Storyboard

Quando uma força é aplicada à superfície de um corpo, cria-se uma zona onde o material se comprime ou se expande, resultando em um movimento paralelo ao vetor normal da superfície. Isso é o que é chamado de deformação longitudinal.

>Modelo

ID:(325, 0)

Iframe

>Top

ID:(15370, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$L$

L

Comprimento do corpo

m

$E$

E

Módulo de Elasticidade

Pa

$\nu$

nu

Razão de Poisson

-

$S$

S

Seção de elemento

m^2

Variáveis

$u$

u

Alongamento

m

$\epsilon$

e

Deformação

-

$\epsilon_i$

e_i

Deformação da coordenada $i$

-

$\epsilon_j$

e_j

Deformação na coordenada perpendicular $j$

-

$\epsilon_{\perp}$

e_e

Deformação na direção perpendicular à força

-

$w$

w

Densidade de energia de deformação

$u_i$

u_i

Deslocamento em i

m

$W$

W

Energia de tensão

J

$F_k$

F_k

Força elástica

N

$x_i$

x_i

Posição em i

m

$S$

S

Seção

m^2

$\sigma$

sigma

Tensão

Pa

$\sigma_i$

sigma_i

Tensão no eixo $i$

Pa

$V$

V

Volume

m^3

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15371, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como a Lei de Hooke relaciona la força elástica ($F_k$) através de la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:

é possível substituir la constante de Hooke ($k$) pela expressão microscópica e, usando a definição de o módulo de Elasticidade ($E$), obtém-se com o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$) que:

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

Condições

Variáveis

$u$

Alongamento

$m$

5343

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$F_k$

Força elástica

$N$

4978

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$S$

Seção

$m^2$

10335

Relação

Desenvolvimento

Com a Lei de Hooke para la força elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:

$F_k = k u$

e a expressão para la constante de Hooke ($k$) em termos de o comprimento do corpo ($L$), la seção de elemento ($S$), o comprimento microscópico da mola ($l$), la seção microscópica da mola ($s$) e la microscopia constante de Hook ($k_m$):

$k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

juntamente com a expressão para o módulo de Elasticidade ($E$):

$E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

o resultado é:

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

ID:(3209, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força elástica ($F_k$) é uma função de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).



Neste caso, a proporção entre la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$) é representada por la deformação ($\epsilon$), que pode ser definida da seguinte forma:

$\epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$

Condições

Variáveis

$u$

Alongamento

$m$

5343

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$\epsilon$

Deformação

$-$

5358

Relação

ID:(3762, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Em geral, la deformação ($\epsilon$) é definido como a variação de la alongamento ($u$) em relação a o comprimento do corpo ($L$):



Esse conceito pode ser generalizado no limite microscópico, onde la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) é introduzido como la variação do deslocamento em i ($\partial u_i$) sobre o comprimento de um elemento em i ($\partial x_i$) na direção $i$, e seria expresso da seguinte forma:

$\epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$

Condições

Variáveis

$\epsilon_i$

Deformação da coordenada $i$

$-$

5359

$u_i$

Deslocamento em i

$m$

10232

$x_i$

Posição em i

$m$

10233

Relação

A razão para usar um símbolo diferente para denotar o diferencial

$d \rightarrow \partial$

é que existem vários diferenciais que afetam diferentes variáveis no modelo. O uso do símbolo $\partial$ indica que uma variação deve ser realizada de cada vez, ou seja, ao considerar uma variável, as demais são assumidas com seus valores iniciais.

ID:(3763, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).



Da mesma forma, assim como la deformação ($\epsilon$) é introduzido para evitar o uso da dimensão o comprimento do corpo ($L$), podemos construir um fator que expressa la força elástica ($F_k$) em termos de la seção de elemento ($S$) como la tensão ($\sigma$).

$\sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$

$\sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$

Condições

Variáveis

$F$

$F_k$

Força elástica

$N$

4978

$S$

Seção de elemento

$m^2$

5352

$\sigma$

Tensão

$Pa$

5387

Relação

ID:(3210, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).

Essa função pode ser reescrita utilizando as definições de la tensão ($\sigma$) e la deformação ($\epsilon$), resultando na versão contínua da Lei de Hooke:

$\sigma = E \epsilon$

Condições

Variáveis

Relação

Desenvolvimento

La força elástica ($F_k$) é uma função que depende de o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$) e o comprimento do corpo ($L$).

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

Esta função pode ser expressa usando a definição de la tensão ($\sigma$)

$\sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$

e a definição de la deformação ($\epsilon$)

$\epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$

resultando em

$\sigma = E \epsilon$

ID:(8100, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A Lei de Hooke para ($$), ($$) e ($$) é expressa da seguinte forma:



Essa lei pode ser generalizada para la tensão no eixo $i$ ($\sigma_i$) e la deformação da coordenada $i$ ($\epsilon_i$) da seguinte maneira:

$\sigma_i = E \epsilon_i$

Condições

Variáveis

$\epsilon_i$

Deformação da coordenada $i$

$-$

5359

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$\sigma_i$

Tensão no eixo $i$

$Pa$

5361

Relação

ID:(3764, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A massa total o volume ($V$) do corpo é calculada utilizando la seção de elemento ($S$) e o comprimento do corpo ($L$):

$V = S L$

Condições

Variáveis

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$S$

Seção

$m^2$

10335

$V$

Volume

$m^3$

10334

Relação

ID:(15374, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Assim como em uma mola, a deformação de um material requer energia. A energia la trabalho ($W$) necessária para comprimir ou expandir o material é calculada como a integral de la força elástica ($F_k$) ao longo do caminho $ds$ durante a deformação:

$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$

No caso da Lei de Hooke contínua, isso se reduz a:

$W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$

Condições

Variáveis

$\epsilon$

Deformação

$-$

5358

$W$

Energia de tensão

$J$

5368

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$V$

Volume

$m^3$

10334

Relação

Desenvolvimento

Se utilizarmos a equação para calcular la trabalho ($W$) como a integral de la força elástica ($F_k$) ao longo do caminho durante a deformação:

$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$

E empregarmos a equação para la força elástica ($F_k$) com o módulo de Elasticidade ($E$), la seção de elemento ($S$), la alongamento ($u$), o comprimento do corpo ($L$) e la alongamento ($u$)

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

onde somamos ao longo do caminho percorrido. No caso de deformação elástica, a relação é linear e se torna:

$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$

Isso nos leva a:

$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$

Ao utilizar a equação para la deformação ($\epsilon$)

$\epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$

e a equação para o volume ($V$)

$V = S L$

obtemos:

$W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$

ID:(3206, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como la energia de tensão ($W$) está relacionado com o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$), pode ser expresso da seguinte forma:



Usando a Lei de Hooke, podemos substituir la deformação ($\epsilon$) em termos de la tensão ($\sigma$), resultando em:

$W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$

Condições

Variáveis

$W$

Energia de tensão

$J$

5368

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$\sigma$

Tensão

$Pa$

5387

$V$

Volume

$m^3$

10334

Relação

Desenvolvimento

Como la energia de tensão ($W$) está relacionado com o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) da seguinte forma:



Se substituirmos la deformação ($\epsilon$) por la tensão ($\sigma$) na equação:



Obtemos:

ID:(3790, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para la energia de tensão ($W$) contida em um volume ($V$), podemos definir la densidade de energia de deformação ($w$) como:

$w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$

Condições

Variáveis

$w$

Densidade de energia de deformação

$J/m^3$

5375

$W$

Energia de tensão

$J$

5368

$V$

Volume

$m^3$

10334

Relação

ID:(3770, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La energia de tensão ($W$) em função de o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) é igual a



Portanto, se dividirmos por o volume ($V$), obtemos la densidade de energia de deformação ($w$), que é definido como

$U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$

Condições

Variáveis

$w$

Densidade de energia de deformação

$J/m^3$

5375

Relação

Desenvolvimento

La energia de tensão ($W$) é expresso como uma função de o volume ($V$), o módulo de Elasticidade ($E$) e la deformação ($\epsilon$) da seguinte forma:



E com la densidade de energia de deformação ($w$) definido como:



Nós obtemos:

$U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$

ID:(8104, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A deformação lateral é diretamente proporcional à deformação que a causa. O coeficiente de proporcionalidade é representado como o razão de Poisson ($\nu$) [1] e geralmente varia dentro da faixa de 0,15 a 0,4.

Se a deformação original for la deformação ($\epsilon$) e a gerada for la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), a seguinte relação é estabelecida:

Na aproximação linear, o coeficiente de Poisson representa a relação entre deformações laterais e longitudinais.

$\epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon$

Condições

Variáveis

$\epsilon_i$

Deformação da coordenada $i$

$-$

5359

$\epsilon_j$

Deformação na coordenada perpendicular $j$

$-$

5360

$\nu$

Razão de Poisson

$-$

5365

Relação

onde o sinal indica que a deformação ocorre na direção oposta à causa.

[1] Este conceito foi introduzido por Siméon Denis Poisson em um trabalho de análise estatística, no qual ele mencionou, entre outros tópicos não relacionados à mecânica, o que posteriormente foi chamado de coeficiente de Poisson em um exemplo de elasticidade. O trabalho tem o título "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile" (Pesquisas sobre a Probabilidade de Julgamentos em Matéria Criminal e Civil), escrito por Siméon Denis Poisson (1837).

ID:(3765, 0)

Equação

>Top, >Modelo

($$) como função de ($$) e ($$) é igual a



Esta equação expressa ($$) sem considerar la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$), que está associado a ($$) através do coeficiente de Poisson. ($$) pode ser expresso como uma função de ($$) e la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) usando a seguinte equação:

$w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$

Condições

Variáveis

$E$

Deformação

$-$

5358

$\epsilon_{\perp}$

Deformação na direção perpendicular à força

$-$

10236

$w$

Densidade de energia de deformação

$J/m^3$

5375

$\epsilon$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$\nu$

Razão de Poisson

$-$

5365

Relação

Desenvolvimento

($$) com ($$), ($$), la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) e o razão de Poisson ($\nu$) é expresso como:

$w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$

Se substituirmos la deformação na direção perpendicular à força ($\epsilon_{\perp}$) usando a equação

$\epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon$

Obtemos a expressão inicial:

$U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$

ID:(15375, 0)