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Deformação elástica longitudinal
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Quando uma força é aplicada à superfície de um corpo, cria-se uma zona onde o material se comprime ou se expande, resultando em um movimento paralelo ao vetor normal da superfície. Isso é o que é chamado de deformação longitudinal.
ID:(325, 0)
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Variáve 
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Objetivo : Equação A ser usado Equação
$ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$
e = u / L
$ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $
e_e =- nu * e
$ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$
e_i = du_i / dx_i
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$
sigma = F / S
$ \sigma_i = E \epsilon_i $
s_i = E * e_i
$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$
U = E * e ^2/2
$ V = S L $
V = S * L
$ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$
w = E *( e ^2+2* e_e ^2 + nu*( e + 2* e_e )^2/(1-2* nu ))/(2*(1+ nu ))
$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$
W = V * E * e ^2/2
$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$
W = V * E * sigma ^2/2
$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$
w = W / V
ID:(15371, 0)
Força de Hooke de um objeto
Equação
Como a Lei de Hooke relaciona la força elástica ($F_k$) através de la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:
| $ F_k = k u $ |
é possível substituir la constante de Hooke ($k$) pela expressão microscópica e, usando a definição de o módulo de Elasticidade ($E$), obtém-se com o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$) que:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Com a Lei de Hooke para la força elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:
| $ F_k = k u $ |
e a expressão para la constante de Hooke ($k$) em termos de o comprimento do corpo ($L$), la seção de elemento ($S$), o comprimento microscópico da mola ($l$), la seção microscópica da mola ($s$) e la microscopia constante de Hook ($k_m$):
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
juntamente com a expressão para o módulo de Elasticidade ($E$):
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
o resultado é:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)
Deformação
Equação
La força elástica ($F_k$) é uma função de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).
Neste caso, a proporção entre la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$) é representada por la deformação ($\epsilon$), que pode ser definida da seguinte forma:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ID:(3762, 0)
Deformação como um continuum
Equação
Em geral, la deformação ($\epsilon$) é definido como a variação de la alongamento ($u$) em relação a o comprimento do corpo ($L$):
Esse conceito pode ser generalizado no limite microscópico, onde la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) é introduzido como la variação do deslocamento em i ($\partial u_i$) sobre o comprimento de um elemento em i ($\partial x_i$) na direção $i$, e seria expresso da seguinte forma:
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
A razão para usar um símbolo diferente para denotar o diferencial
$d \rightarrow \partial$
é que existem vários diferenciais que afetam diferentes variáveis no modelo. O uso do símbolo $\partial$ indica que uma variação deve ser realizada de cada vez, ou seja, ao considerar uma variável, as demais são assumidas com seus valores iniciais.
ID:(3763, 0)
Tensão
Equação
La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).
Da mesma forma, assim como la deformação ($\epsilon$) é introduzido para evitar o uso da dimensão o comprimento do corpo ($L$), podemos construir um fator que expressa la força elástica ($F_k$) em termos de la seção de elemento ($S$) como la tensão ($\sigma$).
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
ID:(3210, 0)
Lei de Hooke no limite contínuo
Equação
La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Essa função pode ser reescrita utilizando as definições de la tensão ($\sigma$) e la deformação ($\epsilon$), resultando na versão contínua da Lei de Hooke:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Esta função pode ser expressa usando a definição de la tensão ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
e a definição de la deformação ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
resultando em
| $ \sigma = E \epsilon $ |
ID:(8100, 0)
Lei de Hooke continua por direção
Equação
A Lei de Hooke para ($$), ($$) e ($$) é expressa da seguinte forma:
Essa lei pode ser generalizada para la tensão no eixo $i$ ($\sigma_i$) e la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) da seguinte maneira:
| $ \sigma_i = E \epsilon_i $ |
ID:(3764, 0)
Volume corporal
Equação
A massa total o volume ($V$) do corpo é calculada utilizando la seção de elemento ($S$) e o comprimento do corpo ($L$):
| $ V = S L $ |
ID:(15374, 0)
Energia de tensão
Equação
Assim como em uma mola, a deformação de um material requer energia. A energia la trabalho ($W$) necessária para comprimir ou expandir o material é calculada como a integral de la força elástica ($F_k$) ao longo do caminho $ds$ durante a deformação:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
No caso da Lei de Hooke contínua, isso se reduz a:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Se utilizarmos a equação para calcular la trabalho ($W$) como a integral de la força elástica ($F_k$) ao longo do caminho durante a deformação:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
E empregarmos a equação para la força elástica ($F_k$) com o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$), o comprimento do corpo ($L$) e la alongamento ($u$)
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
onde somamos ao longo do caminho percorrido. No caso de deformação elástica, a relação é linear e se torna:
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Isso nos leva a:
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
Ao utilizar a equação para la deformação ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
e a equação para o volume ($V$)
| $ V = S L $ |
obtemos:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
ID:(3206, 0)
Energia de tensão e estresse
Equação
Como la energia de tensão ($W$) está relacionado com o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$), pode ser expresso da seguinte forma:
Usando a Lei de Hooke, podemos substituir la deformação ($\epsilon$) em termos de la tensão ($\sigma$), resultando em:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
Como la energia de tensão ($W$) está relacionado com o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) da seguinte forma:
Se substituirmos la deformação ($\epsilon$) por la tensão ($\sigma$) na equação:
Obtemos:
ID:(3790, 0)
Densidade de energia
Equação
Para la energia de tensão ($W$) contida em um volume ($V$), podemos definir la densidade de energia de deformação ($w$) como:
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
ID:(3770, 0)
Densidade de energia potencial
Equação
La energia de tensão ($W$) em função de o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) é igual a
Portanto, se dividirmos por o volume ($V$), obtemos la densidade de energia de deformação ($w$), que é definido como
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
La energia de tensão ($W$) é expresso como uma função de o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) da seguinte forma:
E com la densidade de energia de deformação ($w$) definido como:
Nós obtemos:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(8104, 0)
Razão de Poisson
Equação
A deformação lateral é diretamente proporcional à deformação que a causa. O coeficiente de proporcionalidade é representado como o razão de Poisson ($\nu$) [1] e geralmente varia dentro da faixa de 0,15 a 0,4.
Se a deformação original for la deformação ($\epsilon$) e a gerada for la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), a seguinte relação é estabelecida:
Na aproximação linear, o coeficiente de Poisson representa a relação entre deformações laterais e longitudinais.
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
onde o sinal indica que a deformação ocorre na direção oposta à causa.
[1] Este conceito foi introduzido por Siméon Denis Poisson em um trabalho de análise estatística, no qual ele mencionou, entre outros tópicos não relacionados à mecânica, o que posteriormente foi chamado de coeficiente de Poisson em um exemplo de elasticidade. O trabalho tem o título "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile" (Pesquisas sobre a Probabilidade de Julgamentos em Matéria Criminal e Civil), escrito por Siméon Denis Poisson (1837).
ID:(3765, 0)
Densidade geral de energia potencial
Equação
($$) como função de ($$) e ($$) é igual a
Esta equação expressa ($$) sem considerar la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), que está associado a ($$) através do coeficiente de Poisson. ($$) pode ser expresso como uma função de ($$) e la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) usando a seguinte equação:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
($$) com ($$), ($$), la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) e o razão de Poisson ($\nu$) é expresso como:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
Se substituirmos la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) usando a equação
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
Obtemos a expressão inicial:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(15375, 0)