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Flexão elástica

Storyboard

Quando um torque é aplicado a um corpo, ele pode ser curvado ou flexionado. A forma como isso ocorre depende tanto da geometria do corpo quanto da maneira como o torque é aplicado. Além disso, é possível estimar a energia elástica absorvida pelo corpo com base na deformação que ele sofre.

>Modelo

ID:(2062, 0)

Mecanismos

Iframe

>Top

Conhecimento

Código

Conceito

Mecanismos

ID:(15570, 0)

Dobrar um elemento

Conceito

>Top

ID:(15884, 0)

Forças num elemento de volume

Conceito

>Top

Em geral, o binário na viga ( $M_y$ ) deve ser aplicado em ambos os extremos para gerar a flexão:

A diferença entre ambos os torques é igual ao torque gerado por la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ), com um intervalo correspondente à variação de la posição ao longo da viga ( $x$ ):

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

Por sua vez, la força axial na viga ( $N_x$ ) pode variar ao longo do eixo:

Essa variação corresponde a la força axial longa na viga ( $n$ ) ao longo do eixo:

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

Finalmente, la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) varia em função de la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ), o que pode corresponder ao peso próprio da viga:

Assim, a variação de la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) ao longo de la posição ao longo da viga ( $x$ ) corresponde a la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ) da seguinte forma:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

Ao combinar a primeira e a última equação, obtemos a equação de deformação:

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

ID:(15885, 0)

Condição ao longo da viga

Conceito

>Top

ID:(15886, 0)

Condição limite

Conceito

>Top

ID:(15887, 0)

Modelo

Top

>Top

Parâmetros

Símbolo

Texto

Variáve

Valor

Unidades

Calcular

Valeur MKS

Unidades MKS

$E$

Módulo de Elasticidade

$I_b$

I_b

Momento de inércia da secção

m^4

Variáveis

Símbolo

Texto

Variáve

Valor

Unidades

Calcular

Valeur MKS

Unidades MKS

$M_y$

M_y

Binário na viga

N m

$q_z$

q_z

Carga por comprimento na viga

N/m

$u_z$

u_z

Deslocamento z

$n$

Força axial longa na viga

N/m

$N_x$

N_x

Força axial na viga

$Q_z$

Q_z

Força vertical no eixo da viga

$x$

Posição ao longo da viga

$z$

Posição em altura na viga

$y$

Posição em largura na viga

Cálculos

Equação

Primeiro, selecione a equação:

para

, depois, selecione a variável:

para

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve

Dado

Calcular

Objetivo :

Equação

A ser usado

Equações

Equação

$E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z$

E * I_b * DIFF( u_z , x , 4 ) = q_z

$I_b =\displaystyle\int dz dy z^2$

I_b = @INT2( z ^2 , y , z )

$M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$

M_y = - E * I_b * @DIF( u_z , x , 2)

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

@DIFF( M_y , x ) = Q_z

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

@DIFF( M_y , x , 2 ) = q

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

@DIFF( N_x , x ) = - n

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

@DIFF( Q_z , x ) = - q_z

ID:(15571, 0)

Equilíbrio de força vertical

Equação

>Top, >Modelo

La carga por comprimento na viga ( $q_z$ ) pode ser calculado com base em como la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) varia ao longo de la posição ao longo da viga ( $x$ ), portanto:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

$q$

Carga por comprimento na viga

$N/m$

10432

$Q$

Força vertical no eixo da viga

$N$

10434

$x$

Posição ao longo da viga

$m$

10433

Se observarmos como la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) varia em função de la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ) sobre um elemento de la posição ao longo da viga ( $x$ ), temos:

$Q - qdx - (Q + dQ) = 0$

portanto:

$-qdx - dQ = 0$

o que nos leva a:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

ID:(15888, 0)

Equilíbrio de força axial

Equação

>Top, >Modelo

La força axial longa na viga ( $n$ ) pode ser calculado com base em como la força axial na viga ( $N_x$ ) varia ao longo de la posição ao longo da viga ( $x$ ), portanto:

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

$n$

Força axial longa na viga

$N/m$

10437

$N$

Força axial na viga

$N$

10436

$x$

Posição ao longo da viga

$m$

10433

Se observarmos como la força axial na viga ( $N_x$ ) varia em função de la força axial longa na viga ( $n$ ) sobre um elemento de la posição ao longo da viga ( $x$ ), obtemos:

$N - ndx - (N + dN) = 0$

portanto:

$-ndx - dN = 0$

o que nos leva a:

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

ID:(15891, 0)

Equilíbrio de binário

Equação

>Top, >Modelo

La força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) pode ser calculado com base em como o binário na viga ( $M_y$ ) varia ao longo de la posição ao longo da viga ( $x$ ), portanto:

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

$M$

Binário na viga

$N m$

10435

$Q$

Força vertical no eixo da viga

$N$

10434

$x$

Posição ao longo da viga

$m$

10433

A variação de o binário na viga ( $M_y$ ) ao longo de la posição ao longo da viga ( $x$ ) é da ordem do braço do comprimento do elemento la posição ao longo da viga ( $x$ ) multiplicado por la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ), portanto:

$-M - Qdx + (M + dM) = 0$

o que implica:

$-Qdx + dM = 0$

ou seja:

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

ID:(15889, 0)

Equação de binário e carga

Equação

>Top, >Modelo

A curvatura de o binário na viga ( $M_y$ ) em la posição ao longo da viga ( $x$ ) é igual a menos la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ):

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

$M$

Binário na viga

$N m$

10435

$q$

Carga por comprimento na viga

$N/m$

10432

$x$

Posição ao longo da viga

$m$

10433

Como a derivada de o binário na viga ( $M_y$ ) em relação a la posição ao longo da viga ( $x$ ) resulta em la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ):

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

e a derivada de la força vertical no eixo da viga ( $Q_z$ ) é igual a menos la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ):

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

a derivada da primeira nos leva a:

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

ID:(15890, 0)

Momento de inércia

Equação

>Top, >Modelo

O momento de inércia da secção ( $I_b$ ) de uma seção de uma barra é calculado integrando sobre a seção no plano la posição em largura na viga ( $y$ ) e la posição em altura na viga ( $z$ ):

$I_b =\displaystyle\int dz dy z^2$

$I_b$

Momento de inércia da secção

$m^4$

10026

$z$

Posição em altura na viga

$m$

10438

$y$

Posição em largura na viga

$m$

10439

ID:(15881, 0)

Momento fletor

Equação

>Top, >Modelo

ID:(14195, 0)

Equação de deformação

Equação

>Top, >Modelo

Com a equação de o binário na viga ( $M_y$ ) em função de la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ) e la posição ao longo da viga ( $x$ ), e a equação para a flexão envolvendo o módulo de Elasticidade ( $E$ ), o momento de inércia da secção ( $I_b$ ) e o deslocamento z ( $u_z$ ), temos que:

$E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z$

$q_z$

Carga por comprimento na viga

$N/m$

10432

$u_z$

Deslocamento z

$m$

10440

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$I_b$

Momento de inércia da secção

$m^4$

10026

$x$

Posição ao longo da viga

$m$

10433

Com o binário na viga ( $M_y$ ), la carga por comprimento na viga ( $q_z$ ) e la posição ao longo da viga ( $x$ ), estabelece-se a equação do torque:

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

que, juntamente com a equação de deslocamento envolvendo o módulo de Elasticidade ( $E$ ), o momento de inércia da secção ( $I_b$ ) e o deslocamento z ( $u_z$ ):

$M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$

nos leva a:

$E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z$

ID:(15892, 0)