Storyboard

Im Fall einer Flüssigkeitssäule kann das Bernoulli-Gesetz zusammen mit dem hydrostatischen Druckterm angewendet werden. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass bei Nichtberücksichtigung der Viskosität des Fluids die Reduzierung des Niveaus gleichmäßig erfolgt. In diesem Zusammenhang kann es mit der Kontinuitätsgleichung modelliert werden, um die Abwärtsgeschwindigkeit des Zylinders zu bestimmen.

Für eine Flüssigkeitssäule mit einem Auslass am Boden zeigt das Verhalten Ähnlichkeiten mit dem, was mit dem Bernoulli-Prinzip geschätzt wird. Unterschiede ergeben sich durch die Bildung kleiner Wirbel am Auslass, die effektiv den Auslassbereich verringern und den Fluss behindern. Der Fluss einer Flüssigkeit mit geringer Viskosität kann jedoch in der Zone ohne Wirbel mit dem Bernoulli-Prinzip modelliert werden.

>Modell

ID:(1427, 0)

Iframe

>Top

ID:(15487, 0)

Beschreibung

>Top

Wenn man eine Höhe der Säule ($h$) Flüssigkeit mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) unter dem Einfluss der Schwerkraft hat, wird mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) eine die Variación de la Presión ($\Delta p$) gemäß folgender Gleichung erzeugt:

Diese die Variación de la Presión ($\Delta p$) führt durch das Auslassrohr mit der Rohrlänge ($\Delta L$), der Rohrradius ($R$) und die Viskosität ($\eta$) zu einem Fluss von ein Volumenstrom 1 ($J_{V1}$) gemäß dem Hagen-Poiseuille-Gesetz:

Da diese Gleichung die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) enthält, kann die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) berechnet werden mittels:

Damit erhält man:

was einer mittleren Geschwindigkeit entspricht.

Um das System zu modellieren, sind die Schlüsseldaten:

• Innendurchmesser des Behälters: 93 mm

• Innendurchmesser des Abflusskanals: 3,2 mm

• Länge des Abflusskanals: 18 mm

Die anfängliche Flüssigkeitshöhe beträgt 25 cm.

ID:(11092, 0)

Beschreibung

>Top

Betrachten wir das System eines zylindrischen Eimers mit einem Abflussloch. Wenn der Stopfen entfernt wird, beginnt das Wasser aufgrund des vorhandenen Drucks zu fließen. Gemäß dem Bernoulli-Prinzip ist die Geschwindigkeit im Inneren des Eimers ($v\sim 0$) null, und wir haben:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$

während außerhalb des Eimers ($h=0$) nur die kinetische Komponente vorhanden ist:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Da beide Ausdrücke gleich sind, haben wir:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$

was zur Geschwindigkeit führt:

$v=\sqrt{2 g h}$

Um den Versuch mit der Theorie zu vergleichen, können wir diesen Ausdruck verwenden, um mit:

die Reichweite zu berechnen, die der Strahl haben sollte. Wenn wir dies grafisch darstellen, beobachten wir:

wo:

• die roten Punkte den experimentellen Messungen entsprechen,

• die blauen Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,11 entsprechen,

• die transparenten Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,09 entsprechen.

Daher können wir folgern, dass das Bernoulli-Modell die Geschwindigkeit, mit der der Eimer sich entleert, überschätzt. Dies liegt daran, dass in der Nähe des Abflusslochs die Auswirkungen der Viskosität nicht vernachlässigbar sind und die Geschwindigkeit daher geringer ist.

ID:(11063, 0)

Beschreibung

>Top

Wenn das Tracker-Programm verwendet wird, können die Höhe des Meniskus der Säule und die Reichweite des Strahls gemessen werden. Das Verhältnis zwischen beiden wird im folgenden Diagramm dargestellt:

Reichweite [m] vs Höhe [m]

Die aufgezeichneten Daten, die als Excel-Tabelle unter folgendem Link heruntergeladen werden können Excel-Tabelle, lauten wie folgt:

Hinweis: E ist wissenschaftliche Notation (zB. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)

ID:(11062, 0)

Top

>Top

Parameter

$\tau_b$

tau_b

Charakteristische Zeitsäule mit Bernoulli

s

$\rho$

rho

Dichte

kg/m^3

$\rho_w$

rho_w

Flüssigkeitsdichte

kg/m^3

$g$

g

Gravitationsbeschleunigung

m/s^2

$\pi$

pi

Pi

rad

$R$

R

Rohrradius

m

$\Delta p$

Dp

Variación de la Presión

Pa

Variablen

$\Delta t$

Dt

Abgelaufene Zeit

s

$S_1$

S_1

Abschnitt in Punkt 1

m^2

$S_2$

S_2

Abschnitt in Punkt 2

m^2

$h_0$

h_0

Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule

m

$\Delta p_s$

Dp_s

Druckunterschied

Pa

$j_s$

j_s

Flussdichte

m/s

$j_{s1}$

j_s1

Flussdichte 1

m/s

$j_{s2}$

j_s2

Flussdichte 2

m/s

$\Delta h$

Dh

Höhe der Flüssigkeitssäule

m

$h$

h

Höhe der Säule

m

$S$

S

Oberfläche einer Scheibe

m^2

$S$

S

Rohr Sektion

m^2

$\Delta s$

Ds

Rohrelement

m

$r$

r

Scheibenradius

m

$v_s$

v_s

Strömungsgeschwindigkeit

m/s

$\Delta V$

DV

Volumenelement

m^3

$J_V$

J_V

Volumenstrom

m^3/s

$t$

t

Zeit

s

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15490, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir ein Rohr mit einer die Rohr Sektion ($S$) haben, das eine Strecke von der Rohrelement ($\Delta s$) entlang seiner Achse bewegt hat, nachdem es der Volumenelement ($\Delta V$) verschoben wurde, dann ist es gleich:

$ \Delta V = S \Delta s $

Bedingungen

Variablen

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

6267

$\Delta s$

Rohrelement

$m$

10291

$\Delta V$

Volumenelement

$m^3$

10290

Beziehung

ID:(3469, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Volumenstrom ($J_V$) entspricht der Volume Fließende ($\Delta V$), das durch den Kanal bei der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) fließt. Daher haben wir:

$ J_V =\displaystyle\frac{ \Delta V }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

5103

$\Delta V$

Volumenelement

$m^3$

10290

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

5448

Beziehung

ID:(4347, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Flussdichte ($j_s$) steht in Beziehung zu die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), was die Strecke ist, die die Flüssigkeit in der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) zurücklegt, wie folgt:

$ j_s =\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Bedingungen

Variablen

$\Delta t$

Abgelaufene Zeit

$s$

5103

$j_s$

Flussdichte

$m/s$

7220

$\Delta s$

Rohrelement

$m$

10291

Beziehung

ID:(4348, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:

$ J_V = S j_s $

Bedingungen

Variablen

$j_s$

Flussdichte

$m/s$

7220

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

6267

$J_V$

Volumenstrom

$m^3/s$

5448

Beziehung

Entwicklung

Der Volume ($V$) für ein Rohr mit konstanter die Rohr Sektion ($S$) und eine Position ($s$) ist

$ V = h S $

Wenn die Rohr Sektion ($S$) konstant ist, wird die zeitliche Ableitung sein

$\displaystyle\frac{dV}{dt} = S\displaystyle\frac{ds}{dt}$

somit, mit der Volumenstrom ($J_V$) definiert durch

$ J_V =\displaystyle\frac{ dV }{ dt }$

und mit die Flussdichte ($j_s$) assoziiert mit die Position ($s$) durch

$ j_s =\displaystyle\frac{ ds }{ dt }$

folgt, dass

$ J_V = S j_s $

ID:(15716, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Oberfläche einer Scheibe ($S$) von ein Scheibenradius ($r$) wird wie folgt berechnet:

$ S = \pi r ^2$

Bedingungen

Variablen

$S$

Oberfläche einer Scheibe

$m^2$

10361

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$r$

Scheibenradius

$m$

5275

Beziehung

ID:(3804, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung bezogen auf einen ruhenden Punkt im Fluss wird festgestellt, dass die Strömungsgeschwindigkeit ($v_s$) sich auf die Druckunterschied ($\Delta p_s$) in Bezug auf den Druck an diesem Punkt bezieht. Mit die Dichte ($\rho$) wird folgendes beobachtet:

$ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

5342

$\Delta p_s$

Druckunterschied

$Pa$

10117

$v_s$

Strömungsgeschwindigkeit

$m/s$

5821

Beziehung

Entwicklung

In diesem Fall kann angenommen werden, dass die Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2 ($v_2$) eine Nullgeschwindigkeit darstellt und die Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1 ($v_1$) entspricht die Strömungsgeschwindigkeit ($v_s$). Daher gilt für die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) folgendes:

$\Delta v = v_2 - v_1 = 0 - v_s = - v_s$

und für die Durchschnittsgeschwindigkeit ($\bar{v}$) wird berechnet:

$\bar{v} = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{v_s}{2}$

Folglich ergibt sich mit die Variación de la Presión ($\Delta p$), das gleich die Druckunterschied ($\Delta p_s$) ist, folgendes:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

was zu folgendem führt:

$\Delta p_s = \displaystyle\frac{1}{2} \rho v_s^2$

was zu:

$ v_s = \sqrt{\displaystyle\frac{2 \Delta p_s }{ \rho }}$

führt.

ID:(15710, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Bedingungen

Variablen

$\rho_w$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

5407

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$\Delta h$

Höhe der Flüssigkeitssäule

$m$

5819

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

6673

Beziehung

Entwicklung

Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

können wir die Druck der Wassersäule ($p$) verwenden, definiert als:

$ p_t = p_0 + \rho_w g h $

Dies ergibt:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Kontinuitätsprinzip besagt, dass der Fluss am ersten Punkt, der gleich die Flussdichte 1 ($j_{s1}$) mal die Abschnitt in Punkt 1 ($S_1$) ist, dem Fluss am zweiten Punkt entsprechen muss, der durch die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) mal die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) gegeben ist. Daraus folgt:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Bedingungen

Variablen

$S_1$

Abschnitt in Punkt 1

$m^2$

5257

$S_2$

Abschnitt in Punkt 2

$m^2$

5413

$j_{s1}$

Flussdichte 1

$m/s$

10288

$j_{s2}$

Flussdichte 2

$m/s$

10289

Beziehung

ID:(4350, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für den Fall eines nicht viskosen Flüssigkeitsstroms im laminaren Zustand wird der Druckunterschied, der von der Säule erzeugt wird, durch folgende Gleichung beschrieben:

Dies führt zu einem Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr gemäß dem Bernoulli-Prinzip:

Unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit und des Radius des Rohrs können wir den Fluss berechnen, der durch das Gesetz der Kontinuität mit dem Fluss innerhalb der Säule in Beziehung steht. Dies wiederum ist mit der Änderung der Höhe $h$ verbunden, wie im folgenden beschrieben:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

Bedingungen

Variablen

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Höhe der Säule

$m$

5406

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

6267

$R$

Rohrradius

$m$

5417

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung können wir den Fall einer Wassersäule analysieren, die einen Druckunterschied erzeugt:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

und einen Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr verursacht, gemäß:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

Daher können wir die Geschwindigkeit wie folgt schätzen:

$v = \sqrt{2 g h}$

Diese Geschwindigkeit, durch einen Rohrabchnitt mit Radius $R$, führt zu einem Fluss:

$J = \pi R^2 v$

Wenn die Säule einen Querschnittsbereich $S$ hat und ihre Höhe im Vergleich zur Variation der Höhe $h$ im Laufe der Zeit $t$ abnimmt, können wir das Kontinuitätsgesetz anwenden, das besagt:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Daher ist die Gleichung, die diese Situation beschreibt:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

ID:(9882, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Gleichung für das Entleeren einer nicht viskosen Flüssigkeitssäule betrachten:

können wir die Konstanten in eine charakteristische Zeit-Einheit zusammenfassen:

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

Bedingungen

Variablen

$h_0$

Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule

$m$

10085

$\tau_b$

Charakteristische Zeitsäule mit Bernoulli

$s$

10086

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

5310

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

6267

$R$

Rohrradius

$m$

5417

Beziehung

Dieser Wert stellt die Zeit dar, die benötigt wird, um die Säule vollständig zu entleeren, und hängt von der anfänglichen Höhe ab.

ID:(14523, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Gleichung, die die Entwicklung der abfließenden viskosen Flüssigkeitssäule beschreibt, lautet:

Wir können diese Gleichung in Bezug auf die charakteristische Zeit umschreiben:

Nach der Integration erhalten wir:

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Bedingungen

Variablen

$h_0$

Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule

$m$

10085

$\tau_b$

Charakteristische Zeitsäule mit Bernoulli

$s$

10086

$h$

Höhe der Säule

$m$

5406

$t$

Zeit

$s$

5264

Beziehung

Entwicklung

Wenn in der Gleichung

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

die Konstanten durch

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$

deren Lösung lautet

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Dabei repräsentiert $h_0$ die anfängliche Höhe.

ID:(14524, 0)