User: 
Longitudinal wave
Image 
In the case of the longitudinal wave, the deformation is in the direction of propagation:
This applies to solids but also to liquids and gases. In the latter case we are not talking about tension but about pressure.
ID:(14184, 0)
Boundary conditions
Image
The solution to the wave equation
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
is of the form
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
but it must satisfy the conditions of free or fixed edge. In the edge case
- free wave can move but has no support so the stress and thus the deformation must be zero.
- fixed the wave cannot move but it can generate tension and with it deformation
Graphically, we have
ID:(14186, 0)
Model
Top
Parameters
Variables
Calculations
to 
, then, select the variable: 
to 
Calculations
Calculations
Variable 
Given Calculate 
Target : Equation To be used 
Equations
i k z = 0
%i * k * z = 0
c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }
c ^2 = E / rho
\lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}
lambda_a = 4 * L /(2* n_a + 1)
\lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }
lambda_s = 2* L / n_s
\nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c
nu_a = (2* n_a + 1) * c /(4 * L )
\nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c
nu_s = n_s * c /(2* L )
s = c t
s = c * t
\sigma = E \epsilon
sigma = E * epsilon
z = 0
z = 0
z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}
z = z_0 * exp( %i *( k * s - omega * t ))
\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
@DIF( u , t , 2) = c ^2*@DIF( u , x , 2)
ID:(15582, 0)
Hooke's law in the continuous limit
Equation
The elastic Force (F_k) is a function that depends on the modulus of Elasticity (E), the body Section (S), the elongation (u), and the body length (L).
| F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u |
This function can be rewritten using the definitions of the strain (\sigma) and the deformation (\epsilon), resulting in the continuous version of Hooke's Law:
| \sigma = E \epsilon |
The elastic Force (F_k) is a function that depends on the modulus of Elasticity (E), the body Section (S), the elongation (u), and the body length (L).
| F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u |
This function can be expressed using the definition of the strain (\sigma)
| \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S } |
and the definition of the deformation (\epsilon)
| \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L } |
resulting in
| \sigma = E \epsilon |
ID:(8100, 0)
Speed of sound
Equation
Si se analiza la ecuación de movimiento
| \displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} |
se descubre que una deformación general del tipo
u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)
por lo que se concluye que el factor
\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}
corresponde a la velocidad de propagación que llamamos la velocidad del sonido
| c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho } |
ID:(14179, 0)
Wave equation
Equation
La ecuación de movimiento
| \displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2} |
con la relación
| c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho } |
representa la ecuación de onda del solido
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
ID:(14180, 0)
Posición del máximo
Equation
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posición del máximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| s = c t |
ID:(12377, 0)
General solution of the wave equation
Equation
The general solution of the wave equation
| \displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} |
can be written in the complex space as
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
ID:(14187, 0)
Fixed edge condition
Equation
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la solución
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| z = 0 |
ID:(14189, 0)
Free edge condition
Equation
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensión por lo que no existe deformación ya que
| \sigma = E \epsilon |
Como la deformación es igual a la derivada
| \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i } |
se tiene que la derivada de
| z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )} |
para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| i k z = 0 |
ID:(14188, 0)
Longitudinal frequency of free-free and fixed-fixed oscillation
Equation
Como el largo de onda es
| \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s } |
y la frecuencia es
| c = \lambda \nu |
se tiene que las frecuencias propia y sus armónicos son
| \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c |
ID:(14193, 0)
Longitudinal frequency of oscillation for free-fixed and fixed-free edges
Equation
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c |
ID:(14194, 0)
Free-fixed and fixed-free wave length
Equation
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1} |
ID:(14192, 0)
Free-free and fixed-fixed wave length
Equation
En el caso de la oscilación con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un múltiplo de la mitad del largo
| \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s } |
ID:(14191, 0)