Utilisateur:
Flexion élastique
Storyboard 
Lorsqu'un couple est appliqué à un corps, il peut être plié ou fléchi. La manière dont cela se produit dépend à la fois de la géométrie du corps et de la manière dont le couple est appliqué. De plus, il est possible d'estimer l'énergie élastique absorbée par le corps en fonction de la déformation qu'il subit.
ID:(2062, 0)
Forces sur un élément de volume
Concept
En général, le couple sur poutre ($M_y$) doit être appliqué aux deux extrémités pour provoquer la flexion :
La différence entre les deux moments est égale au moment généré par a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$), avec un intervalle correspondant à la variation de a positionnement le long de la poutre ($x$) :
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
À son tour, a force axiale dans la poutre ($N_x$) peut varier le long de l'axe :
Cette variation correspond à A force axiale longue dans la poutre ($n$) le long de l'axe :
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Enfin, a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) varie en fonction de a charge par longueur sur la poutre ($q_z$), ce qui peut correspondre au poids propre de la poutre :
Ainsi, la variation de a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) le long de a positionnement le long de la poutre ($x$) correspond à A charge par longueur sur la poutre ($q_z$) comme suit :
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
En combinant la première et la dernière équation, on obtient léquation de déformation :
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15885, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $
E * I_b * DIFF( u_z , x , 4 ) = q_z
$ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $
I_b = @INT2( z ^2 , y , z )
$ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$
M_y = - E * I_b * @DIF( u_z , x , 2)
$\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $
@DIFF( M_y , x ) = Q_z
$\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $
@DIFF( M_y , x , 2 ) = q
$\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $
@DIFF( N_x , x ) = - n
$\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $
@DIFF( Q_z , x ) = - q_z
ID:(15571, 0)
Equilibre des forces verticales
Équation
A charge par longueur sur la poutre ($q_z$) peut être calculé en fonction de la variation de a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) le long de a positionnement le long de la poutre ($x$), par conséquent :
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
Si l'on observe comment a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) varie en fonction de a charge par longueur sur la poutre ($q_z$) sur un élément de a positionnement le long de la poutre ($x$), on obtient :
$Q - qdx - (Q + dQ) = 0$
donc :
$-qdx - dQ = 0$
ce qui conduit à :
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
ID:(15888, 0)
Equilibre des forces axiales
Équation
A force axiale longue dans la poutre ($n$) peut être calculé en fonction de la variation de a force axiale dans la poutre ($N_x$) le long de a positionnement le long de la poutre ($x$), par conséquent :
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
Si l'on observe comment a force axiale dans la poutre ($N_x$) varie en fonction de a force axiale longue dans la poutre ($n$) sur un élément de a positionnement le long de la poutre ($x$), on obtient :
$N - ndx - (N + dN) = 0$
donc :
$-ndx - dN = 0$
ce qui nous conduit à :
| $\displaystyle\frac{d N_x }{d x } = - n $ |
ID:(15891, 0)
Équilibre du couple
Équation
A force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) peut être calculé en fonction de la manière dont le couple sur poutre ($M_y$) varie le long de a positionnement le long de la poutre ($x$), par conséquent :
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
La variation de le couple sur poutre ($M_y$) le long de a positionnement le long de la poutre ($x$) est de l'ordre du bras de levier de la longueur de l'élément a positionnement le long de la poutre ($x$) multiplié par a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$), par conséquent :
$-M - Qdx + (M + dM) = 0$
ce qui implique :
$-Qdx + dM = 0$
autrement dit :
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
ID:(15889, 0)
Équation de couple et de charge
Équation
La courbure de le couple sur poutre ($M_y$) sur a positionnement le long de la poutre ($x$) est égale à moins a charge par longueur sur la poutre ($q_z$) :
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
Comme la dérivée de le couple sur poutre ($M_y$) par rapport à A positionnement le long de la poutre ($x$) donne a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) :
| $\displaystyle\frac{d M_y }{d x } = Q_z $ |
et que la dérivée de a force verticale sur l'axe de la poutre ($Q_z$) est égale à moins a charge par longueur sur la poutre ($q_z$) :
| $\displaystyle\frac{d Q_z }{dx} = - q_z $ |
la dérivée de la première nous mène à :
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
ID:(15890, 0)
Moment d'inertie
Équation
Le moment d'inertie de la section ($I_b$) dune section dune barre est calculé en intégrant sur la section dans le plan a position en largeur sur la poutre ($y$) et a position en hauteur sur la poutre ($z$) :
| $ I_b =\displaystyle\int dz dy z^2 $ |
ID:(15881, 0)
Équation de déformation
Équation
Avec léquation de le couple sur poutre ($M_y$) en fonction de a charge par longueur sur la poutre ($q_z$) et a positionnement le long de la poutre ($x$), et léquation pour la flexion impliquant le module d'élasticité ($E$), le moment d'inertie de la section ($I_b$) et le déplacement z ($u_z$), on obtient :
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
Avec le couple sur poutre ($M_y$), a charge par longueur sur la poutre ($q_z$) et a positionnement le long de la poutre ($x$), l'équation du couple est établie :
| $\displaystyle\frac{d^2 M_y }{d x ^2} = - q $ |
qui, combinée avec l'équation du déplacement impliquant le module d'élasticité ($E$), le moment d'inertie de la section ($I_b$) et le déplacement z ($u_z$) :
| $ M_y = - E I_b \displaystyle\frac{d^2 u_z }{d x ^2}$ |
nous conduit à :
| $ E I_b \displaystyle\frac{d^4 u_z }{d x ^4} = q_z $ |
ID:(15892, 0)