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En colonne liquide
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Dans le cas d'une colonne de liquide, on peut appliquer la loi de Bernoulli avec le terme de pression hydrostatique. Cependant, il est important de noter que lorsque la viscosité du liquide n'est pas prise en compte, la réduction du niveau se produit de manière uniforme. À cet égard, cela peut être modélisé en utilisant l'équation de continuité pour déterminer la vitesse de descente du cylindre.
Pour une colonne de liquide avec une sortie au fond, le comportement est similaire à ce qui est estimé avec le principe de Bernoulli. Les différences surviennent en raison de la formation de petits tourbillons à la sortie, qui réduisent efficacement la surface de sortie et entravent le flux. Cependant, le flux d'un liquide à faible viscosité peut être modélisé dans la zone sans tourbillons en utilisant le principe de Bernoulli.
ID:(1427, 0)
Vitesse de sortie de la colonne liquide
Description
Si lon a une hauteur de la colonne ($h$) de liquide avec a densité du liquide ($\rho_w$) sous leffet de la gravité, en utilisant a accélération gravitationnelle ($g$), on génère ($$) selon :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Cette ($$) produit un débit à travers le tube de sortie avec le longueur du tube ($\Delta L$), le rayon du tube ($R$) et a viscosité ($\eta$) de un volumique flux 1 ($J_{V1}$) conformément à la loi de Hagen-Poiseuille :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Étant donné que cette équation inclut a section au point 2 ($S_2$), a densité de flux 2 ($j_{s2}$) peut être calculé via :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Avec cela, on obtient :
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
ce qui correspond à une vitesse moyenne.
Pour modéliser le système, les paramètres clés sont :
• Diamètre intérieur du récipient : 93 mm
• Diamètre intérieur du canal dévacuation : 3,2 mm
• Longueur du canal dévacuation : 18 mm
La hauteur initiale du liquide est de 25 cm.
ID:(11092, 0)
Expérience de vidange de colonne : modèle avec Bernoulli
Description
Considérons le système d'un seau cylindrique avec un trou de drainage. Lorsque le bouchon est retiré, l'eau commence à s'écouler en fonction de la pression existante. Selon le principe de Bernoulli, à l'intérieur du seau ($v\sim 0$), la vitesse est nulle, et nous avons :
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$
tandis qu\'à l\'extérieur du seau ($h=0$), seule la composante cinétique existe :
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
Comme les deux expressions sont égales, nous avons :
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$
ce qui donne la vitesse comme :
$v=\sqrt{2 g h}$
Pour comparer avec l\'expérience, nous pouvons utiliser cette expression pour estimer, avec :
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
la portée que le jet d\'eau devrait avoir. Si nous le représentons graphiquement, nous observons :
où :
• les points rouges correspondent aux mesures expérimentales,
• les points bleus correspondent à la portée calculée en utilisant un facteur de 0,11,
• les points transparents correspondent à la portée calculée en utilisant un facteur de 0,09.
Par conséquent, nous pouvons conclure que le modèle de Bernoulli surestime la vitesse à laquelle le seau se vide. Cela est dû au fait que dans la région du trou de drainage, les effets de la viscosité ne sont pas négligeables, et donc la vitesse est plus faible.
ID:(11063, 0)
Column casting experiment: height and reach
Description
Si le programme Tracker est utilisé, il est possible de mesurer la hauteur du ménisque de la colonne et la portée du jet. La relation entre les deux est représentée dans le graphique suivant :
Les données enregistrées, qui peuvent être téléchargées sous forme de tableau Excel depuis le lien suivant tableau Excel, sont les suivantes :
| Zeit [s] | Höhe [m] | Weite [m] |
| 0 | 2.23E-01 | 1.89E-01 |
| 4 | 2.14E-01 | 1.86E-01 |
| 8 | 2.04E-01 | 1.82E-01 |
| 12 | 1.94E-01 | 1.77E-01 |
| 16 | 1.86E-01 | 1.72E-01 |
| 20 | 1.79E-01 | 1.68E-01 |
| 24 | 1.71E-01 | 1.66E-01 |
| 28 | 1.63E-01 | 1.62E-01 |
| 32 | 1.54E-01 | 1.58E-01 |
| 36 | 1.46E-01 | 1.52E-01 |
| 40 | 1.39E-01 | 1.48E-01 |
| 44 | 1.32E-01 | 1.44E-01 |
| 48 | 1.24E-01 | 1.39E-01 |
| 52 | 1.18E-01 | 1.35E-01 |
| 56 | 1.11E-01 | 1.31E-01 |
| 60 | 1.06E-01 | 1.27E-01 |
| 64 | 9.88E-02 | 1.23E-01 |
| 68 | 9.29E-02 | 1.18E-01 |
| 72 | 8.70E-02 | 1.15E-01 |
| 76 | 8.11E-02 | 1.12E-01 |
| 80 | 7.52E-02 | 1.06E-01 |
| 84 | 7.12E-02 | 1.02E-01 |
| 88 | 6.51E-02 | 9.69E-02 |
| 92 | 6.00E-02 | 9.42E-02 |
| 96 | 5.58E-02 | 8.94E-02 |
| 100 | 5.09E-02 | 8.52E-02 |
| 104 | 4.70E-02 | 8.13E-02 |
| 108 | 4.34E-02 | 7.63E-02 |
| 112 | 3.97E-02 | 7.22E-02 |
| 116 | 3.49E-02 | 6.79E-02 |
| 120 | 3.15E-02 | 6.28E-02 |
| 124 | 2.91E-02 | 5.96E-02 |
| 128 | 2.58E-02 | 5.33E-02 |
| 132 | 2.23E-02 | 4.92E-02 |
| 136 | 1.98E-02 | 4.31E-02 |
| 140 | 1.71E-02 | 3.85E-02 |
| 144 | 1.54E-02 | 3.38E-02 |
| 148 | 1.28E-02 | 2.85E-02 |
| 152 | 1.11E-02 | 2.23E-02 |
| 156 | 9.17E-03 | 1.54E-02 |
| 160 | 7.15E-03 | 7.95E-03 |
Remarque : E est la notation scientifique (zB. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)
ID:(11062, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ \Delta V = S \Delta s $
DV = S * Ds
$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$
h = h_0 *(1-t/tau_b)^2
$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
j_s = Ds / Dt
$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$
J_V = DV / Dt
$ J_V = S j_s $
J_V = S * j_s
$ S = \pi r ^2$
S = pi * r ^2
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$
S*DIFF(h,t,1) = pi * R ^2*sqrt(2* g * h )
$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $
S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$
tau_b = (S /( pi * R ^2))*sqrt(h_0/g)
$ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$
v_s = sqrt(2* Dp_s / rho )
ID:(15490, 0)
Élément de volume
Équation
Si nous avons un tube avec une a section de tube ($S$) se déplaçant sur une distance le élément tubulaire ($\Delta s$) le long de son axe, ayant déplacé Le élément de volume ($\Delta V$), alors cela é égal à :
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
ID:(3469, 0)
Débit moyen
Équation
Le volumique flux ($J_V$) correspond à Le volume fluide ($\Delta V$) qui s'écoule à travers le canal en le temps écoulé ($\Delta t$). Par conséquent, nous avons :
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
ID:(4347, 0)
Densité de flux moyenne
Équation
A densité de flux ($j_s$) est lié à A distance parcourue en un temps ($\Delta s$), qui est la distance parcourue par le fluide dans le temps écoulé ($\Delta t$), comme suit :
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
ID:(4348, 0)
Flux volumique et sa vitesse
Équation
Une densité de flux ($j_s$) peut être exprimé en termes de le volumique flux ($J_V$) à l'aide de a coupe ou surface ($S$) par la formule suivante :
| $ J_V = S j_s $ |
Le volume ($V$) pour un tube avec a section de tube ($S$) constant et une position ($s$) est
| $ V = h S $ |
Si a section de tube ($S$) est constant, la dérivée temporelle sera
$\displaystyle\frac{dV}{dt} = S\displaystyle\frac{ds}{dt}$
ainsi, avec le volumique flux ($J_V$) défini par
| $ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$ |
et avec a densité de flux ($j_s$) associé à A position ($s$) via
| $ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$ |
il est conclu que
| $ J_V = S j_s $ |
ID:(15716, 0)
Surface d'un disque (1)
Équation
A section ($S$) de un rayon du disque ($r$) est calculée comme suit :
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 1)
Vitesse par rapport au repos
Équation
Lors de l'application de l'équation de Bernoulli par rapport à un point au repos dans le flux, il est établi que a vitesse d'écoulement ($v_s$) est associé à A différence de pression ($\Delta p_s$) concernant la pression en ce point. Avec a densité ($\rho$), on observe ce qui suit :
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
Dans ce cas, il peut être assumé que a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$) représente une vitesse nulle et a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) correspond à A vitesse d'écoulement ($v_s$). Ainsi, pour a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$), il est établi que :
$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$
et pour a vitesse moyenne ($\bar{v}$), on calcule :
$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v_s}{2}$
En conséquence, avec ($$), qui est égal à A différence de pression ($\Delta p_s$), on obtient :
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ce qui résulte en :
$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$
ce qui conduit à :
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
ID:(15710, 0)
Différence de pression entre les colonnes
Équation
La différence de hauteur, représentée par a différence de hauteur ($\Delta h$), implique que la pression dans les deux colonnes est différente. En particulier, a différence de pression ($\Delta p$) est une fonction de a densité du liquide ($\rho_w$), a accélération gravitationnelle ($g$), et a différence de hauteur ($\Delta h$), comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
S'il existe a différence de pression ($\Delta p$) entre deux points, comme le détermine l'équation :
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
nous pouvons utiliser a pression de la colonne d'eau ($p$), qui est définie comme suit :
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Cela donne :
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Comme a différence de hauteur ($\Delta h$) est définie comme suit :
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
a différence de pression ($\Delta p$) peut être exprimée comme suit :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Débit volumique instantané
Équation
Le principe de continuité stipule que le débit au premier point, égal à A densité de flux 1 ($j_{s1}$) multiplié par a section au point 1 ($S_1$), doit être égal au débit au second point, donné par a densité de flux 2 ($j_{s2}$) multiplié par a section au point 2 ($S_2$). Il en résulte que :
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
ID:(4350, 0)
Hauteur de la colonne de liquide non visqueux au fil du temps
Équation
Pour le cas d'un liquide non visqueux s'écoulant de manière laminaire, la différence de pression générée par la colonne est la suivante :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Cela résulte en un écoulement de vitesse $v$ à travers un tube selon le principe de Bernoulli:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Étant donnée la vitesse et le rayon du tube, nous pouvons calculer le débit, qui est lié au débit à l'intérieur de la colonne par la loi de continuité. À son tour, cela est lié à la variation de la hauteur $h", comme décrit dans:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
En utilisant l'équation de Bernoulli, nous pouvons analyser le cas d'une colonne d'eau qui génère une différence de pression :
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
et induit un écoulement de vitesse $v$ à travers un tube, conformément à :
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Ainsi, nous pouvons estimer la vitesse comme suit :
$v = \sqrt{2 g h}$
Cette vitesse, à travers une section de tube de rayon $R$, entraîne un débit :
$J = \pi R^2 v$
Si la colonne a une aire de section transversale $S$ et que sa hauteur diminue par rapport à la variation de la hauteur $h$ au fil du temps $t$, nous pouvons appliquer la loi de la continuité, qui énonce :
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
Par conséquent, l'équation qui décrit cette situation est :
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
ID:(9882, 0)
Temps caractéristique de la colonne avec un liquide non visqueux
Équation
Si nous examinons l'équation pour la vidange d'une colonne de liquide non visqueux :
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
nous pouvons condenser les constantes en une unité de temps caractéristique :
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Cette valeur représente le temps nécessaire pour que la colonne se vide complètement et dépend de la hauteur initiale.
ID:(14523, 0)
Evolution temporelle de la colonne de liquide non visqueux
Équation
L'équation qui décrit l'évolution de la colonne de liquide visqueux en train de se vider est la suivante :
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
Nous pouvons réécrire cette équation en termes du temps caractéristique :
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Après intégration, nous obtenons :
| $ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Si dans l'équation
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
les constantes sont remplacées par
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
nous obtenons l'équation différentielle linéaire du premier ordre
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$
dont la solution est
| $ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Où $h_0$ représente la hauteur initiale.
ID:(14524, 0)