoulli
Concept
Si nous supposons que a densité d'énergie ($e$) est conservé, alors pour une cellule où la vitesse moyenne est a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), la densité est a densité ($\rho$), la pression est a pression de la colonne d'eau ($p$), la hauteur est a hauteur de la colonne ($h$), et l'accélération gravitationnelle est a accélération gravitationnelle ($g$), nous avons ce qui suit :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En un point 1, cette équation sera égale à la même équation en un point 2 :
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
où A vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement.
On a donc léquation de Bernoulli [1] :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
Il est important de garder à l'esprit les hypothèses suivantes :
L'énergie est conservée, en supposant notamment l\'absence de viscosité.
Il n\'y a pas de déformation du milieu, donc la densité reste constante.
Il n\'y a pas de vorticité, c\'est-à-dire de tourbillons qui entraînent une circulation dans le milieu. Le fluide doit présenter un comportement laminaire.
ID:(15707, 0)
Distributeur de parfum
Description
Dans les distributeurs de parfum, un courant d'air est généré autour d'un tube immergé dans le parfum. Cela entraîne une baisse de pression, ce qui fait que la pression dans la colonne de parfum est inférieure à celle générée par le liquide à l'intérieur du flacon, ce qui propulse le liquide à travers la colonne. Finalement, le liquide qui atteint la partie supérieure est pulvérisé et transporté par le jet d\'air.
Pour modéliser le système, on peut utiliser la loi de Bernoulli avec la densité du liquide a densité du liquide ($\rho_w$) et la hauteur a accélération gravitationnelle ($g$). Si le point 1 est à la base du tube de transport du liquide, alors a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) est nul, a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) est la profondeur du liquide ($h$), et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) est la pression atmosphérique. Si le point 2 est à la sortie supérieure du tube de transport du liquide, alors a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) est la vitesse à laquelle le liquide émerge ($v$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) est nul, et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) est la pression atmosphérique. Par conséquent, l'expression
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
se réduit à
$\rho g h=\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 $
car la pression atmosphérique est simplifiée. Ainsi, la vitesse à laquelle le liquide émerge est :
$v = \sqrt{ 2 g h }$
ID:(11096, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \Delta h = h_2 - h_1 $
Dh = h_2 - h_1
$ \Delta p = p_2 - p_1 $
Dp = p_2 - p_1
$ \Delta p = \rho g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ \Delta v = v_2 - v_1 $
Dv = v_2 - v_1
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + rho * g * h + p
$ e_1 = e_2 $
e_1 = e_2
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $
rho * v_1 ^2/2+ rho * g * h_1 + p_1 = rho * v_2 ^2/2+ rho * g * h_2 + p_2
ID:(15489, 0)
Conservation de la densité énergétique
Équation
Si l'énergie est conservée au sein des volumes en écoulement, alors a densité énergétique en 1 ($e_1$) et a densité énergétique en 2 ($e_2$) doivent être égaux :
| $ e_1 = e_2 $ |
Ceci n'est possible que si la viscosité est négligeable, car elle est associée à la diffusion d'énergie, et qu'il n'y a pas de tourbillons présents, lesquels présentent eux-mêmes des différences d'énergie dues aux vitesses tangentes variables le long du rayon du vortex.
ID:(15499, 0)
Densité d'énergie (1)
Équation
Étant donné qu'un fluide ou un gaz est un continuum, le concept d'énergie ne peut plus être associé à une masse spécifique. Cependant, il est possible de considérer l'énergie contenue dans un volume du continuum, et en la divisant par le volume lui-même, nous obtenons a densité d'énergie ($e$). Par conséquent, avec a densité ($\rho$), a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), a hauteur de la colonne ($h$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a pression de la colonne d'eau ($p$), nous avons :
| $ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Une autre équation utile est celle correspondant à la conservation de l'énergie, qui s'applique dans les cas où la viscosité, un processus entraînant une perte d'énergie, peut être négligée. Si l'on considère l'équation classique de l'énergie $E$, qui prend en compte l\'énergie cinétique, l\'énergie potentielle gravitationnelle et une force externe déplaçant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la manière suivante :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si l\'on considère l\'énergie à l\'intérieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et puisque la pression est donnée par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
On obtient l\'équation de la densité d\'énergie :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
qui correspond à l'équation de Bernoulli.
ID:(3159, 1)
Densité d'énergie (2)
Équation
Étant donné qu'un fluide ou un gaz est un continuum, le concept d'énergie ne peut plus être associé à une masse spécifique. Cependant, il est possible de considérer l'énergie contenue dans un volume du continuum, et en la divisant par le volume lui-même, nous obtenons a densité d'énergie ($e$). Par conséquent, avec a densité ($\rho$), a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), a hauteur de la colonne ($h$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a pression de la colonne d'eau ($p$), nous avons :
| $ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Une autre équation utile est celle correspondant à la conservation de l'énergie, qui s'applique dans les cas où la viscosité, un processus entraînant une perte d'énergie, peut être négligée. Si l'on considère l'équation classique de l'énergie $E$, qui prend en compte l\'énergie cinétique, l\'énergie potentielle gravitationnelle et une force externe déplaçant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la manière suivante :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si l\'on considère l\'énergie à l\'intérieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et puisque la pression est donnée par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
On obtient l\'équation de la densité d\'énergie :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
qui correspond à l'équation de Bernoulli.
ID:(3159, 2)
Équation générale de Bernoulli
Équation
Avec a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) représentant la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentant la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement, nous avons :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Si nous supposons que a densité d'énergie ($e$) est conservé, alors pour une cellule où la vitesse moyenne est a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), la densité est a densité ($\rho$), la pression est a pression de la colonne d'eau ($p$), la hauteur est a hauteur de la colonne ($h$), et l'accélération gravitationnelle est a accélération gravitationnelle ($g$), nous avons ce qui suit :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En un point 1, cette équation sera égale à la même équation en un point 2 :
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
où A vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement. Par conséquent, nous avons :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
ID:(4504, 0)
Différence de pression entre les colonnes
Équation
La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :
| $ \Delta p = \rho g \Delta h $ |
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le détermine l'équation :
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est définie comme suit :
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Cela donne :
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est définie comme suit :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) peut être exprimée comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Différence de hauteur
Équation
Lorsque deux colonnes de liquide sont connectées avec a hauteur de colonne de liquide 1 ($h_1$) et a hauteur de colonne de liquide 2 ($h_2$), une a différence de hauteur ($\Delta h$) est formée, qui est calculée comme suit :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
a différence de hauteur ($\Delta h$) générera la différence de pression qui fera s'écouler le liquide de la colonne la plus élevée vers la colonne la plus basse.
ID:(4251, 0)
Différence de pression
Équation
Lorsque deux colonnes de liquide sont connectées avec a pression dans la colonne 1 ($p_1$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$), une a différence de pression ($\Delta p$) est créée, qui est calculée selon la formule suivante :
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) représente la différence de pression qui fera s'écouler le liquide de la colonne la plus haute vers la colonne la plus basse.
ID:(4252, 0)
Différence de vitesse
Équation
A différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) est avec a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) est
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
ID:(15502, 0)