Usuario: 
Onda longitudinal
Imagen 
En el caso de la onda longitudinal la deformación es en la dirección de la propagación:
Esto aplica ara sólidos pero también para líquidos y gases. En el ultimo caso no hablamos de tensión si no que de presión.
ID:(14184, 0)
Condiciones de borde
Imagen
La solución a la ecuación de onda
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
es de la forma
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
pero debe cumplir las condiciones de borde libre o fijo. En el caso de borde
- libre la onda se puede desplazar pero no tiene apoyo por lo que la tensión y con ello la deformación deben ser nulas.
- fijo la onda no se puede desplazar pero si puede generar tensión y con ello deformación
En forma gráfica se tiene
ID:(14186, 0)
Modelo
Top
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
i k z = 0
%i * k * z = 0
c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }
c ^2 = E / rho
\lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}
lambda_a = 4 * L /(2* n_a + 1)
\lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }
lambda_s = 2* L / n_s
\nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c
nu_a = (2* n_a + 1) * c /(4 * L )
\nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c
nu_s = n_s * c /(2* L )
s = c t
s = c * t
\sigma = E \epsilon
sigma = E * epsilon
z = 0
z = 0
z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}
z = z_0 * exp( %i *( k * s - omega * t ))
\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
@DIF( u , t , 2) = c ^2*@DIF( u , x , 2)
ID:(15582, 0)
Ley de Hooke en el limite continuo
Ecuación
La fuerza elástica (F_k) es una función que depende de el módulo de Elasticidad (E), la sección del elemento (S), la elongación (u) y el largo del cuerpo (L).
| F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u |
Esta función puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión (\sigma) y la deformación (\epsilon), lo que nos lleva a la versión continua de la Ley de Hooke:
| \sigma = E \epsilon |
La fuerza elástica (F_k) es una función que depende de el módulo de Elasticidad (E), la sección del elemento (S), la elongación (u) y el largo del cuerpo (L).
| F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u |
Esta función se puede expresar mediante la definición de la tensión (\sigma)
| \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S } |
y la definición de la deformación (\epsilon)
| \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L } |
resultando en
| \sigma = E \epsilon |
ID:(8100, 0)
Velocidad del sonido
Ecuación
Si se analiza la ecuación de movimiento
| \displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} |
se descubre que una deformación general del tipo
u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)
por lo que se concluye que el factor
\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}
corresponde a la velocidad de propagación que llamamos la velocidad del sonido
| c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho } |
ID:(14179, 0)
Ecuación de onda
Ecuación
La ecuación de movimiento
| \displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} |
con la relación
| c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho } |
representa la ecuación de onda del solido
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
ID:(14180, 0)
Posición del máximo
Ecuación
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posición del máximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| s = c t |
ID:(12377, 0)
Solución general de la ecuación de onda
Ecuación
La solución general de la ecuación de onda
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
se puede escribir en el espacio complejo como
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
ID:(14187, 0)
Condición de borde fijo
Ecuación
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la solución
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| z = 0 |
ID:(14189, 0)
Condición de borde libre
Ecuación
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensión por lo que no existe deformación ya que
| \sigma = E \epsilon |
Como la deformación es igual a la derivada
| \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i } |
se tiene que la derivada de
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| i k z = 0 |
ID:(14188, 0)
Frecuencia longitudinal de la oscilación libre-libre y fijo-fijo
Ecuación
Como el largo de onda es
| \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s } |
y la frecuencia es
| c = \lambda \nu |
se tiene que las frecuencias propia y sus armónicos son
| \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c |
ID:(14193, 0)
Frecuencia longitudinal de la oscilación para bordes libre-fijo y fijo-libre
Ecuación
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c |
ID:(14194, 0)
Largo de onda libre-fijo y fijo-libre
Ecuación
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1} |
ID:(14192, 0)
Largo de onda libre-libre y fijo-fijo
Ecuación
En el caso de la oscilación con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un múltiplo de la mitad del largo
| \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s } |
ID:(14191, 0)