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Longitudinal wave
Image 
In the case of the longitudinal wave, the deformation is in the direction of propagation:
This applies to solids but also to liquids and gases. In the latter case we are not talking about tension but about pressure.
ID:(14184, 0)
Boundary conditions
Image
The solution to the wave equation
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
is of the form
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
but it must satisfy the conditions of free or fixed edge. In the edge case
- free wave can move but has no support so the stress and thus the deformation must be zero.
- fixed the wave cannot move but it can generate tension and with it deformation
Graphically, we have
ID:(14186, 0)
Model
Top
Parameters
Variables
Calculations
to 
, then, select the variable: 
to 
Calculations
Calculations
Variable 
Given Calculate 
Target : Equation To be used 
Equations
$ i k z = 0$
%i * k * z = 0
$ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$
c ^2 = E / rho
$ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$
lambda_a = 4 * L /(2* n_a + 1)
$ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$
lambda_s = 2* L / n_s
$ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $
nu_a = (2* n_a + 1) * c /(4 * L )
$ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $
nu_s = n_s * c /(2* L )
$ s = c t $
s = c * t
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ z = 0$
z = 0
$ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$
z = z_0 * exp( %i *( k * s - omega * t ))
$\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$
@DIF( u , t , 2) = c ^2*@DIF( u , x , 2)
ID:(15582, 0)
Hooke's law in the continuous limit
Equation
The elastic Force ($F_k$) is a function that depends on the modulus of Elasticity ($E$), the body Section ($S$), the elongation ($u$), and the body length ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
This function can be rewritten using the definitions of the strain ($\sigma$) and the deformation ($\epsilon$), resulting in the continuous version of Hooke's Law:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
The elastic Force ($F_k$) is a function that depends on the modulus of Elasticity ($E$), the body Section ($S$), the elongation ($u$), and the body length ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
This function can be expressed using the definition of the strain ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
and the definition of the deformation ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
resulting in
| $ \sigma = E \epsilon $ |
ID:(8100, 0)
Speed of sound
Equation
Si se analiza la ecuación de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
se descubre que una deformación general del tipo
$u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)$
por lo que se concluye que el factor
$\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}$
corresponde a la velocidad de propagación que llamamos la velocidad del sonido
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
ID:(14179, 0)
Wave equation
Equation
La ecuación de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
con la relación
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
representa la ecuación de onda del solido
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
ID:(14180, 0)
Posición del máximo
Equation
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posición del máximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| $ s = c t $ |
ID:(12377, 0)
General solution of the wave equation
Equation
The general solution of the wave equation
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
can be written in the complex space as
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
ID:(14187, 0)
Fixed edge condition
Equation
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la solución
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| $ z = 0$ |
ID:(14189, 0)
Free edge condition
Equation
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensión por lo que no existe deformación ya que
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Como la deformación es igual a la derivada
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
se tiene que la derivada de
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
para todo tiempo y en la coordenadas en que está el borde debe ser nula. Esto es
| $ i k z = 0$ |
ID:(14188, 0)
Longitudinal frequency of free-free and fixed-fixed oscillation
Equation
Como el largo de onda es
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
y la frecuencia es
| $ c = \lambda \nu $ |
se tiene que las frecuencias propia y sus armónicos son
| $ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $ |
ID:(14193, 0)
Longitudinal frequency of oscillation for free-fixed and fixed-free edges
Equation
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $ |
ID:(14194, 0)
Free-fixed and fixed-free wave length
Equation
En el caso de la oscilación con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$ |
ID:(14192, 0)
Free-free and fixed-fixed wave length
Equation
En el caso de la oscilación con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un múltiplo de la mitad del largo
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
ID:(14191, 0)