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Bernoulli sem pressão hidrostática

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No caso em que o fluxo ocorre em um gás ou em uma situação onde as variações de altura são mínimas, o efeito da pressão hidrostática pode ser negligenciado.

Sem a pressão hidrostática, a lei de Bernoulli reduz-se à soma de um termo associado à energia cinética, e assim à velocidade ao quadrado, e à pressão existente em cada local, mantendo-se constante. Isso implica que, se a velocidade aumenta, a pressão diminui, e vice-versa.

>Modelo

ID:(2066, 0)



Mecanismos

Iframe

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15497, 0)



Lei de Bernoulli, sem pressão hidrostática

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Se a energia é conservada e o meio flui sem deformação, segue que a densidade entre dois pontos deve ser igual, o que é a premissa que leva à lei de Bernoulli.

No caso da lei de Bernoulli [1], no caso em que não existe pressão hidrostática, temos la densidade (\rho), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), < var>5415 e la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2):

\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2



A equação de Bernoulli pressupõe a conservação da densidade de energia, o que implica na ausência de viscosidade e turbulência, tornando sua aplicação neste caso limitada.

A equação de Bernoulli pode servir como base para modelar o processo, mas deve ser necessariamente complementada com um modelo que considere a possibilidade de incluir os efeitos da turbulência.

[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)

ID:(15503, 0)



Tubo Venturi

Conceito

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O tubo de Venturi apresenta uma seção mais estreita e dois tubos verticais para medir a pressão. Quando o líquido circula pelo tubo, observa-se que as colunas na parte de maior seção são mais altas, enquanto na parte de menor seção, a coluna é mais baixa. Isso implica que na seção mais estreita, a velocidade do líquido é maior, gerando uma menor pressão dinâmica.



A situação pode ser analisada e calculada usando a equação geral de Bernoulli. Neste modelo, la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) e la pressão na coluna 1 (p_1) correspondem à velocidade, altura e pressão no ponto 1, respectivamente. Da mesma forma, la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2) e la pressão na coluna 2 (p_2) representam a velocidade, altura e pressão no ponto 2. A relação é expressa da seguinte maneira:

\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2



Tubos verticais permitem medir a pressão em cada seção, pois a altura em que o líquido emerge corresponderá à pressão hidrostática naquela seção específica. Com la aceleração gravitacional (g), isso será medido no primeiro ponto com la hauteur ou profondeur 1 (h_1) e la pressão na coluna 1 (p_1):



e no segundo ponto com la hauteur ou profondeur 2 (h_2) e la pressão na coluna 2 (p_2):

ID:(11093, 0)



Diferença de pressão

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No caso em que não há pressão hisstrostática, aplica-se a lei de Bernoulli para la densidade (\rho), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) e < var>5416

\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2



pode ser reescrito com ($$)

\Delta p = p_2 - p_1



e tendo em mente que

v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)



com

\bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}



e

\Delta v = v_2 - v_1



se tem que

\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v

ID:(15709, 0)



Passando e cruzando veículos na estrada

Descrição

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Quando um carro ultrapassa outro na estrada, cria-se uma situação em que um fluxo de ar de maior velocidade é gerado entre os dois veículos, resultando em uma pressão mais baixa nessa área. Como resultado, a pressão nas laterais externas dos carros faz com que eles se atraiam mutuamente.

À medida que os veículos se cruzam, a velocidade relativa entre eles diminui e se aproxima do repouso, gerando uma pressão mais alta entre eles e fazendo com que se afastem um do outro.



O mesmo fenômeno ocorre quando dois barcos se cruzam. Se o cruzamento ocorrer em um canal estreito, ambos os timoneiros devem direcionar seus navios para o lado oposto para evitar que a força repulsiva cause uma colisão com a borda do canal.

Para explicar por que isso acontece, podemos aplicar a equação ($$) com la velocidade média (\bar{v}) e la diferença de velocidade entre superfícies (\Delta v) com la densidade (\rho) usando

Portanto, pode-se observar que se houver um gradiente de velocidade, ele é inversamente proporcional ao gradiente de pressão. Se um aumenta, o outro diminui, explicando por que os carros ultrapassados apresentam uma velocidade mais alta entre eles, levando a uma redução na pressão entre eles, causando sucção mútua. Por outro lado, se eles se cruzam, a velocidade entre eles é aproximadamente zero, gerando um gradiente de pressão que os afasta.

ID:(11094, 0)



Velocidade em relação ao descanso

Conceito

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Neste caso, pode-se assumir que la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2) representa uma velocidade nula e la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) corresponde a la velocidade de fluxo (v_s). Portanto, para la diferença de velocidade entre superfícies (\Delta v) estabelece-se o seguinte:

\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s



e para la velocidade média (\bar{v}) calcula-se:

\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v_s}{2}



Consequentemente, com ($$), que é igual a la diferença de pressão (\Delta p_s), obtemos:

\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v



resultando em:

\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2



o que leva a:

v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}

ID:(15711, 0)



Tubo de Pitot

Descrição

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A velocidade de uma aeronave é determinada usando um dispositivo chamado tubo de Pitot. Ele consiste em duas aberturas: uma na frente (borda de ataque) e outra em um dos lados. Na borda de ataque, a velocidade é nula, enquanto na abertura lateral, é registrada a velocidade com que a aeronave avança em relação ao ar circundante. Nas aberturas do tubo, há dois tubos preenchidos com um líquido para medir a diferença de pressão entre os dois pontos. Utilizando a equação de Bernoulli, é possível calcular a velocidade da aeronave a partir da diferença de pressão e da densidade do líquido.



Em particular, a velocidade na ponta do tubo de Pitot é nula, o que reduz la diferença de velocidade entre superfícies (\Delta v) à velocidade no orifício lateral (\Delta v = v), enquanto la velocidade média (\bar{v}) equivale à metade dessa velocidade (\bar{v} = v/2). Uma vez que la velocidade de fluxo (v_s) representa a velocidade do avião, esta pode ser determinada medindo la diferença de pressão (\Delta p_s) utilizando a seguinte equação:

v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}

É importante notar que esta equação requer a densidade, que varia com a altitude em que a aeronave está voando.

ID:(11095, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
\rho
rho
Densidade
kg/m^3

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
e_1
e_1
Densidade de energia em 1
J/m^3
e_2
e_2
Densidade de energia em 2
J/m^3
\Delta v
Dv
Diferença de velocidade entre superfícies
m/s
p_1
p_1
Pressão na coluna 1
Pa
p_2
p_2
Pressão na coluna 2
Pa
\bar{v}
v_m
Velocidade média
m/s
v_1
v_1
Velocidade média do fluido no ponto 1
m/s
v_2
v_2
Velocidade média do fluido no ponto 2
m/s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
Dp = - rho * v_m * Dv Dp = p_2 - p_1 Dv = v_2 - v_1 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
Dp = - rho * v_m * Dv Dp = p_2 - p_1 Dv = v_2 - v_1 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2




Equações

#
Equação

\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v

Dp = - rho * v_m * Dv


\Delta p = p_2 - p_1

Dp = p_2 - p_1


\Delta v = v_2 - v_1

Dv = v_2 - v_1


e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ p_1

e = rho * v ^ 2 / 2 + p


e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ p_2

e = rho * v ^ 2 / 2 + p


e_1 = e_2

e_1 = e_2


\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2

rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2


\bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}

v_m = ( v_1 + v_2 )/2

ID:(15498, 0)



Conservação da densidade de energia

Equação

>Top, >Modelo


Se a energia for conservada dentro dos volumes que fluem com o fluxo, então la densidade de energia em 1 (e_1) e la densidade de energia em 2 (e_2) devem ser iguais:

e_1 = e_2

e_1
Densidade de energia em 1
J/m^3
10296
e_2
Densidade de energia em 2
J/m^3
10297
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

Isso só é possível se a viscosidade for negligenciável, pois ela está associada à difusão de energia, e não há vórtices presentes, os quais apresentam diferenças de energia devido às velocidades tangenciais variadas ao longo do raio do vórtice.

ID:(15499, 0)



Densidade de energia, sem pressão hidrostática (1)

Equação

>Top, >Modelo


Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia (e). Portanto, com la densidade (\rho), la velocidade média do fluido (v) e la pressão da coluna de água (p), temos:

e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ p_1

e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p

\rho
Densidade
kg/m^3
5342
e
e_1
Densidade de energia em 1
J/m^3
10296
p
p_1
Pressão na coluna 1
Pa
6261
v
v_1
Velocidade média do fluido no ponto 1
m/s
5415
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia E, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância \Delta z, podemos expressá-la da seguinte forma:

E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x



Se considerarmos a energia em um volume \Delta x\Delta y\Delta z, podemos substituir a massa por:

m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z



E como a pressão é dada por:

F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z



Obtemos a equação para a densidade de energia:

e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p



o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia (e) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(15496, 1)



Densidade de energia, sem pressão hidrostática (2)

Equação

>Top, >Modelo


Uma vez que um fluido ou gás é um contínuo, o conceito de energia já não pode ser associado a uma massa específica. No entanto, é possível considerar a energia contida num volume do contínuo e, ao dividir pela própria volume, obtemos la densidade de energia (e). Portanto, com la densidade (\rho), la velocidade média do fluido (v) e la pressão da coluna de água (p), temos:

e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ p_2

e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p

\rho
Densidade
kg/m^3
5342
e
e_2
Densidade de energia em 2
J/m^3
10297
p
p_2
Pressão na coluna 2
Pa
6262
v
v_2
Velocidade média do fluido no ponto 2
m/s
5416
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

Outra equação útil é aquela que corresponde à conservação de energia, a qual é aplicável em casos em que a viscosidade, um processo que resulta em perda de energia, pode ser negligenciada. Se considerarmos a equação clássica da energia E, que leva em conta a energia cinética, a energia potencial gravitacional e uma força externa que desloca o líquido por uma distância \Delta z, podemos expressá-la da seguinte forma:

E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x



Se considerarmos a energia em um volume \Delta x\Delta y\Delta z, podemos substituir a massa por:

m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z



E como a pressão é dada por:

F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z



Obtemos a equação para a densidade de energia:

e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p



o que corresponde à equação de Bernoulli.

Na ausência de viscosidade, a conservação de energia implica que la densidade de energia (e) seja constante em qualquer ponto do fluido. Portanto, conhecer a velocidade e/ou a pressão em qualquer local do fluido é suficiente para estabelecer uma relação entre a velocidade e a pressão em qualquer ponto do fluido.

ID:(15496, 2)



Equação de Bernoulli, sem pressão hidrostática

Equação

>Top, >Modelo


No caso da lei de Bernoulli, no caso em que não existe pressão hidrostática, temos la densidade (\rho), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), < var>5415 e la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2):

\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2

\rho
Densidade
kg/m^3
5342
p_1
Pressão na coluna 1
Pa
6261
p_2
Pressão na coluna 2
Pa
6262
v_1
Velocidade média do fluido no ponto 1
m/s
5415
v_2
Velocidade média do fluido no ponto 2
m/s
5416
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

ID:(15495, 0)



Diferença de pressão

Equação

>Top, >Modelo


Quando duas colunas de líquido são conectadas com la pressão na coluna 1 (p_1) e la pressão na coluna 2 (p_2), é criada uma la diferença de pressão (\Delta p) que é calculada de acordo com a seguinte fórmula:

\Delta p = p_2 - p_1

p_1
Pressão na coluna 1
Pa
6261
p_2
Pressão na coluna 2
Pa
6262
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2



la diferença de pressão (\Delta p) representa a diferença de pressão que fará o líquido fluir da coluna mais alta para a coluna mais baixa.

ID:(4252, 0)



Velocidade média

Equação

>Top, >Modelo


La velocidade média (\bar{v}) está com la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) e la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2) é

\bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}

\bar{v}
Velocidade média
m/s
10298
v_1
Velocidade média do fluido no ponto 1
m/s
5415
v_2
Velocidade média do fluido no ponto 2
m/s
5416
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

ID:(15501, 0)



Diferença de velocidade

Equação

>Top, >Modelo


La diferença de velocidade entre superfícies (\Delta v) está com la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) e la velocidade média do fluido no ponto 2 (v_2) é

\Delta v = v_2 - v_1

\Delta v
Diferença de velocidade entre superfícies
m/s
5556
v_1
Velocidade média do fluido no ponto 1
m/s
5415
v_2
Velocidade média do fluido no ponto 2
m/s
5416
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

ID:(15502, 0)



Equação de Bernoulli, variações

Equação

>Top, >Modelo


($$) pode ser calculado a partir de la velocidade média (\bar{v}) e la diferença de velocidade entre superfícies (\Delta v) com la densidade (\rho) usando

\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v

\rho
Densidade
kg/m^3
5342
\Delta v
Diferença de velocidade entre superfícies
m/s
5556
\bar{v}
Velocidade média
m/s
10298
Dp = p_2 - p_1 Dp = - rho * v_m * Dv rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2 e_1 = rho * v_1 ^ 2 / 2 + p_1 e_2 = rho * v_2 ^ 2 / 2 + p_2 e_1 = e_2 v_m = ( v_1 + v_2 )/2 Dv = v_2 - v_1 rhoe_1e_2Dvp_1p_2v_mv_1v_2

No caso em que não há pressão hisstrostática, aplica-se a lei de Bernoulli para la densidade (\rho), la pressão na coluna 1 (p_1), la pressão na coluna 2 (p_2), la velocidade média do fluido no ponto 1 (v_1) e < var>5416

\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2



pode ser reescrito com ($$)

\Delta p = p_2 - p_1



e tendo em mente que

v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)



com

\bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}



e

\Delta v = v_2 - v_1



se tem que

\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v

o que nos permite ver o efeito da velocidade média de um corpo e a diferença entre suas superfícies, como observado na asa de um avião ou de um pássaro.

ID:(4835, 0)