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En columna de liquido
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En el caso de una columna de líquido, se puede aplicar la ley de Bernoulli junto con el término de presión hidrostática. Sin embargo, es importante tener en cuenta que al no considerar la viscosidad del líquido, la reducción del nivel ocurre de manera uniforme. En este sentido, se puede modelar utilizando la ley de continuidad para determinar la velocidad de descenso del cilindro.
Para una columna de líquido con salida en el fondo, se observa que el comportamiento es similar a lo que se estima con Bernoulli. Las diferencias surgen debido a la formación de pequeños torbellinos en la salida, que efectivamente reducen la sección de salida y obstruyen el flujo. Sin embargo, el flujo de un líquido con baja viscosidad se puede modelar en la zona que no presenta torbellinos con la ley de Bernoulli.
ID:(1427, 0)
Mecanismos
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Mecanismos
ID:(15487, 0)
Velocidad de salida de la columna de liquido
Descripción
Si se tiene una altura de la columna ($h$) de líquido con la densidad del líquido ($\rho_w$) bajo el efecto de la gravedad, utilizando la aceleración gravitacional ($g$), se genera el diferencial de la presión ($\Delta p$) de acuerdo con:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Esta el diferencial de la presión ($\Delta p$) produce, a través del tubo de salida con el largo de tubo ($\Delta L$), el radio del tubo ($R$) y la viscosidad ($\eta$), un flujo de un flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) según la ley de Hagen-Poiseuille:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Dado que esta ecuación incluye la sección en el punto 2 ($S_2$), es posible calcular la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) mediante:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Con esto, se obtiene:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ \rho_w g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
que corresponde a una velocidad media.
Para modelar el sistema, los parámetros clave son:
• Diámetro interior de la cubeta: 93 mm
• Diámetro interior del canal de evacuación: 3,2 mm
• Longitud del canal de evacuación: 18 mm
La altura inicial del líquido es de 25 cm.
ID:(11092, 0)
Experimento de vaciado de columna: modelo con Bernoulli
Descripción
Consideremos el sistema de un cubo cilíndrico con un agujero de evacuación. Al retirar el tapón, el agua comienza a fluir en función de la presión existente. Según Bernoulli en el interior ($v\sim 0$), la velocidad es nula y tenemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$
mientras que en el exterior ($h=0$), solo existe la componente cinética:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
Como ambas expresiones son iguales, tenemos:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$
por lo que la velocidad es:
$v=\sqrt{2 g h}$
Para comparar con el experimento, podemos utilizar esta expresión para estimar con:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
el alcance que debería tener el chorro. Si lo representamos gráficamente, observamos:
donde:
• los puntos rojos corresponden a las mediciones experimentales,
• los puntos azules corresponden al alcance calculado utilizando un factor de 0.11,
• los puntos transparentes corresponden al alcance calculado utilizando un factor de 0.09.
Por lo tanto, podemos concluir que el modelo de Bernoulli sobreestima la velocidad a la que se vacía el cubo. Esto se debe a que en la zona del agujero de evacuación, los efectos de la viscosidad no son despreciables y, por lo tanto, la velocidad es menor.
ID:(11063, 0)
Experimento de vaciado de columna: altura y alcance
Descripción
Si se utiliza el programa Tracker, se puede medir la altura del menisco de la columna y el alcance del chorro. La relación entre ambos se muestra en el siguiente gráfico:
Alcance [m] vs Altura [m]
Los datos registrados, que se pueden descargar como tabla de Excel en el siguiente enlace tabla excel, son los siguientes:
| Tiempo [s] | Altura [m] | Alcance [m] |
| 0 | 2.23E-01 | 1.89E-01 |
| 4 | 2.14E-01 | 1.86E-01 |
| 8 | 2.04E-01 | 1.82E-01 |
| 12 | 1.94E-01 | 1.77E-01 |
| 16 | 1.86E-01 | 1.72E-01 |
| 20 | 1.79E-01 | 1.68E-01 |
| 24 | 1.71E-01 | 1.66E-01 |
| 28 | 1.63E-01 | 1.62E-01 |
| 32 | 1.54E-01 | 1.58E-01 |
| 36 | 1.46E-01 | 1.52E-01 |
| 40 | 1.39E-01 | 1.48E-01 |
| 44 | 1.32E-01 | 1.44E-01 |
| 48 | 1.24E-01 | 1.39E-01 |
| 52 | 1.18E-01 | 1.35E-01 |
| 56 | 1.11E-01 | 1.31E-01 |
| 60 | 1.06E-01 | 1.27E-01 |
| 64 | 9.88E-02 | 1.23E-01 |
| 68 | 9.29E-02 | 1.18E-01 |
| 72 | 8.70E-02 | 1.15E-01 |
| 76 | 8.11E-02 | 1.12E-01 |
| 80 | 7.52E-02 | 1.06E-01 |
| 84 | 7.12E-02 | 1.02E-01 |
| 88 | 6.51E-02 | 9.69E-02 |
| 92 | 6.00E-02 | 9.42E-02 |
| 96 | 5.58E-02 | 8.94E-02 |
| 100 | 5.09E-02 | 8.52E-02 |
| 104 | 4.70E-02 | 8.13E-02 |
| 108 | 4.34E-02 | 7.63E-02 |
| 112 | 3.97E-02 | 7.22E-02 |
| 116 | 3.49E-02 | 6.79E-02 |
| 120 | 3.15E-02 | 6.28E-02 |
| 124 | 2.91E-02 | 5.96E-02 |
| 128 | 2.58E-02 | 5.33E-02 |
| 132 | 2.23E-02 | 4.92E-02 |
| 136 | 1.98E-02 | 4.31E-02 |
| 140 | 1.71E-02 | 3.85E-02 |
| 144 | 1.54E-02 | 3.38E-02 |
| 148 | 1.28E-02 | 2.85E-02 |
| 152 | 1.11E-02 | 2.23E-02 |
| 156 | 9.17E-03 | 1.54E-02 |
| 160 | 7.15E-03 | 7.95E-03 |
Nota: el E indica notación cientifica (ej. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)
ID:(11062, 0)
Modelo
Top
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $
Dp = rho_w * g * Dh
$ \Delta V = S \Delta s $
DV = S * Ds
$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$
h = h_0 *(1-t/tau_b)^2
$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
j_s = Ds / Dt
$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$
J_V = DV / Dt
$ J_V = S j_s $
J_V = S * j_s
$ S = \pi r ^2$
S = pi * r ^2
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$
S*DIFF(h,t,1) = pi * R ^2*sqrt(2* g * h )
$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $
S_1 * j_s1 = S_2 * j_s2
$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$
tau_b = (S /( pi * R ^2))*sqrt(h_0/g)
$ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$
v_s = sqrt(2* Dp_s / rho )
ID:(15490, 0)
Elemento de volumen
Ecuación
Si tenemos un tubo con una la sección del tubo ($S$) que se desplaza una distancia el elemento del tubo ($\Delta s$) a lo largo de su eje, habiendo trasladado el elemento de volumen ($\Delta V$), igual a:
| $ \Delta V = S \Delta s $ |
ID:(3469, 0)
Flujo de volumen medio
Ecuación
El flujo de volumen ($J_V$) corresponde a el volumen que fluye ($\Delta V$) que fluye a través del canal en el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Por lo tanto, tenemos:
| $ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$ |
ID:(4347, 0)
Densidad de flujo medio
Ecuación
La densidad de flujo ($j_s$) se relaciona con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), que es la distancia que el fluido recorre en el tiempo transcurrido ($\Delta t$), de la siguiente manera:
| $ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
ID:(4348, 0)
Flujo de volumen y su velocidad
Ecuación
Se puede representar una densidad de flujo ($j_s$) en términos de el flujo de volumen ($J_V$) utilizando la sección o superficie ($S$) mediante la siguiente fórmula:
| $ J_V = S j_s $ |
El volumen ($V$) para un tubo con la sección del tubo ($S$) constante y una posición ($s$) es
| $ V = h S $ |
Si la sección del tubo ($S$) es constante, la derivada temporal será
$\displaystyle\frac{dV}{dt} = S\displaystyle\frac{ds}{dt}$
por lo que, con el flujo de volumen ($J_V$) definido por
| $ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$ |
y con la densidad de flujo ($j_s$) asociado a la posición ($s$) mediante
| $ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$ |
se concluye que
| $ J_V = S j_s $ |
ID:(15716, 0)
Superficie de un disco (1)
Ecuación
La superficie de un disco ($S$) de un radio de un disco ($r$) se calcula de la siguiente manera:
| $ S = \pi r ^2$ |
ID:(3804, 1)
Velocidad respecto del reposo
Ecuación
Cuando se aplica la ecuación de Bernoulli en relación con un punto en reposo dentro del flujo, se establece que la velocidad del flujo ($v_s$) se asocia con la diferencia de presión ($\Delta p_s$) en cuanto a la presión en este punto. Con la densidad ($\rho$), se observa lo siguiente:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
En este caso, se puede asumir que la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$) representa una velocidad nula y la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) equivale a la velocidad del flujo ($v_s$), por lo que
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
para la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) se obtiene:
$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$
y para la velocidad promedio ($\bar{v}$)
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
se calcula:
$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \displaystyle\frac{v_s}{2}$
Consecuentemente, con el diferencial de la presión ($\Delta p$), que es equivalente a la diferencia de presión ($\Delta p_s$), se obtiene:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
resultando en:
$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$
lo que conduce a:
| $ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$ |
ID:(15710, 0)
Diferencia de presión entre columnas
Ecuación
La diferencia de alturas, representada por la diferencia de altura ($\Delta h$), implica que la presión en ambas columnas es diferente. En particular, la diferencia de presión ($\Delta p$) es una función de la densidad del líquido ($\rho_w$), la aceleración gravitacional ($g$) y la diferencia de altura ($\Delta h$), de la siguiente manera:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Si hay la diferencia de presión ($\Delta p$) entre dos puntos, como lo indica la ecuación:
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
podemos usar la presión de la columna de agua ($p$), que es:
| $ p_t = p_0 + \rho_w g h $ |
Esto nos da:
$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$
Dado que la diferencia de altura ($\Delta h$) es:
| $ \Delta h = h_2 - h_1 $ |
la diferencia de presión ($\Delta p$) se puede expresar como:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
ID:(4345, 0)
Continuidad por sección
Ecuación
El principio de continuidad establece que el flujo en el primer punto, que es igual a la densidad de flujo 1 ($j_{s1}$) por la sección en el punto 1 ($S_1$), debe ser igual al flujo en el segundo punto, dado por la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) por la sección en el punto 2 ($S_2$), de lo que se deduce que:
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
La continuidad implica que el flujo de volumen 1 ($J_{V1}$) y el flujo de volumen 2 ($J_{V2}$) son iguales
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
lleva a que la densidad de flujo 1 ($j_{s1}$) por la sección en el punto 1 ($S_1$)
y a que la densidad de flujo 2 ($j_{s2}$) por la velocidad máxima en el flujo por un cilindro ($v_{max}$)
se obtiene que
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
ID:(4350, 0)
Altura de columna líquido no viscoso en el tiempo
Ecuación
Para el caso de un líquido no viscoso que fluye en forma laminar, la diferencia de presión generada por la columna es:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
lo que da lugar a un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo según el principio de Bernoulli:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Dada la velocidad y el radio del tubo, podemos calcular el flujo, que se relaciona con el flujo dentro de la columna mediante la ley de continuidad. A su vez, esto se relaciona con la variación de la altura $h$, como se describe en:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
A partir de la ecuación de Bernoulli, podemos analizar el caso de una columna de agua que genera una diferencia de presión:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
y provoca un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo, de acuerdo con:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Por lo tanto, podemos estimar la velocidad como:
$v = \sqrt{2 g h}$
Esta velocidad, a través de una sección de tubo de radio $R$, genera un flujo:
$J = \pi R^2 v$
Si la columna tiene una sección $S$ y su altura disminuye con respecto a la variación de la altura $h$ en el tiempo $t$, podemos aplicar la ley de continuidad, que establece:
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
Entonces, la ecuación que describe esta situación es:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
ID:(9882, 0)
Tiempo característico columna con líquido no viscoso
Ecuación
Si observamos la ecuación para el vaciado de una columna de líquido no viscoso:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
podemos condensar las constantes en una unidad de tiempo característica:
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Este valor se convierte en el tiempo en el que la columna se vacía por completo y depende de la altura inicial.
ID:(14523, 0)
Evolución temporal de la columna de líquido no viscoso
Ecuación
La ecuación que describe la evolución de la columna de líquido viscoso que se está drenando es la siguiente:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
Podemos reescribir esta ecuación en términos del tiempo característico:
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
Luego, al realizar la integración, obtenemos:
| $ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Si en la ecuación
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
se reemplazan las constantes mediante
| $ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$ |
obtenemos la ecuación diferencial lineal de primer orden
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$
cuya solución es
| $ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$ |
Donde $h_0$ representa la altura inicial.
ID:(14524, 0)