(ID 15573)

En el caso de la onda longitudinal la deformaci n es en la direcci n de la propagaci n:

Esto aplica ara s lidos pero tambi n para l quidos y gases. En el ultimo caso no hablamos de tensi n si no que de presi n.

(ID 14184)

La soluci n a la ecuaci n de onda

$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

es de la forma

$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$

pero debe cumplir las condiciones de borde libre o fijo. En el caso de borde

- libre la onda se puede desplazar pero no tiene apoyo por lo que la tensi n y con ello la deformaci n deben ser nulas.
- fijo la onda no se puede desplazar pero si puede generar tensi n y con ello deformaci n

En forma gr fica se tiene

(ID 14186)

(ID 15582)

La fuerza elástica ($F_k$) es una funci n que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).

$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $

Esta funci n puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versi n continua de la Ley de Hooke:

$ \sigma = E \epsilon $

(ID 8100)

Si se analiza la ecuaci n de movimiento

$\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$

se descubre que una deformaci n general del tipo

$u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)$

por lo que se concluye que el factor

$\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}$

corresponde a la velocidad de propagaci n que llamamos la velocidad del sonido

$ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$

(ID 14179)

La ecuaci n de movimiento

$\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$

con la relaci n

$ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$

representa la ecuaci n de onda del solido

$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

(ID 14180)

Como la onda viaja a una velocidad constante, la posici n del m ximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser

$ s = c t $

(ID 12377)

La soluci n general de la ecuaci n de onda

$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

se puede escribir en el espacio complejo como

$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$

(ID 14187)

En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la soluci n

$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$

debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es

$ z = 0$

(ID 14189)

En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensi n por lo que no existe deformaci n ya que

$ \sigma = E \epsilon $

Como la deformaci n es igual a la derivada

$ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$

se tiene que la derivada de

$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$

para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es

$ i k z = 0$

(ID 14188)

Como el largo de onda es

$ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$

y la frecuencia es

$ c = \lambda \nu $

se tiene que las frecuencias propia y sus arm nicos son

$ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $

(ID 14193)

En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad L de la cavidad. Para arm nicos superiores

$ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $

(ID 14194)

En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad L de la cavidad. Para arm nicos superiores

$ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$

(ID 14192)

En el caso de la oscilaci n con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un m ltiplo de la mitad del largo L de la cavidad, es decir

$ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$

(ID 14191)