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Onda longitudinal
Imagen 
En el caso de la onda longitudinal la deformación es en la dirección de la propagación:
Esto aplica ara sólidos pero también para líquidos y gases. En el ultimo caso no hablamos de tensión si no que de presión.
ID:(14184, 0)
Condiciones de borde
Imagen
La solución a la ecuación de onda
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
es de la forma
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
pero debe cumplir las condiciones de borde libre o fijo. En el caso de borde
- libre la onda se puede desplazar pero no tiene apoyo por lo que la tensión y con ello la deformación deben ser nulas.
- fijo la onda no se puede desplazar pero si puede generar tensión y con ello deformación
En forma gráfica se tiene
ID:(14186, 0)
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, luego, seleccione la variable: 
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ i k z = 0$
%i * k * z = 0
$ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$
c ^2 = E / rho
$ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$
lambda_a = 4 * L /(2* n_a + 1)
$ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$
lambda_s = 2* L / n_s
$ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $
nu_a = (2* n_a + 1) * c /(4 * L )
$ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $
nu_s = n_s * c /(2* L )
$ s = c t $
s = c * t
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ z = 0$
z = 0
$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$
z = z_0 * exp( %i *( k * s - omega * t ))
$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
@DIF( u , t , 2) = c ^2*@DIF( u , x , 2)
ID:(15582, 0)
Ley de Hooke en el limite continuo
Ecuación
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Esta función puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versión continua de la Ley de Hooke:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Esta función se puede expresar mediante la definición de la tensión ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
y la definición de la deformación ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
resultando en
| $ \sigma = E \epsilon $ |
ID:(8100, 0)
Velocidad del sonido
Ecuación
Si se analiza la ecuación de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
se descubre que una deformación general del tipo
$u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)$
por lo que se concluye que el factor
$\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}$
corresponde a la velocidad de propagación que llamamos la velocidad del sonido
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
ID:(14179, 0)
Ecuación de onda
Ecuación
La ecuación de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
con la relación
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
representa la ecuación de onda del solido
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
ID:(14180, 0)
Posición del máximo
Ecuación
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posición del máximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| $ s = c t $ |
ID:(12377, 0)
Solución general de la ecuación de onda
Ecuación
La solución general de la ecuación de onda
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
se puede escribir en el espacio complejo como
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
ID:(14187, 0)
Condición de borde fijo
Ecuación
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la solución
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| $ z = 0$ |
ID:(14189, 0)
Condición de borde libre
Ecuación
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensión por lo que no existe deformación ya que
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Como la deformación es igual a la derivada
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
se tiene que la derivada de
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| $ i k z = 0$ |
ID:(14188, 0)
Frecuencia longitudinal de la oscilación libre-libre y fijo-fijo
Ecuación
Como el largo de onda es
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
y la frecuencia es
| $ c = \lambda \nu $ |
se tiene que las frecuencias propia y sus armónicos son
| $ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $ |
ID:(14193, 0)
Frecuencia longitudinal de la oscilación para bordes libre-fijo y fijo-libre
Ecuación
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $ |
ID:(14194, 0)
Largo de onda libre-fijo y fijo-libre
Ecuación
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$ |
ID:(14192, 0)
Largo de onda libre-libre y fijo-fijo
Ecuación
En el caso de la oscilación con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un múltiplo de la mitad del largo
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
ID:(14191, 0)