Storyboard

Im Fall einer Flüssigkeitssäule kann das Bernoulli-Gesetz zusammen mit dem hydrostatischen Druckterm angewendet werden. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass bei Nichtberücksichtigung der Viskosität des Fluids die Reduzierung des Niveaus gleichmäßig erfolgt. In diesem Zusammenhang kann es mit der Kontinuitätsgleichung modelliert werden, um die Abwärtsgeschwindigkeit des Zylinders zu bestimmen.

Für eine Flüssigkeitssäule mit einem Auslass am Boden zeigt das Verhalten Ähnlichkeiten mit dem, was mit dem Bernoulli-Prinzip geschätzt wird. Unterschiede ergeben sich durch die Bildung kleiner Wirbel am Auslass, die effektiv den Auslassbereich verringern und den Fluss behindern. Der Fluss einer Flüssigkeit mit geringer Viskosität kann jedoch in der Zone ohne Wirbel mit dem Bernoulli-Prinzip modelliert werden.

>Modell

ID:(1427, 0)

Konzept

>Top

ID:(15487, 0)

Beschreibung

>Top

Wenn vier Säulen mit unterschiedlichen Querschnitten miteinander verbunden sind, nimmt die Flüssigkeit in allen Säulen das gleiche Niveau an. Wenn der verbindende Kanal geöffnet wird, beginnt die Flüssigkeit in Richtung der Öffnung zu fließen, wo der Druck dem Umgebungsdruck entspricht. In der ersten Säule ist der Druck gleich dem Druck der Wassersäule plus dem atmosphärischen Druck, daher ist die Differenz zum Druck am Ausgang der Druck der ersten Säule. Die Flüssigkeit beginnt an Geschwindigkeit zu gewinnen, während der dynamische Druck abnimmt, was sich in den immer kleiner werdenden Säulen zeigt.

ID:(11092, 0)

Beschreibung

>Top

Dies bedeutet, dass sich mit dem Abnehmen der Säule und der Verringerung der Höhe $h$ auch die Geschwindigkeit $v$ proportional verringert.

Die Schlüsselparameter sind:

• Innen-Durchmesser des Gefäßes: 93 mm

• Innen-Durchmesser des Evakuierungskanals: 3 mm

• Länge des Evakuierungskanals: 18 mm

Diese Parameter sind wichtig, um den Prozess des Säulenentleerens zu verstehen und zu analysieren, sowie wie sich die Austrittsgeschwindigkeit mit der Höhe ändert.

ID:(9870, 0)

Konzept

>Top

Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15490, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$e$

$e_1$

Energiedichte in 1

$J/m^3$

$v$

$v_1$

Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Energie innerhalb der strömenden Volumina erhalten bleibt, müssen die Energiedichte in 1 ($e_1$) und die Energiedichte in 2 ($e_2$) gleich sein:

$ e_1 = e_2 $

Bedingungen

Variablen

$e_1$

Energiedichte in 1

$J/m^3$

$e_2$

Energiedichte in 2

$J/m^3$

Beziehung

Dies ist nur möglich, wenn die Viskosität vernachlässigbar ist, da sie mit der Energieverteilung verbunden ist und keine Wirbel vorhanden sind, die selbst aufgrund unterschiedlicher tangentialer Geschwindigkeiten entlang des Wirbels einen Energieunterschied aufweisen.

ID:(15499, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e_2 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$e$

$e_2$

Energiedichte in 2

$J/m^3$

$v$

$v_2$

Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Da ein Fluid oder Gas ein Kontinuum ist, kann das Konzept der Energie nicht mehr mit einer spezifischen Masse verbunden werden. Es ist jedoch möglich, die Energie in einem Volumen des Kontinuums zu betrachten und durch Division durch das Volumen selbst erhalten wir die Energiedichte ($e$). Daher haben wir mit die Dichte ($\rho$), die Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio ($v$), die Höhe der Säule ($h$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Druck der Wassersäule ($p_t$):

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

$p$

Druck der Wassersäule

$Pa$

$e$

Energiedichte

$J/m^3$

$v$

Geschwindigkeit auf einer Zylinder-Radio

$m/s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

Höhe der Säule

$m$

Beziehung

Entwicklung

Eine weitere nützliche Gleichung ist diejenige, die der Energieerhaltung entspricht und in Fällen angewendet wird, in denen die Viskosität vernachlässigt werden kann, da sie einen Prozess darstellt, bei dem Energie verloren geht. Wenn wir die klassische Energiegleichung $E$ betrachten, die die kinetische Energie, die potenzielle Gravitationsenergie und eine äußere Kraft, die die Flüssigkeit über eine Strecke $\Delta z$ verschiebt, berücksichtigt, kann sie wie folgt ausgedrückt werden:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Wenn wir die Energie innerhalb eines Volumens $\Delta x\Delta y\Delta z$ betrachten, können wir die Masse ersetzen durch:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Und da der Druck gegeben ist durch:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

erhalten wir die Gleichung für die Energiedichte:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

was der Bernoulli-Gleichung entspricht.

In Abwesenheit von Viskosität impliziert die Erhaltung der Energie, dass die Energiedichte ($e$) an jedem Punkt des Fluids konstant ist. Daher reicht es aus, die Geschwindigkeit und/oder den Druck an jeder Stelle des Fluids zu kennen, um eine Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck an jedem Punkt des Fluids herzustellen.

ID:(3159, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Energie erhalten bleibt und das Medium ohne Verformung fließt, ergibt sich, dass die Dichte zwischen zwei Punkten gleich sein muss. Dadurch erhalten wir die bekannte Bernoulli-Gleichung:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Bedingungen

Variablen

$v_2$

Die mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 2

$m/s$

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$\rho$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

$v_1$

Mittlere Geschwindigkeit der Flüssigkeit in Punkt 1

$m/s$

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir annehmen, dass die Energie-Dichte erhalten bleibt, gilt für eine Zelle, in der die Durchschnittsgeschwindigkeit v, die Dichte \rho, der Druck p, die Höhe h und die Erdbeschleunigung g sind, folgendes:

$ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $

An Punkt 1 wird diese Gleichung der Gleichung an Punkt 2 entsprechen:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

wobei v_1, h_1 und p_1 die Geschwindigkeit, Höhe und Druck am Punkt 1 darstellen, und v_2, h_2 und p_2 die Geschwindigkeit, Höhe und Druck am Punkt 2 darstellen. Daher haben wir:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $

Es ist wichtig, folgende Annahmen zu beachten:

Die Energie bleibt erhalten, insbesondere wird die Abwesenheit von Viskosität angenommen.

Es gibt keine Verformung des Mediums, wodurch die Dichte konstant bleibt.

Es gibt keine Wirbelbildung (Vortizität), das heißt, es gibt keine Strudelbewegungen, die zu Zirkulation im Medium führen. Die Flüssigkeit muss ein laminarisches Verhalten aufweisen.

ID:(4504, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Höhe der Flüssigkeitssäule 1 ($h_1$) und die Höhe der Flüssigkeitssäule 2 ($h_2$) verbunden werden, entsteht eine die Höhendifferenz ($\Delta h$), die wie folgt berechnet wird:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

Bedingungen

Variablen

$h_1$

Höhe oder Tiefe 1

$m$

$h_2$

Höhe oder Tiefe 2

$m$

$\Delta h$

Höhen- oder Tiefenunterschied

$m$

Beziehung

die Höhendifferenz ($\Delta h$) erzeugt den Druckunterschied, der die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren Säule strömen lässt.

ID:(4251, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn zwei Flüssigkeitssäulen mit die Druck in Spalte 1 ($p_1$) und die Druck in Spalte 2 ($p_2$) verbunden werden, entsteht eine die Druckunterschied ($\Delta p$), die nach folgender Formel berechnet wird:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

Bedingungen

Variablen

$p_1$

Druck in Spalte 1

$Pa$

$p_2$

Druck in Spalte 2

$Pa$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

Beziehung

die Druckunterschied ($\Delta p$) repräsentiert den Druckunterschied, der dazu führt, dass die Flüssigkeit von der höheren Säule zur niedrigeren fließt.

ID:(4252, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Fläche die Abschnitt ($S$) eines Kreisscheibendurchmessers von ein Radius eines Kreises ($r$) wird wie folgt berechnet:

$ S_1 = \pi r_1 ^2$

$ S = \pi r ^2$

Bedingungen

Variablen

$S$

$S_1$

Abschnitt in Punkt 1

$m^2$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

$r_1$

Radius des Querschnitt 1

$m$

Beziehung

ID:(3804, 1)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Fläche die Abschnitt ($S$) eines Kreisscheibendurchmessers von ein Radius eines Kreises ($r$) wird wie folgt berechnet:

$ v_{max} = \pi r_2 ^2$

$ S = \pi r ^2$

Bedingungen

Variablen

$S$

$v_{max}$

Maximale Strömungsgeschwindigkeit durch einen Zylinder

$m^2$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$r$

$r_2$

Radius des Querschnitt 2

$m$

Beziehung

ID:(3804, 2)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Höhenunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden Säulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

Bedingungen

Variablen

$\rho_w$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$\Delta h$

Höhen- oder Tiefenunterschied

$m$

$\Delta p$

Variación de la Presión

$Pa$

Beziehung

Entwicklung

Wenn zwischen zwei Punkten die Druckunterschied ($\Delta p$) existiert, wie durch die Gleichung bestimmt:

$ \Delta p = p_2 - p_1 $

können wir die Druck der Wassersäule ($p_t$) verwenden, definiert als:

$ p = p_0 + \rho_w g h $

Dies ergibt:

$\Delta p=p_2-p_1=p_0+\rho_wh_2g-p_0-\rho_wh_1g=\rho_w(h_2-h_1)g$

Da die Höhendifferenz ($\Delta h$) wie folgt definiert ist:

$ \Delta h = h_2 - h_1 $

kann die Druckunterschied ($\Delta p$) wie folgt ausgedrückt werden:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

ID:(4345, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Kontinuität

führt dazu, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit pro Abschnitt multipliziert mit dem Abschnitt

konstant ist. Wenn daher das Produkt in den Punkten 1 und 2 verglichen wird, wird das erhalten

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Bedingungen

Variablen

$S_1$

Abschnitt in Punkt 1

$m^2$

$S_2$

Abschnitt in Punkt 2

$m^2$

$j_{s1}$

Flussdichte 1

$m^3/s$

$j_{s2}$

Flussdichte 2

$m^3/s$

Beziehung

ID:(4350, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für den Fall eines nicht viskosen Flüssigkeitsstroms im laminaren Zustand wird der Druckunterschied, der von der Säule erzeugt wird, durch folgende Gleichung beschrieben:

Dies führt zu einem Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr gemäß dem Bernoulli-Prinzip:

Unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit und des Radius des Rohrs können wir den Fluss berechnen, der durch das Gesetz der Kontinuität mit dem Fluss innerhalb der Säule in Beziehung steht. Dies wiederum ist mit der Änderung der Höhe $h$ verbunden, wie im folgenden beschrieben:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

Bedingungen

Variablen

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$h$

Höhe der Säule

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

$t$

Zeit

$s$

$R$

Zylinder Radio

$m$

Beziehung

Entwicklung

Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung können wir den Fall einer Wassersäule analysieren, die einen Druckunterschied erzeugt:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

und einen Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr verursacht, gemäß:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

Daher können wir die Geschwindigkeit wie folgt schätzen:

$v = \sqrt{2 g h}$

Diese Geschwindigkeit, durch einen Rohrabchnitt mit Radius $R$, führt zu einem Fluss:

$J = \pi R^2 v$

Wenn die Säule einen Querschnittsbereich $S$ hat und ihre Höhe im Vergleich zur Variation der Höhe $h$ im Laufe der Zeit $t$ abnimmt, können wir das Kontinuitätsgesetz anwenden, das besagt:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Daher ist die Gleichung, die diese Situation beschreibt:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

ID:(9882, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Gleichung für das Entleeren einer nicht viskosen Flüssigkeitssäule betrachten:

können wir die Konstanten in eine charakteristische Zeit-Einheit zusammenfassen:

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

Bedingungen

Variablen

$h_0$

Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule

$m$

$\tau_b$

Charakteristische Zeitsäule mit Bernoulli

$s$

$g$

Gravitationsbeschleunigung

9.8

$m/s^2$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$S$

Rohr Sektion

$m^2$

$R$

Zylinder Radio

$m$

Beziehung

Dieser Wert stellt die Zeit dar, die benötigt wird, um die Säule vollständig zu entleeren, und hängt von der anfänglichen Höhe ab.

ID:(14523, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Gleichung, die die Entwicklung der abfließenden viskosen Flüssigkeitssäule beschreibt, lautet:

Wir können diese Gleichung in Bezug auf die charakteristische Zeit umschreiben:

Nach der Integration erhalten wir:

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Bedingungen

Variablen

$h_0$

Anfangshöhe der Flüssigkeitssäule

$m$

$\tau_b$

Charakteristische Zeitsäule mit Bernoulli

$s$

$h$

Höhe der Säule

$m$

$t$

Zeit

$s$

Beziehung

Entwicklung

Wenn in der Gleichung

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

die Konstanten durch

$ \tau_b = \displaystyle\frac{S}{\pi R^2}\sqrt{\displaystyle\frac{h_0}{g}}$

ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_b} \sqrt{h_0 h}$

deren Lösung lautet

$ h = h_0\left(1-\displaystyle\frac{t}{\tau_b}\right)^2$

Dabei repräsentiert $h_0$ die anfängliche Höhe.

ID:(14524, 0)