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Elastische Beugung
Storyboard 
Wenn ein Drehmoment auf einen Körper angewendet wird, kann er sich biegen oder verformen. Die Art und Weise, wie dies geschieht, hängt sowohl von der Geometrie des Körpers als auch von der Art und Weise ab, wie das Drehmoment angewendet wird. Darüber hinaus ist es möglich, die elastische Energie abzuschätzen, die der Körper in Abhängigkeit von der erlittenen Verformung aufnimmt.
ID:(2062, 0)
Kräfte auf ein Volumenelement
Konzept
Im Allgemeinen muss der Drehmoment am Balken ($M_y$) an beiden Enden angewendet werden, um die Biegung zu erzeugen:
Der Unterschied zwischen beiden Momenten entspricht dem Moment, das durch die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) erzeugt wird, mit einem Intervall, das der Variation von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) entspricht:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
die Axialkraft im Balken ($N_x$) kann sich wiederum entlang der Achse ändern:
Diese Änderung entspricht die Lange Axialkraft im Balken ($n$) entlang der Achse:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Schließlich variiert die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$), was dem Eigengewicht des Trägers entsprechen kann:
Somit entspricht die Änderung von die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) Die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$), wie folgt:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
Durch die Kombination der ersten und der letzten Gleichung erhält man die Deformationsgleichung:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15885, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $
E * I_b * DIFF( u_z , x , 4 ) = q_z
$ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $
I_b = @INT2( z ^2 , y , z )
$ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$
M_y = - E * I_b * @DIF( u_z , x , 2)
$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $
@DIFF( M_y , x ) = Q_z
$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $
@DIFF( M_y , x , 2 ) = q
$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $
@DIFF( N_x , x ) = - n
$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $
@DIFF( Q_z , x ) = - q_z
ID:(15571, 0)
Vertikales Kräftegleichgewicht
Gleichung
Die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) kann berechnet werden, basierend darauf, wie die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert. Daher:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
Wenn man betrachtet, wie die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) über ein Element von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, erhält man:
$Q - qdx - (Q + dQ) = 0$
daraus folgt:
$-qdx - dQ = 0$
was zu folgender Gleichung führt:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
ID:(15888, 0)
Axialkraftausgleich
Gleichung
Die Lange Axialkraft im Balken ($n$) kann berechnet werden, basierend darauf, wie die Axialkraft im Balken ($N_x$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert. Daher:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Wenn man betrachtet, wie die Axialkraft im Balken ($N_x$) in Abhängigkeit von die Lange Axialkraft im Balken ($n$) über ein Element von die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, erhält man:
$N - ndx - (N + dN) = 0$
daraus folgt:
$-ndx - dN = 0$
was uns zu folgendem führt:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
ID:(15891, 0)
Drehmomentausgleich
Gleichung
Die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) kann basierend darauf berechnet werden, wie der Drehmoment am Balken ($M_y$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) variiert, daher:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
Die Variation von der Drehmoment am Balken ($M_y$) entlang die Entlang des Balkens positionieren ($x$) ist in der Größenordnung des Hebelarms der Länge des Elements die Entlang des Balkens positionieren ($x$) multipliziert mit die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$), daher:
$-M - Qdx + (M + dM) = 0$
was impliziert:
$-Qdx + dM = 0$
das heißt:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
ID:(15889, 0)
Drehmoment- und Lastgleichung
Gleichung
Die Krümmung von der Drehmoment am Balken ($M_y$) in die Entlang des Balkens positionieren ($x$) ist gleich minus die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$):
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
Da die Ableitung von der Drehmoment am Balken ($M_y$) nach die Entlang des Balkens positionieren ($x$) Die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) ergibt:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
und die Ableitung von die Vertikale Kraft zur Balkenachse ($Q_z$) gleich minus die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) ist:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
führt uns die Ableitung der ersten zu:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15890, 0)
Trägheitsmoment
Gleichung
Der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) für einen Querschnitt einer Stange wird berechnet, indem über den Querschnitt in der Ebene die In der Breite auf dem Balken positionieren ($y$) und die In der Höhe auf dem Balken positionieren ($z$) integriert wird:
| $ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $ |
ID:(15881, 0)
Biegemoment
Gleichung
El momento de flexión se calcula sumando todas las fuerzas que genera el sólido en la sección multiplicado por la distancia de esta al eje en que rota la sección. La suma de estos genera el momento de tensión que tiene la forma
| $ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$ |
ID:(14195, 0)
Verformungsgleichung
Gleichung
Mit der Gleichung für der Drehmoment am Balken ($M_y$) in Abhängigkeit von die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) und die Entlang des Balkens positionieren ($x$) sowie der Gleichung für die Biegung unter Einbeziehung von der Elastizitätsmodul ($E$), der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) und der Verschiebung in z ($u_z$) ergibt sich:
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
Mit der Drehmoment am Balken ($M_y$), die Belastung pro Länge des Trägers ($q_z$) und die Entlang des Balkens positionieren ($x$) wird die Gleichung für das Drehmoment aufgestellt:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
welche in Kombination mit der Verschiebungsgleichung, die der Elastizitätsmodul ($E$), der Trägheitsmoment des Abschnitts ($I_b$) und der Verschiebung in z ($u_z$) einbezieht:
| $ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$ |
zu folgendem führt:
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
ID:(15892, 0)