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Déformation élastique longitudinale
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Lorsqu'une force est appliquée à la surface d'un corps, une zone se crée où le matériau se comprime ou se dilate, entraînant un mouvement parallèle au vecteur normal de la surface. C'est ce qu'on appelle la déformation longitudinale.
ID:(325, 0)
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Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$
e = u / L
$ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $
e_e =- nu * e
$ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$
e_i = du_i / dx_i
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$
sigma = F / S
$ \sigma_i = E \epsilon_i $
s_i = E * e_i
$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$
U = E * e ^2/2
$ V = S L $
V = S * L
$ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$
w = E *( e ^2+2* e_e ^2 + nu*( e + 2* e_e )^2/(1-2* nu ))/(2*(1+ nu ))
$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$
W = V * E * e ^2/2
$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$
W = V * E * sigma ^2/2
$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$
w = W / V
ID:(15371, 0)
Force de Hooke d'un objet
Équation
Comme la loi de Hooke relie a force élastique ($F_k$) à travers a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) de la manière suivante :
| $ F_k = k u $ |
vous pouvez remplacer a constante de Hooke ($k$) par l'expression microscopique et en utilisant la définition de le module d'élasticité ($E$), vous obtenez avec le la longueur du corps ($L$) et a section d'élément ($S$) que :
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Avec la loi de Hooke pour a force élastique ($F_k$), a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) comme suit :
| $ F_k = k u $ |
et l'expression de a constante de Hooke ($k$) en fonction de le la longueur du corps ($L$), a section d'élément ($S$), le longueur du ressort microscopique ($l$), a section de ressort microscopique ($s$) et a microscopie constante de Hook ($k_m$) :
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
combinée avec l'expression de le module d'élasticité ($E$) :
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
le résultat est :
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)
Déformation
Équation
A force élastique ($F_k$) est une fonction de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
Dans ce cas, le rapport entre a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$) est représenté par a déformation ($\epsilon$), qui peut être défini de la manière suivante :
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ID:(3762, 0)
Déformation comme continuum
Équation
En général, a déformation ($\epsilon$) est défini comme la variation de a élongation ($u$) en proportion de le la longueur du corps ($L$) :
Ce concept peut être généralisé dans la limite microscopique, où A déformation de la coordonnée $i$ ($\epsilon_i$) est introduit comme a variation du déplacement en i ($\partial u_i$) sur le longueur d'un élément en i ($\partial x_i$) dans la direction $i$, et serait exprimé comme suit :
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
La raison d'utiliser un symbole différent pour désigner la différentielle
$d \rightarrow \partial$
est qu'il existe plusieurs différentielles qui affectent différentes variables dans le modèle. L'utilisation du symbole $\partial$ indique qu'une variation doit être effectuée à chaque fois, c'est-à-dire qu'en considérant une variable, les autres sont supposées avoir leurs valeurs initiales.
ID:(3763, 0)
Tension
Équation
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui dépend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
De la même manière, tout comme a déformation ($\epsilon$) est introduit pour éviter l'utilisation de la dimension le la longueur du corps ($L$), nous pouvons construire un facteur qui exprime a force élastique ($F_k$) en fonction de a section d'élément ($S$) comme a tension ($\sigma$).
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
ID:(3210, 0)
Loi de Hooke dans la limite continue
Équation
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui dépend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Cette fonction peut être réécrite en utilisant les définitions de a tension ($\sigma$) et a déformation ($\epsilon$), ce qui donne la version continue de la loi de Hooke :
| $ \sigma = E \epsilon $ |
A force élastique ($F_k$) est une fonction qui dépend de le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$) et le la longueur du corps ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Cette fonction peut être exprimée en utilisant la définition de a tension ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
et la définition de a déformation ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ce qui donne
| $ \sigma = E \epsilon $ |
ID:(8100, 0)
Loi de Hooke continue par direction
Équation
La loi de Hooke pour ($$), ($$) et ($$) est exprimée comme suit :
Cette loi peut être généralisée pour a contrainte sur l'axe $i$ ($\sigma_i$) et a déformation de la coordonnée $i$ ($\epsilon_i$) de la manière suivante :
| $ \sigma_i = E \epsilon_i $ |
ID:(3764, 0)
Volume corporel
Équation
La masse totale le volume ($V$) du corps est calculée en utilisant a section d'élément ($S$) et le la longueur du corps ($L$) :
| $ V = S L $ |
ID:(15374, 0)
Énergie de déformation
Équation
Tout comme dans un ressort, la déformation d'un matériau nécessite de l'énergie. L'énergie a travail ($W$) nécessaire pour comprimer ou étendre le matériau est calculée comme l'intégrale de a force élastique ($F_k$) le long du chemin $ds$ pendant la déformation :
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Dans le cas de la Loi de Hooke continue, cela se réduit à :
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Si nous utilisons l'équation pour calculer a travail ($W$) comme l'intégrale de a force élastique ($F_k$) le long du chemin lors de la déformation :
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Et que nous utilisons l'équation pour a force élastique ($F_k$) avec le module d'élasticité ($E$), a section d'élément ($S$), a élongation ($u$), le la longueur du corps ($L$) et a élongation ($u$)
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
où nous additionnons le long du chemin parcouru. Dans le cas d'une déformation élastique, la relation est linéaire et devient :
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Cela nous conduit à :
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
En utilisant l'équation pour a déformation ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
et l'équation pour le volume ($V$)
| $ V = S L $ |
nous obtenons :
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
ID:(3206, 0)
Énergie de contrainte et de stress
Équation
Comme a énergie de déformation ($W$) est lié à Le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$), il peut être exprimé comme suit :
En utilisant la loi de Hooke, nous pouvons remplacer a déformation ($\epsilon$) en fonction de a tension ($\sigma$), ce qui donne :
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
Comme a énergie de déformation ($W$) est lié à Le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) comme suit :
Si nous remplaçons a déformation ($\epsilon$) par a tension ($\sigma$) dans l'équation :
Nous obtenons :
ID:(3790, 0)
Densité d'énergie
Équation
Pour a énergie de déformation ($W$) contenue dans un volume ($V$), nous pouvons définir a densité d'énergie de déformation ($w$) comme suit :
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
ID:(3770, 0)
Densité énergétique potentielle
Équation
A énergie de déformation ($W$) en fonction de le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) est égal à
Donc, si nous divisons par le volume ($V$), nous obtenons a densité d'énergie de déformation ($w$), qui est défini comme
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
A énergie de déformation ($W$) est exprimé en fonction de le volume ($V$), le module d'élasticité ($E$) et a déformation ($\epsilon$) comme suit :
Et avec a densité d'énergie de déformation ($w$) défini comme :
Nous obtenons :
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(8104, 0)
Coefficient de Poisson
Équation
La déformation latérale est directement proportionnelle à la déformation qu'elle provoque. Le coefficient de proportionnalité est désigné par le coefficient de Poisson ($\nu$) [1] et se situe généralement dans la plage de 0,15 à 0,4.
Si la déformation initiale est de a déformation ($\epsilon$) et celle générée est de a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$), la relation suivante est établie :
Dans l'approximation linéaire, le coefficient de Poisson représente la relation entre les déformations latérales et longitudinales.
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
où le signe indique que la déformation se produit dans la direction opposée à la cause.
[1] Ce concept a été introduit par Siméon Denis Poisson dans un travail d'analyse statistique, dans lequel il a mentionné, entre autres sujets non liés à la mécanique, ce qui a été ultérieurement désigné sous le nom de coefficient de Poisson dans un exemple d'élasticité. Le travail est intitulé "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile", rédigé par Siméon Denis Poisson (1837).
ID:(3765, 0)
Densité d'énergie potentielle générale
Équation
($$) en fonction de ($$) et ($$) est égal à
Cette équation exprime ($$) sans tenir compte de a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$), qui est associé à ($$) par le coefficient de Poisson. ($$) peut être exprimé en fonction de ($$) et a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) en utilisant l'équation suivante :
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
($$) avec ($$), ($$), a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) et le coefficient de Poisson ($\nu$) est exprimé comme suit :
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
Si nous remplaçons a déformation dans la direction perpendiculaire à la force ($\epsilon_{\perp}$) en utilisant l'équation
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
Nous obtenons l'expression initiale :
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(15375, 0)