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Flexión elástica
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Cuando se aplica un torque a un cuerpo, se logra flexionarlo. La forma en que esto ocurre depende tanto de la geometría del cuerpo como de la manera en que se aplica el torque. Además, es posible estimar la energía elástica que el cuerpo absorbe en función de la deformación que experimenta.
ID:(2062, 0)
Flexión de un elemento
Concepto
Si se aplica a un elemento de material torque se logra que este se flexiones en torno al eje de este mismo:
ID:(15884, 0)
Fuerzas sobre un elemento de volumen
Concepto
En general, el torque sobre la viga ($M_y$) debe aplicarse en ambos extremos para generar la flexión:
La diferencia entre ambos torques es igual al torque generado por la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$), con un intervalo correspondiente a la variación de la posición a lo largo de la viga ($x$):
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
A su vez, la fuerza axial en la viga ($N_x$) puede variar a lo largo del eje:
Esta variación corresponde a la fuerza axial lor largo en la viga ($n$) a lo largo del eje:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Finalmente, existe la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$), que varía en función de la carga por largo sobre la viga ($q_z$), lo que puede corresponder al propio peso de la viga:
De esta manera, la variación de la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$) a lo largo de la posición a lo largo de la viga ($x$) corresponde a la carga por largo sobre la viga ($q_z$) según:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
Al combinar la primera y última ecuación, se obtiene la ecuación de deformación:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15885, 0)
Condición a lo largo de viga
Concepto
Las fuerzas externas pueden actuar en un punto, generando torque en un punto, no catuando o como fuerza pareja como en el caso del peso de esta:
En todos los casos la fuerza y/o torque afecta directamente las ecuaciones de deformación y son parte integral de la solución de esta.
ID:(15886, 0)
Condición de borde
Concepto
Una vez se tiene la solución deben satisfacrese las condciones de borde o sea que situaciones existen y que fuerzas o torque esto genera. Por ejemplo existe la situación:
* existe un punto de giro en el borde por lo que no se puede traspasar torque pero si fuerza axial y vertical.
* existe un punto de giro y la capacidad de desplazarse axialmente por lo que solo se puede traspasar una fuerza vertical
* la barra esta incerta en su base con lo que no se puede rotar por lo que soporta el torque necesario para ello
* si no se puede rotar pero si desplazar verticalmente se tiene que se le puede traspasar tanto torque como fuerza axial
* si no se puede rotar pero si mover axialmente
ID:(15887, 0)
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $
E * I_b * DIFF( u_z , x , 4 ) = q_z
$ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $
I_b = @INT2( z ^2 , y , z )
$ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$
M_y = - E * I_b * @DIF( u_z , x , 2)
$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $
@DIFF( M_y , x ) = Q_z
$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $
@DIFF( M_y , x , 2 ) = q
$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $
@DIFF( N_x , x ) = - n
$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $
@DIFF( Q_z , x ) = - q_z
ID:(15571, 0)
Equilibrio de fuerza vertical
Ecuación
La carga por largo sobre la viga ($q_z$) se puede calcular a partir de cómo la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$) varía a lo largo de la posición a lo largo de la viga ($x$), por lo tanto:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
Si se observa cómo varía la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$) en función de la carga por largo sobre la viga ($q_z$) sobre un elemento de la posición a lo largo de la viga ($x$), se obtiene:
$Q - qdx - (Q + dQ) = 0$
por lo tanto:
$-qdx - dQ = 0$
lo que nos lleva a:
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
ID:(15888, 0)
Equilibrio de fuerza axial
Ecuación
La fuerza axial lor largo en la viga ($n$) se puede calcular a partir de cómo la fuerza axial en la viga ($N_x$) varía a lo largo de la posición a lo largo de la viga ($x$), por lo tanto:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Si se observa cómo varía la fuerza axial en la viga ($N_x$) en función de la fuerza axial lor largo en la viga ($n$) sobre un elemento de la posición a lo largo de la viga ($x$), se obtiene:
$N - ndx - (N + dN) = 0$
por lo tanto:
$-ndx - dN = 0$
lo que nos lleva a:
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
ID:(15891, 0)
Equilibrio de torque
Ecuación
La fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$) se puede calcular a partir de cómo el torque sobre la viga ($M_y$) varía a lo largo de la posición a lo largo de la viga ($x$), por lo tanto:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
La variación de el torque sobre la viga ($M_y$) a lo largo de la posición a lo largo de la viga ($x$) es del orden del brazo del largo del elemento la posición a lo largo de la viga ($x$) multiplicado por la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$), por lo tanto:
$-M - Qdx + (M + dM) = 0$
lo que implica:
$-Qdx + dM = 0$
es decir:
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
ID:(15889, 0)
Ecuación de torque y carga
Ecuación
La curvatura de el torque sobre la viga ($M_y$) en la posición a lo largo de la viga ($x$) es igual a menos la carga por largo sobre la viga ($q_z$):
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
Dado que el torque sobre la viga ($M_y$) derivado en la posición a lo largo de la viga ($x$) resulta en la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$):
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
y la derivada de la fuerza vertical al eje de la viga ($Q_z$) es igual a menos la carga por largo sobre la viga ($q_z$):
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
la derivada de la primera nos conduce a:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15890, 0)
Momento de inercia
Ecuación
El momento de inercia de la sección ($I_b$) de una sección de una barra se calcula integrando sobre la sección en el plano la posición en el ancho en la viga ($y$) y la posición en la altura en la viga ($z$):
| $ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $ |
ID:(15881, 0)
Momento de flexión
Ecuación
El momento de flexión se calcula sumando todas las fuerzas que genera el sólido en la sección multiplicado por la distancia de esta al eje en que rota la sección. La suma de estos genera el momento de tensión que tiene la forma
| $ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$ |
ID:(14195, 0)
Ecuación de deformación
Ecuación
Con la ecuación de el torque sobre la viga ($M_y$) en función de la carga por largo sobre la viga ($q_z$) y la posición a lo largo de la viga ($x$), junto con la ecuación para la flexión que involucra el módulo de Elasticidad ($E$), el momento de inercia de la sección ($I_b$) y el desplazamiento en z ($u_z$), se obtiene:
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
Con el torque sobre la viga ($M_y$), la carga por largo sobre la viga ($q_z$) y la posición a lo largo de la viga ($x$), se establece la ecuación del torque:
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
que, junto con la ecuación del desplazamiento que involucra el módulo de Elasticidad ($E$), el momento de inercia de la sección ($I_b$) y el desplazamiento en z ($u_z$):
| $ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$ |
nos lleva a:
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
ID:(15892, 0)