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Wenn ein Drehmoment auf einen Körper angewendet wird, kann er sich biegen oder verformen. Die Art und Weise, wie dies geschieht, hängt sowohl von der Geometrie des Körpers als auch von der Art und Weise ab, wie das Drehmoment angewendet wird. Darüber hinaus ist es möglich, die elastische Energie abzuschätzen, die der Körper in Abhängigkeit von der erlittenen Verformung aufnimmt.

>Modell

ID:(2062, 0)

Iframe

>Top

ID:(15570, 0)

Konzept

>Top

ID:(15884, 0)

Konzept

>Top

Im Allgemeinen muss der Drehmoment am Balken ($M_y$) an beiden Enden angewendet werden, um die Biegung zu erzeugen:

Der Unterschied zwischen beiden Momenten entspricht dem Moment, das durch die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) erzeugt wird, mit einem Intervall, das der Variation von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) entspricht:

die Axialkraft im Balken ($N_x$) kann sich wiederum entlang der Achse ändern:

Diese Änderung entspricht die Lange Axialkraft im Balken ($n$) entlang der Achse:

Schließlich variiert die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$), was dem Eigengewicht des Trägers entsprechen kann:

Somit entspricht die Änderung von die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) Die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$), wie folgt:

Durch die Kombination der ersten und der letzten Gleichung erhält man die Deformationsgleichung:

ID:(15885, 0)

Konzept

>Top

ID:(15886, 0)

Konzept

>Top

ID:(15887, 0)

Top

>Top

Parameter

$E$

E

Elastizitätsmodul

Pa

$I_b$

I_b

Trägheitsmoment des Abschnitts

m^4

Variablen

$N_x$

N_x

Axialkraft im Balken

N

$q_z$

q_z

Belastung pro Länge des Trägers

N/m

$M_y$

M_y

Drehmoment am Balken

N m

$x$

x

Entlang des Balkens positionieren

m

$y$

y

In der Breite auf dem Balken positionieren

m

$z$

z

In der Höhe auf dem Balken positionieren

m

$n$

n

Lange Axialkraft im Balken

N/m

$u_z$

u_z

Verschiebung in z

m

$Q_z$

Q_z

Vertikale Kraft zur Balkenachse

N

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15571, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) kann berechnet werden, basierend darauf, wie die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert. Daher:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

Bedingungen

Variablen

$q$

Belastung pro Länge des Trägers

$N/m$

10432

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

$Q$

Vertikale Kraft zur Balkenachse

$N$

10434

Beziehung

Entwicklung

Wenn man betrachtet, wie die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) über ein Element von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, erhält man:

$Q - qdx - (Q + dQ) = 0$

daraus folgt:

$-qdx - dQ = 0$

was zu folgender Gleichung führt:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

ID:(15888, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Lange Axialkraft im Balken ($n$) kann berechnet werden, basierend darauf, wie die Axialkraft im Balken ($N_x$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert. Daher:

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

Bedingungen

Variablen

$N$

Axialkraft im Balken

$N$

10436

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

$n$

Lange Axialkraft im Balken

$N/m$

10437

Beziehung

Entwicklung

Wenn man betrachtet, wie die Axialkraft im Balken ($N_x$) in Abhängigkeit von die Lange Axialkraft im Balken ($n$) über ein Element von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, erhält man:

$N - ndx - (N + dN) = 0$

daraus folgt:

$-ndx - dN = 0$

was uns zu folgendem führt:

$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n$

ID:(15891, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) kann basierend darauf berechnet werden, wie der Drehmoment am Balken ($M_y$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, daher:

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

Bedingungen

Variablen

$M$

Drehmoment am Balken

$N m$

10435

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

$Q$

Vertikale Kraft zur Balkenachse

$N$

10434

Beziehung

Entwicklung

Die Variation von der Drehmoment am Balken ($M_y$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) ist in der Größenordnung des Hebelarms der Länge des Elements die Entlang des Balkens positionieren ($x$) multipliziert mit die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$), daher:

$-M - Qdx + (M + dM) = 0$

was impliziert:

$-Qdx + dM = 0$

das heißt:

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

ID:(15889, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Krümmung von der Drehmoment am Balken ($M_y$) in die Entlang des Balkens positionieren ($x$) ist gleich minus die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$):

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

Bedingungen

Variablen

$q$

Belastung pro Länge des Trägers

$N/m$

10432

$M$

Drehmoment am Balken

$N m$

10435

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

Beziehung

Entwicklung

Da die Ableitung von der Drehmoment am Balken ($M_y$) nach die Entlang des Balkens positionieren ($x$) Die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) ergibt:

$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z$

und die Ableitung von die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) gleich minus die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) ist:

$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z$

führt uns die Ableitung der ersten zu:

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

ID:(15890, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) für einen Querschnitt einer Stange wird berechnet, indem über den Querschnitt in der Ebene die In der Breite auf dem Balken positionieren ($y$) und die In der Höhe auf dem Balken positionieren ($z$) integriert wird:

$I_b =\displaystyle\int dz dy z^2$

Bedingungen

Variablen

$y$

In der Breite auf dem Balken positionieren

$m$

10439

$z$

In der Höhe auf dem Balken positionieren

$m$

10438

$I_b$

Trägheitsmoment des Abschnitts

0

$m^4$

10026

Beziehung

ID:(15881, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

El momento de flexión se calcula sumando todas las fuerzas que genera el sólido en la sección multiplicado por la distancia de esta al eje en que rota la sección. La suma de estos genera el momento de tensión que tiene la forma

$M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$

Bedingungen

Variablen

$M_y$

Drehmoment am Balken

$N m$

10435

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

$I_b$

Trägheitsmoment des Abschnitts

0

$m^4$

10026

$u_z$

Verschiebung in z

$m$

10440

Beziehung

ID:(14195, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Mit der Gleichung für der Drehmoment am Balken ($M_y$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) und die Entlang des Balkens positionieren ($x$) sowie der Gleichung für die Biegung unter Einbeziehung von der Elastizitätsmodul ($E$), der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) und der Verschiebung in z ($u_z$) ergibt sich:

$E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z$

Bedingungen

Variablen

$q_z$

Belastung pro Länge des Trägers

$N/m$

10432

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$x$

Entlang des Balkens positionieren

$m$

10433

$I_b$

Trägheitsmoment des Abschnitts

0

$m^4$

10026

$u_z$

Verschiebung in z

$m$

10440

Beziehung

Entwicklung

Mit der Drehmoment am Balken ($M_y$), die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) und die Entlang des Balkens positionieren ($x$) wird die Gleichung für das Drehmoment aufgestellt:

$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q$

welche in Kombination mit der Verschiebungsgleichung, die der Elastizitätsmodul ($E$), der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) und der Verschiebung in z ($u_z$) einbezieht:

$M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$

zu folgendem führt:

$E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z$

ID:(15892, 0)