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Déformation élastique longitudinale
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Lorsqu'une force est appliquée à la surface d'un corps, une zone se crée où le matériau se comprime ou se dilate, entraînant un mouvement parallèle au vecteur normal de la surface. C'est ce qu'on appelle la déformation longitudinale.
ID:(325, 0)
Déformation élastique longitudinale
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Lorsqu'une force est appliquée à la surface d'un corps, une zone se crée où le matériau se comprime ou se dilate, entraînant un mouvement parallèle au vecteur normal de la surface. C'est ce qu'on appelle la déformation longitudinale.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
Si nous utilisons l' quation pour calculer a travail ($W$) comme l'int grale de a force élastique ($F_k$) le long du chemin lors de la d formation :
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Et que nous utilisons l' quation pour a force élastique ($F_k$) avec le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$), le la longueur du corps ($L$) et a élongation ($u$)
o nous additionnons le long du chemin parcouru. Dans le cas d'une d formation lastique, la relation est lin aire et devient :
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Cela nous conduit :
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
En utilisant l' quation pour a déformation ($\epsilon$)
et l' quation pour le volume ($V$)
nous obtenons :
Avec la loi de Hooke pour a force élastique ($F_k$), a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) comme suit :
et l'expression de a constante de Hooke ($k$) en fonction de le la longueur du corps ($L$), a section d'élément ($S$), le longueur du ressort microscopique ($l$), a section de ressort microscopique ($s$) et a microscopie constante de Hook ($k_m$) :
combin e avec l'expression de le module d'élasticité ($E$) :
le r sultat est :
Comme a énergie de déformation ($W$) est li le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) comme suit :
Si nous rempla ons a déformation ($\epsilon$) par a tension ($\sigma$) dans l' quation :
Nous obtenons :
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui d pend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
Cette fonction peut tre exprim e en utilisant la d finition de a tension ($\sigma$)
et la d finition de a déformation ($\epsilon$)
ce qui donne
A énergie de déformation ($W$) est exprim en fonction de le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) comme suit :
Et avec a densité d'énergie de déformation ($w$) d fini comme :
Nous obtenons :
ERROR:8844 avec ERROR:8843, ERROR:8838, a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) et le coefficient de Poisson ($\nu$) est exprim comme suit :
Si nous rempla ons a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) en utilisant l' quation
Nous obtenons l'expression initiale :
Exemples
Comme la loi de Hooke relie a force élastique ($F_k$) travers a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) de la mani re suivante :
vous pouvez remplacer a constante de Hooke ($k$) par l'expression microscopique et en utilisant la d finition de le module d'élasticité ($E$), vous obtenez avec le la longueur du corps ($L$) et a section d'élément ($S$) que :
A force élastique ($F_k$) est une fonction de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
Dans ce cas, le rapport entre a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$) est repr sent par a déformation ($\epsilon$), qui peut tre d fini de la mani re suivante :
En g n ral, a déformation ($\epsilon$) est d fini comme la variation de a élongation ($u$) en proportion de le la longueur du corps ($L$) :
Ce concept peut tre g n ralis dans la limite microscopique, o a déformation de la coordonnée $i$ ($\epsilon_i$) est introduit comme a variation du déplacement en i ($\partial u_i$) sur le longueur d'un élément en i ($\partial x_i$) dans la direction $i$, et serait exprim comme suit :
La raison d'utiliser un symbole diff rent pour d signer la diff rentielle
$d \rightarrow \partial$
est qu'il existe plusieurs diff rentielles qui affectent diff rentes variables dans le mod le. L'utilisation du symbole $\partial$ indique qu'une variation doit tre effectu e chaque fois, c'est- -dire qu'en consid rant une variable, les autres sont suppos es avoir leurs valeurs initiales.
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui d pend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
De la m me mani re, tout comme a déformation ($\epsilon$) est introduit pour viter l'utilisation de la dimension le la longueur du corps ($L$), nous pouvons construire un facteur qui exprime a force élastique ($F_k$) en fonction de a section d'élément ($S$) comme a tension ($\sigma$).
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui d pend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
Cette fonction peut tre r crite en utilisant les d finitions de a tension ($\sigma$) et a déformation ($\epsilon$), ce qui donne la version continue de la loi de Hooke :
La loi de Hooke pour ERROR:8845, ERROR:8843 et ERROR:8838 est exprim e comme suit :
Cette loi peut tre g n ralis e pour a contrainte sur l'axe $i$ ($\sigma_i$) et a déformation de la coordonnée $i$ ($\epsilon_i$) de la mani re suivante :
La masse totale le volume ($V$) du corps est calcul e en utilisant a section d'élément ($S$) et le la longueur du corps ($L$) :
Tout comme dans un ressort, la d formation d'un mat riau n cessite de l' nergie. L' nergie a travail ($W$) n cessaire pour comprimer ou tendre le mat riau est calcul e comme l'int grale de a force élastique ($F_k$) le long du chemin $ds$ pendant la d formation :
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Dans le cas de la Loi de Hooke continue, cela se r duit :
Comme a énergie de déformation ($W$) est li le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$), il peut tre exprim comme suit :
En utilisant la loi de Hooke, nous pouvons remplacer a déformation ($\epsilon$) en fonction de a tension ($\sigma$), ce qui donne :
Pour a énergie de déformation ($W$) contenue dans un volume ($V$), nous pouvons d finir a densité d'énergie de déformation ($w$) comme suit :
A énergie de déformation ($W$) en fonction de le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) est gal
Donc, si nous divisons par le volume ($V$), nous obtenons a densité d'énergie de déformation ($w$), qui est d fini comme
La d formation lat rale est directement proportionnelle la d formation qu'elle provoque. Le coefficient de proportionnalit est d sign par le coefficient de Poisson ($\nu$) [1] et se situe g n ralement dans la plage de 0,15 0,4.
Si la d formation initiale est de a déformation ($\epsilon$) et celle g n r e est de a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$), la relation suivante est tablie :
Dans l'approximation lin aire, le coefficient de Poisson repr sente la relation entre les d formations lat rales et longitudinales.
o le signe indique que la d formation se produit dans la direction oppos e la cause.
[1] Ce concept a t introduit par Sim on Denis Poisson dans un travail d'analyse statistique, dans lequel il a mentionn , entre autres sujets non li s la m canique, ce qui a t ult rieurement d sign sous le nom de coefficient de Poisson dans un exemple d' lasticit . Le travail est intitul "Recherches sur la Probabilit des Jugements en Mati re Criminelle et en Mati re Civile", r dig par Sim on Denis Poisson (1837).
ERROR:8844 en fonction de ERROR:8843 et ERROR:8838 est gal
Cette quation exprime ERROR:8844 sans tenir compte de a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$), qui est associ ERROR:8838 par le coefficient de Poisson. ERROR:8844 peut tre exprim en fonction de ERROR:8838 et a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) en utilisant l' quation suivante :
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