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Bernoulli sans pression hydrostatique
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Dans le cas où l'écoulement se produit dans un gaz ou dans une situation où les variations de hauteur sont minimes, l'effet de la pression hydrostatique peut être négligé.
Sans pression hydrostatique, la loi de Bernoulli se réduit à la somme d'un terme associé à l'énergie cinétique, et donc à la vitesse au carré, et la pression existante à chaque emplacement reste constante. Cela signifie que si la vitesse augmente, la pression diminue, et vice versa.
ID:(2066, 0)
Loi de Bernoulli, sans pression hydrostatique
Top
Si l'énergie est conservée et que le milieu s'écoule sans se déformer, il s'ensuit que la densité entre deux points doit être égale, ce qui est la prémisse conduisant à la loi de Bernoulli.
Dans le cas de la loi de Bernoulli [1], dans le cas où il n'y a pas de pression hydrostatique, on a a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), < var>5415 et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
L'équation de Bernoulli suppose la conservation de la densité d'énergie, ce qui implique l'absence de viscosité et de turbulence, limitant ainsi son application dans ce cas.
L'équation de Bernoulli peut servir de base pour modéliser le processus, mais elle doit nécessairement être complétée par un modèle prenant en compte la possibilité d'inclure les effets de la turbulence.
[1] "Hydrodynamica" (Hidrodinamica), Daniel Bernoulli, Typis Joh. Henr. Deckeri (1738)
ID:(15503, 0)
Venturi
Concept
Le tube de Venturi est composé d'une section plus étroite et de deux tubes verticaux pour mesurer la pression. Lorsque le liquide circule à travers le tube, on observe que les colonnes dans la section plus large sont plus hautes, tandis que dans la section plus étroite, la colonne est plus basse. Cela implique que dans la section plus étroite, la vitesse du liquide est plus élevée, ce qui génère une pression dynamique plus faible.
La situation peut être analysée et calculée en utilisant l'équation générale de Bernoulli. Dans ce modèle, a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) correspondent respectivement à la vitesse, à la hauteur et à la pression au point 1. De même, a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2. La relation est exprimée de la manière suivante :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
Les tubes verticaux permettent de mesurer la pression dans chaque section, car la hauteur à laquelle le liquide émerge correspondra à la pression hydrostatique dans cette section spécifique. Avec a accélération gravitationnelle ($g$), cela sera mesuré au premier point avec a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) :
et au deuxième point avec a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) :
ID:(11093, 0)
Différence de pression
Top
Dans le cas où il n'y a pas de pression hystrostatique, la loi de Bernoulli pour a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et < var>5416
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
et en gardant à l'esprit que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
avec
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
et
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
il faut que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ID:(15709, 0)
Croisement et croisement de véhicules sur la route
Description
Lorsqu'une voiture dépasse une autre sur la route, cela crée une situation où un flux d'air plus rapide est généré entre les deux véhicules, entraînant une pression plus basse dans cette zone. En conséquence, la pression sur les côtés extérieurs des voitures les attire mutuellement.
Lorsque les véhicules se croisent, la vitesse relative entre eux diminue et se rapproche du repos, générant une pression plus élevée entre eux et les éloignant l'un de l'autre.
Le même phénomène se produit lorsque deux bateaux se croisent. Si le croisement se fait dans un canal étroit, les deux barreurs doivent diriger leurs navires vers le côté opposé pour éviter que la force répulsive ne provoque une collision avec le bord du canal.
Pour expliquer pourquoi cela se produit, nous pouvons appliquer l'équation ($$) avec a vitesse moyenne ($\bar{v}$) et a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) avec a densité ($\rho$) en utilisant
Il est donc possible de constater que s'il y a un gradient de vitesse, il est inversement proportionnel au gradient de pression. Si l'un augmente, l'autre diminue, ce qui explique pourquoi les voitures dépassées présentent une vitesse plus élevée entre elles, entraînant une réduction de la pression entre elles et provoquant une aspiration mutuelle. En revanche, s'ils se croisent, la vitesse entre eux est approximativement nulle, générant un gradient de pression qui les repousse.
ID:(11094, 0)
Vitesse par rapport au repos
Concept
Dans ce cas, il peut être assumé que a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) représente une vitesse nulle et a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) correspond à A vitesse d'écoulement ($v_s$). Ainsi, pour a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$), il est établi que :
$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$
et pour a vitesse moyenne ($\bar{v}$), on calcule :
$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v_s}{2}$
En conséquence, avec ($$), qui est égal à A différence de pression ($\Delta p_s$), on obtient :
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ce qui résulte en :
$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$
ce qui conduit à :
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
ID:(15711, 0)
Tube de Pitot
Description
La vitesse d'un avion est déterminée à l'aide d'un dispositif appelé tube de Pitot. Il se compose de deux ouvertures : une à l'avant (bord d\'attaque) et une sur le côté. Au niveau du bord d\'attaque, la vitesse est nulle, tandis qu\'à l\'ouverture latérale, elle représente la vitesse à laquelle l\'avion se déplace par rapport à l\'air environnant. À l\'intérieur des ouvertures, il y a deux tubes remplis de liquide, permettant de mesurer la différence de pression entre les deux points. En utilisant l\'équation de Bernoulli, il est possible de calculer la vitesse de l\'avion à partir de la différence de pression et de la densité du liquide.
En particulier, la vitesse à la pointe du tube de Pitot est nulle, ce qui réduit a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) à la vitesse au niveau de l'orifice latéral ($\Delta v = v$), tandis que a vitesse moyenne ($\bar{v}$) correspond à la moitié de cette vitesse ($\bar{v} = v/2$). Étant donné que a vitesse d'écoulement ($v_s$) représente la vitesse de l'avion, celle-ci peut être déterminée en mesurant a différence de pression ($\Delta p_s$) à l'aide de l'équation suivante :
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
Il est important de noter que cette équation nécessite la densité, qui varie avec l'altitude à laquelle l'avion vole.
ID:(11095, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $
Dp = - rho * v_m * Dv
$ \Delta p = p_2 - p_1 $
Dp = p_2 - p_1
$ \Delta v = v_2 - v_1 $
Dv = v_2 - v_1
$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ p_1 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + p
$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ p_2 $
e = rho * v ^ 2 / 2 + p
$ e_1 = e_2 $
e_1 = e_2
$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $
rho * v_1 ^2/2 + p_1 = rho * v_2 ^2/2 + p_2
$ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$
v_m = ( v_1 + v_2 )/2
ID:(15498, 0)
Conservation de la densité énergétique
Équation
Si l'énergie est conservée au sein des volumes en écoulement, alors a densité énergétique en 1 ($e_1$) et a densité énergétique en 2 ($e_2$) doivent être égaux :
| $ e_1 = e_2 $ |
Ceci n'est possible que si la viscosité est négligeable, car elle est associée à la diffusion d'énergie, et qu'il n'y a pas de tourbillons présents, lesquels présentent eux-mêmes des différences d'énergie dues aux vitesses tangentes variables le long du rayon du vortex.
ID:(15499, 0)
Densité énergétique, sans pression hydrostatique (1)
Équation
Étant donné qu'un fluide ou un gaz est un continuum, le concept d'énergie ne peut plus être associé à une masse spécifique. Cependant, il est possible de considérer l'énergie contenue dans un volume du continuum, et en la divisant par le volume lui-même, nous obtenons a densité d'énergie ($e$). Par conséquent, avec a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a pression de la colonne d'eau ($p$), nous avons :
| $ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ p_1 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
Une autre équation utile est celle correspondant à la conservation de l'énergie, qui s'applique dans les cas où la viscosité, un processus entraînant une perte d'énergie, peut être négligée. Si l'on considère l'équation classique de l'énergie $E$, qui prend en compte l\'énergie cinétique, l\'énergie potentielle gravitationnelle et une force externe déplaçant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la manière suivante :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si l\'on considère l\'énergie à l\'intérieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et puisque la pression est donnée par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
On obtient l\'équation de la densité d\'énergie :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
qui correspond à l'équation de Bernoulli.
En l'absence de viscosité, la conservation de l'énergie implique que a densité d'énergie ($e$) soit constant à n'importe quel point du fluide. Par conséquent, connaître la vitesse et/ou la pression en tout endroit du fluide est suffisant pour établir une relation entre la vitesse et la pression en tout point du fluide.
ID:(15496, 1)
Densité énergétique, sans pression hydrostatique (2)
Équation
Étant donné qu'un fluide ou un gaz est un continuum, le concept d'énergie ne peut plus être associé à une masse spécifique. Cependant, il est possible de considérer l'énergie contenue dans un volume du continuum, et en la divisant par le volume lui-même, nous obtenons a densité d'énergie ($e$). Par conséquent, avec a densité ($\rho$), a vitesse moyenne du fluide ($v$) et a pression de la colonne d'eau ($p$), nous avons :
| $ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ p_2 $ |
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
Une autre équation utile est celle correspondant à la conservation de l'énergie, qui s'applique dans les cas où la viscosité, un processus entraînant une perte d'énergie, peut être négligée. Si l'on considère l'équation classique de l'énergie $E$, qui prend en compte l\'énergie cinétique, l\'énergie potentielle gravitationnelle et une force externe déplaçant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la manière suivante :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si l\'on considère l\'énergie à l\'intérieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et puisque la pression est donnée par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
On obtient l\'équation de la densité d\'énergie :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ p $ |
qui correspond à l'équation de Bernoulli.
En l'absence de viscosité, la conservation de l'énergie implique que a densité d'énergie ($e$) soit constant à n'importe quel point du fluide. Par conséquent, connaître la vitesse et/ou la pression en tout endroit du fluide est suffisant pour établir une relation entre la vitesse et la pression en tout point du fluide.
ID:(15496, 2)
Équation de Bernoulli, sans pression hydrostatique
Équation
Dans le cas de la loi de Bernoulli, dans le cas où il n'y a pas de pression hydrostatique, on a a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), < var>5415 et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
ID:(15495, 0)
Différence de pression
Équation
Lorsque deux colonnes de liquide sont connectées avec a pression dans la colonne 1 ($p_1$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$), une a différence de pression ($\Delta p$) est créée, qui est calculée selon la formule suivante :
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) représente la différence de pression qui fera s'écouler le liquide de la colonne la plus haute vers la colonne la plus basse.
ID:(4252, 0)
Vitesse moyenne
Équation
A vitesse moyenne ($\bar{v}$) est avec a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) est
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
ID:(15501, 0)
Différence de vitesse
Équation
A différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) est avec a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) est
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
ID:(15502, 0)
Équation de Bernoulli, variantes
Équation
($$) peut être calculé à partir de a vitesse moyenne ($\bar{v}$) et a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) avec a densité ($\rho$) en utilisant
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Dans le cas où il n'y a pas de pression hystrostatique, la loi de Bernoulli pour a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et < var>5416
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
et en gardant à l'esprit que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
avec
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
et
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
il faut que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ce qui nous permet de voir l'effet de la vitesse moyenne d'un corps et de la différence entre ses surfaces, comme observé dans une aile d'avion ou d'oiseau.
ID:(4835, 0)