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Deformación elastica longitudinal
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Cuando se aplica una fuerza en la superficie de un cuerpo, se origina una región donde el material experimenta compresión o expansión, generando un desplazamiento en la misma dirección que el vector normal de la superficie. Este fenómeno es conocido como deformación longitudinal.
ID:(325, 0)
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Ecuaciones
$ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$
e = u / L
$ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $
e_e =- nu * e
$ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$
e_i = du_i / dx_i
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$
sigma = F / S
$ \sigma_i = E \epsilon_i $
s_i = E * e_i
$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$
U = E * e ^2/2
$ V = S L $
V = S * L
$ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$
w = E *( e ^2+2* e_e ^2 + nu*( e + 2* e_e )^2/(1-2* nu ))/(2*(1+ nu ))
$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$
W = V * E * e ^2/2
$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$
W = V * E * sigma ^2/2
$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$
w = W / V
ID:(15371, 0)
Fuerza de Hooke de un objeto
Ecuación
Ya que la Ley de Hooke relaciona la fuerza elástica ($F_k$) a través de la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la manera siguiente:
| $ F_k = k u $ |
es posible sustituir la constante de Hooke ($k$) por la expresión microscópica y utilizando la definición de el módulo de Elasticidad ($E$), se obtiene con el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$) que:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Con la Ley de Hooke para la fuerza elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la siguiente forma:
| $ F_k = k u $ |
y la expresión para la constante de Hooke ($k$) en función de el largo del cuerpo ($L$), la sección del elemento ($S$), el largo del resorte microscópico ($l$), la sección del resorte microscópico ($s$) y la constante de Hook microscópica ($k_m$):
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
combinada con la expresión para el módulo de Elasticidad ($E$):
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
el resultado es:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)
Deformación
Ecuación
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
En este caso, la proporción entre la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$) está representada por la deformación ($\epsilon$), que se puede definir de la siguiente manera:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ID:(3762, 0)
Deformación como continuo
Ecuación
En general, la deformación ($\epsilon$) se define como la variación de la elongación ($u$) en relación a el largo del cuerpo ($L$):
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
Este concepto puede generalizarse en el límite microscópico, donde se introduce la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) como la variación del desplazamiento en i ($\partial u_i$) sobre el largo de un elemento en i ($\partial x_i$) en la dirección $i$, de la siguiente manera:
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
La razón por la cual se utiliza una letra diferente para denotar el diferencial
$d \rightarrow \partial$
es que existen varios diferenciales que afectan diferentes variables en el modelo. El uso de la letra $\partial$ indica que se debe realizar una variación a la vez, es decir, cuando se considera una de las variables, las demás se asumen con sus valores iniciales.
ID:(3763, 0)
Tensión
Ecuación
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
De manera similar, al igual que se introduce la deformación ($\epsilon$) para evitar el uso de la dimensión el largo del cuerpo ($L$), podemos construir un factor que exprese la fuerza elástica ($F_k$) en función de la sección del elemento ($S$) como la tensión ($\sigma$).
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
ID:(3210, 0)
Ley de Hooke en el limite continuo
Ecuación
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Esta función puede ser reescrita utilizando las definiciones de la tensión ($\sigma$) y la deformación ($\epsilon$), lo que nos lleva a la versión continua de la Ley de Hooke:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
La fuerza elástica ($F_k$) es una función que depende de el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$) y el largo del cuerpo ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Esta función se puede expresar mediante la definición de la tensión ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
y la definición de la deformación ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
resultando en
| $ \sigma = E \epsilon $ |
ID:(8100, 0)
Ley de Hooke continua por dirección
Ecuación
La ley de Hooke para tensión ($\sigma$), modulo de elasticidad ($E$) y deformación ($\epsilon$) está expresada como:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Esta ley puede generalizarse para la tensión en el eje $i$ ($\sigma_i$) y la deformación en la coordenada $i$ ($\epsilon_i$) de la siguiente manera:
| $ \sigma_i = E \epsilon_i $ |
ID:(3764, 0)
Volumen del cuerpo
Ecuación
La masa total el volumen ($V$) del cuerpo se calcula utilizando la sección del elemento ($S$) y el largo del cuerpo ($L$):
| $ V = S L $ |
ID:(15374, 0)
Energía de deformación
Ecuación
Al igual que en un resorte, la deformación de un material requiere energía. La energía el trabajo ($W$) necesaria para comprimir o expandir el material se calcula como la integral de la fuerza elástica ($F_k$) a lo largo del camino $ds$ durante la deformación:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
En el caso de la Ley de Hooke continua, esto se reduce a:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Si utilizamos la ecuación para calcular el trabajo ($W$) como la integral de la fuerza elástica ($F_k$) a lo largo del camino durante la deformación:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
y empleamos la ecuación para la fuerza elástica ($F_k$) con el módulo de Elasticidad ($E$), la sección del elemento ($S$), la elongación ($u$), el largo del cuerpo ($L$) y la elongación ($u$)
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
donde sumamos a lo largo del camino recorrido. En el caso de una deformación elástica, la relación es lineal y se convierte en:
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Esto nos lleva a:
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
Al utilizar la ecuación para la deformación ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
y la ecuación para el volumen ($V$)
| $ V = S L $ |
obtenemos:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
ID:(3206, 0)
Energía de deformación y tensión
Ecuación
Como la energía de deformación ($W$) está relacionado con el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$), se expresa como:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Usando la Ley de Hooke, podemos reemplazar la deformación ($\epsilon$) en función de la tensión ($\sigma$), lo que nos lleva a:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
Dado que la energía de deformación ($W$) está relacionado con el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) de la siguiente manera:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Si reemplazamos la deformación ($\epsilon$) con la tensión ($\sigma$) en la ecuación:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Obtenemos:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
ID:(3790, 0)
Densidad de energía
Ecuación
Para la energía de deformación ($W$) que está contenida en un volumen ($V$), podemos definir la densidad de energía de deformación ($w$) como:
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
ID:(3770, 0)
Densidad de energía potencial
Ecuación
La energía de deformación ($W$) en función de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) es igual a
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Así que si dividimos por el volumen ($V$), obtenemos la densidad de energía de deformación ($w$), que se define como
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
La energía de deformación ($W$) se expresa en función de el volumen ($V$), el módulo de Elasticidad ($E$) y la deformación ($\epsilon$) de la siguiente manera:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Y con la densidad de energía de deformación ($w$) definido como:
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
Obtenemos:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(8104, 0)
Coeficiente de Poisson
Ecuación
La deformación lateral es directamente proporcional a la deformación que la causa. El coeficiente de proporcionalidad se denota como el coeficiente de Poisson ($\nu$) [1] y generalmente cae en el rango de 0.15 a 0.4.
Si la deformación original es la deformación ($\epsilon$) y la generada es la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), se establece la siguiente relación:
En la aproximación lineal, el coeficiente de Poisson representa la relación entre las deformaciones lateral y longitudinal.
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
donde el signo indica que la deformación es en dirección opuesta a la que la causa.
[1] Este concepto fue introducido por Siméon Denis Poisson en un trabajo de análisis estadístico en el que, entre otros temas no relacionados con la mecánica, menciona lo que posteriormente se denominó coeficiente de Poisson en un ejemplo de elasticidad. El trabajo se titula "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile" (Investigaciones sobre la Probabilidad de los Juicios en Materias Criminales y Civiles), escrito por Siméon Denis Poisson (1837).
ID:(3765, 0)
Densidad de energía potencial general
Ecuación
densidad de energía elástica ($U$) as a function of modulo de elasticidad ($E$) and deformación ($\epsilon$) is equal to
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
This equation expresses densidad de energía elástica ($U$) without considering la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), which is associated with deformación ($\epsilon$) through the Poisson's coefficient. densidad de energía elástica ($U$) can be expressed as a function of deformación ($\epsilon$) and la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$) using the following equation:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
densidad de energía elástica ($U$) con modulo de elasticidad ($E$), deformación ($\epsilon$), la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$), y el coeficiente de Poisson ($\nu$) se expresa como:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
Si reemplazamos la deformación en la dirección perpendicular a la fuerza ($\epsilon_{\perp}$) utilizando la ecuación
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
Obtenemos la expresión inicial:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
que se reduce a la expresion anterior para el caso de usar la relación del coeficiente de Poisson.
ID:(15375, 0)