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Longitudinal wave
Description
In the case of the longitudinal wave, the deformation is in the direction of propagation:
This applies to solids but also to liquids and gases. In the latter case we are not talking about tension but about pressure.
ID:(14184, 0)
Boundary conditions
Description
The solution to the wave equation
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
is of the form
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
but it must satisfy the conditions of free or fixed edge. In the edge case
- free wave can move but has no support so the stress and thus the deformation must be zero.
- fixed the wave cannot move but it can generate tension and with it deformation
Graphically, we have
ID:(14186, 0)
Longitudinal waves
Description
Variables
Calculations
to 
,
then, select the variable: 
to 
Calculations
Variable
Given
Calculate
Target :
Equation
To be used
Equations
The elastic Force ($F_k$) is a function that depends on the modulus of Elasticity ($E$), the body Section ($S$), the elongation ($u$), and the body length ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
This function can be expressed using the definition of the strain ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
and the definition of the deformation ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
resulting in
| $ \sigma = E \epsilon $ |
(ID 8100)
(ID 12377)
(ID 14188)
(ID 14189)
Examples
(ID 15573)
In the case of the longitudinal wave, the deformation is in the direction of propagation:
This applies to solids but also to liquids and gases. In the latter case we are not talking about tension but about pressure.
(ID 14184)
The solution to the wave equation
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
is of the form
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
but it must satisfy the conditions of free or fixed edge. In the edge case
- free wave can move but has no support so the stress and thus the deformation must be zero.
- fixed the wave cannot move but it can generate tension and with it deformation
Graphically, we have
(ID 14186)
(ID 15582)
The elastic Force ($F_k$) is a function that depends on the modulus of Elasticity ($E$), the body Section ($S$), the elongation ($u$), and the body length ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
This function can be rewritten using the definitions of the strain ($\sigma$) and the deformation ($\epsilon$), resulting in the continuous version of Hooke's Law:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
(ID 8100)
Si se analiza la ecuaci n de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
se descubre que una deformaci n general del tipo
$u = f(x - \sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}t)$
por lo que se concluye que el factor
$\sqrt{\displaystyle\frac{E}{\rho}}$
corresponde a la velocidad de propagaci n que llamamos la velocidad del sonido
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
(ID 14179)
La ecuaci n de movimiento
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}=\displaystyle\frac{ E }{ \rho }\displaystyle\frac{\partial^2 u_i}{\partial x^2}$ |
con la relaci n
| $ c ^2 = \displaystyle\frac{ E }{ \rho }$ |
representa la ecuaci n de onda del solido
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
(ID 14180)
Como la onda viaja a una velocidad constante, la posici n del m ximo se puede calcular directamente de esta y el tiempo transcurrido. Por ello con debe ser
| $ s = c t $ |
(ID 12377)
The general solution of the wave equation
| $\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}= c ^2\displaystyle\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ |
can be written in the complex space as
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
(ID 14187)
En el caso de borde fijo el sistema no se puede desplazar por lo que la soluci n
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
debe ser para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es
| $ z = 0$ |
(ID 14189)
En el caso de borde libre el sistema no puede generar tensi n por lo que no existe deformaci n ya que
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Como la deformaci n es igual a la derivada
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
se tiene que la derivada de
| $ z = z_0 e^{ i( k s - \omega t )}$ |
para todo tiempo y en la coordenadas en que est el borde debe ser nula. Esto es
| $ i k z = 0$ |
(ID 14188)
Como el largo de onda es
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
y la frecuencia es
| $ c = \lambda \nu $ |
se tiene que las frecuencias propia y sus arm nicos son
| $ \nu_s = \displaystyle\frac{ n_s }{2 L } c $ |
(ID 14193)
En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \nu_a = \displaystyle\frac{2 n_a + 1}{4 L } c $ |
(ID 14194)
En el caso de la oscilaci n con bordes libres y fijo o fijos y libre se tiene que el largo de onda debe ser igual a cuatro veces el largo de la cavidad
| $ \lambda_a = \displaystyle\frac{4 L }{2 n_a + 1}$ |
(ID 14192)
En el caso de la oscilaci n con ambos bordes libres o ambos fijos se tiene que el largo de onda debe ser un m ltiplo de la mitad del largo
| $ \lambda_s = \displaystyle\frac{2 L }{ n_s }$ |
(ID 14191)
ID:(1885, 0)