mechanisms

Wenn man eine Höhe der Säule ($h$) Fl ssigkeit mit die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) unter dem Einfluss der Schwerkraft hat, wird mit die Gravitationsbeschleunigung ($g$) eine die Variación de la Presión ($\Delta p$) gem folgender Gleichung erzeugt:

equation=4345

Diese die Variación de la Presión ($\Delta p$) f hrt durch das Auslassrohr mit der Rohrlänge ($\Delta L$), der Rohrradius ($R$) und die Viskosität ($\eta$) zu einem Fluss von ein Volumenstrom 1 ($J_{V1}$) gem dem Hagen-Poiseuille-Gesetz:

equation=3178

Da diese Gleichung die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) enth lt, kann die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) berechnet werden mittels:

equation=4349

Damit erh lt man:

equation=11064

was einer mittleren Geschwindigkeit entspricht.

video

Um das System zu modellieren, sind die Schl sseldaten:

• Innendurchmesser des Beh lters: 93 mm

• Innendurchmesser des Abflusskanals: 3,2 mm

• L nge des Abflusskanals: 18 mm

Die anf ngliche Fl ssigkeitsh he betr gt 25 cm.

Betrachten wir das System eines zylindrischen Eimers mit einem Abflussloch. Wenn der Stopfen entfernt wird, beginnt das Wasser aufgrund des vorhandenen Drucks zu flie en. Gem dem Bernoulli-Prinzip ist die Geschwindigkeit im Inneren des Eimers ($v\sim 0$) null, und wir haben:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$

w hrend au erhalb des Eimers ($h=0$) nur die kinetische Komponente vorhanden ist:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Da beide Ausdr cke gleich sind, haben wir:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$

was zur Geschwindigkeit f hrt:

$v=\sqrt{2 g h}$

Um den Versuch mit der Theorie zu vergleichen, k nnen wir diesen Ausdruck verwenden, um mit:

equation=9882

die Reichweite zu berechnen, die der Strahl haben sollte. Wenn wir dies grafisch darstellen, beobachten wir:

image

wo:

• die roten Punkte den experimentellen Messungen entsprechen,

• die blauen Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,11 entsprechen,

• die transparenten Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,09 entsprechen.

Daher k nnen wir folgern, dass das Bernoulli-Modell die Geschwindigkeit, mit der der Eimer sich entleert, bersch tzt. Dies liegt daran, dass in der N he des Abflusslochs die Auswirkungen der Viskosit t nicht vernachl ssigbar sind und die Geschwindigkeit daher geringer ist.

Wenn das Tracker-Programm verwendet wird, k nnen die H he des Meniskus der S ule und die Reichweite des Strahls gemessen werden. Das Verh ltnis zwischen beiden wird im folgenden Diagramm dargestellt:

image

Die aufgezeichneten Daten, die als Excel-Tabelle unter folgendem Link heruntergeladen werden k nnen Excel-Tabelle, lauten wie folgt:

Hinweis: E ist wissenschaftliche Notation (zB. 1.2E+3 = 1.2x10^3 = 1200, y 1.2E-3 = 1.2x10^-3 = 0.0012)

model

Wenn wir ein Rohr mit einer die Rohr Sektion ($S$) haben, das eine Strecke von der Rohrelement ($\Delta s$) entlang seiner Achse bewegt hat, nachdem es der Volumenelement ($\Delta V$) verschoben wurde, dann ist es gleich:

kyon

Der Volumenstrom ($J_V$) entspricht der Volume Fließende ($\Delta V$), das durch den Kanal bei der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) flie t. Daher haben wir:

kyon

Die Flussdichte ($j_s$) steht in Beziehung zu die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), was die Strecke ist, die die Fl ssigkeit in der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) zur cklegt, wie folgt:

kyon

Eine Flussdichte ($j_s$) kann in Bezug auf der Volumenstrom ($J_V$) durch die Abschnitt oder Bereich ($S$) mit der folgenden Formel dargestellt werden:

kyon

Die Oberfläche einer Scheibe ($S$) von ein Scheibenradius ($r$) wird wie folgt berechnet:

kyon

Bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung bezogen auf einen ruhenden Punkt im Fluss wird festgestellt, dass die Strömungsgeschwindigkeit ($v_s$) sich auf die Druckunterschied ($\Delta p_s$) in Bezug auf den Druck an diesem Punkt bezieht. Mit die Dichte ($\rho$) wird folgendes beobachtet:

kyon

Der H henunterschied, dargestellt durch die Höhendifferenz ($\Delta h$), bedeutet, dass der Druck in beiden S ulen unterschiedlich ist. Insbesondere ist die Druckunterschied ($\Delta p$) eine Funktion von die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Höhendifferenz ($\Delta h$), wie folgt:

kyon

Das Kontinuit tsprinzip besagt, dass der Fluss am ersten Punkt, der gleich die Flussdichte 1 ($j_{s1}$) mal die Abschnitt in Punkt 1 ($S_1$) ist, dem Fluss am zweiten Punkt entsprechen muss, der durch die Flussdichte 2 ($j_{s2}$) mal die Abschnitt in Punkt 2 ($S_2$) gegeben ist. Daraus folgt:

kyon

F r den Fall eines nicht viskosen Fl ssigkeitsstroms im laminaren Zustand wird der Druckunterschied, der von der S ule erzeugt wird, durch folgende Gleichung beschrieben:

equation=4345

Dies f hrt zu einem Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr gem dem Bernoulli-Prinzip:

equation=4835

Unter Ber cksichtigung der Geschwindigkeit und des Radius des Rohrs k nnen wir den Fluss berechnen, der durch das Gesetz der Kontinuit t mit dem Fluss innerhalb der S ule in Beziehung steht. Dies wiederum ist mit der nderung der H he $h$ verbunden, wie im folgenden beschrieben:

kyon

Wenn wir die Gleichung f r das Entleeren einer nicht viskosen Fl ssigkeitss ule betrachten:

equation=9882

k nnen wir die Konstanten in eine charakteristische Zeit-Einheit zusammenfassen:

kyon

Dieser Wert stellt die Zeit dar, die ben tigt wird, um die S ule vollst ndig zu entleeren, und h ngt von der anf nglichen H he ab.

Die Gleichung, die die Entwicklung der abflie enden viskosen Fl ssigkeitss ule beschreibt, lautet:

equation=9882

Wir k nnen diese Gleichung in Bezug auf die charakteristische Zeit umschreiben:

equation=14523

Nach der Integration erhalten wir:

kyon

Dabei repr sentiert $h_0$ die anf ngliche H he.