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Deformación elastica transversal

Storyboard

Cuando se aplica un torque en la superficie de un cuerpo, se crea simultáneamente una zona donde el material se comprime y otra donde se expande, dando lugar a un movimiento perpendicular al vector normal de la superficie. Esto es lo que se conoce como deformación transversal.

>Modelo

ID:(2064, 0)

Mecanismos

Iframe

>Top

Conocimiento

Código

Concepto

Mecanismos

ID:(15372, 0)

Modelo

Top

>Top

Parámetros

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\nu$

Coeficiente de Poisson

$G$

Módulo de cizalla

$E$

Módulo de Elasticidad

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$\gamma$

gamma

Ángulo de torsión

rad

$\gamma_3$

gamma_3

Ángulo por cizalla en el plano $xy$

rad

$\gamma_1$

gamma_1

Angulo por cizalla en el plano $yz$

rad

$\gamma_2$

gamma_2

Angulo por cizalla en el plano $zx$

rad

$\epsilon_1$

e_1

Deformación de la coordenada $x$

$\epsilon_2$

e_2

Deformación de la coordenada $y$

$\epsilon_3$

e_3

Deformación de la coordenada $z$

$w$

Densidad de energía de deformación

$W$

Energía de deformación

$\sigma_1$

sigma_1

Tensión en el eje $x$

$\sigma_2$

sigma_2

Tensión en el eje $y$

$\sigma_3$

sigma_3

Tensión en el eje $z$

$\tau$

tau

Torsión

$\tau_1$

tau_1

Torsión en el eje $x$

$\tau_2$

tau_2

Torsión en el eje $y$

$\tau_3$

tau_3

Torsión en el eje $z$

$V$

Volumen

m^3

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

Ecuación

$ E =2 G (1+ \nu )$

E =2* G *(1+ nu )

$ \tau = G \gamma $

tau = G * gamma

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2$

W = V * G * g^2/2

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2$

W = V * t ^2/(2* G )

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G )

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)

ID:(15373, 0)

Ley de Hooke para el caso de cizalla

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de cizalla la deformación no se asocia a dilatar o comprimir si no que a desfasar lateralmente las caras de un cubo. La cizalla por ello se describe con el ángulo \gamma con que se logra rotar la cara perpendicular a las superficies desplazadas. En analogía a la ley de Hook para la compresión y dilatación se tiene la relación entre torsión \tau y ángulo \gamma:

$ \tau = G \gamma $

$\gamma$

Ángulo de torsión

$rad$

5367

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$\tau$

Torsión

$Pa$

5366

donde G es el llamado módulo de cizalla.

ID:(3771, 0)

Módulo de cizalla

Ecuación

>Top, >Modelo

El módulo de cizalla G se relaciona con el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson
u mediante

$ E =2 G (1+ \nu )$

$\nu$

Coeficiente de Poisson

$-$

5365

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$E$

Módulo de Elasticidad

$Pa$

5357

donde G es el llamado módulo de cizalla.

ID:(3772, 0)

Energía de Cizalla

Ecuación

>Top, >Modelo

En analogía la energía por deformación, la energía por cizalla es proporcional al ángulo cizalla \gamma al cuadrado siendo la constante en este caso el módulo de cizalla:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2$

$\gamma$

Ángulo de torsión

$rad$

5367

$W$

Energía de deformación

$J$

5368

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(3789, 0)

Energía de cizalla y torsión

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la energía de deformación es

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

con la ley de Hook para materiales

$\tau=G\gamma$

se obtiene:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2$

$W$

Energía de deformación

$J$

5368

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$\tau$

Torsión

$Pa$

5366

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(3791, 0)

Energía de deformación y cizalla

Ecuación

>Top, >Modelo

La relación de la energía W, el volumen V, el modulo de elasticidad E y deformación \epsilon

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE\epsilon^2$

y la energía de cizalla con el ángulo \gamma y modulo de cizalla

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

se puede generalizar para el caso de tres dimensiones:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

$\gamma_3$

Ángulo por cizalla en el plano $xy$

$rad$

5374

$\gamma_1$

Angulo por cizalla en el plano $yz$

$rad$

5372

$\gamma_2$

Angulo por cizalla en el plano $zx$

$rad$

5373

$\epsilon_1$

Deformación de la coordenada $x$

$-$

5369

$\epsilon_2$

Deformación de la coordenada $y$

$-$

5370

$\epsilon_3$

Deformación de la coordenada $z$

$-$

5371

$W$

Energía de deformación

$J$

5368

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$E$

Módulo de Elasticidad

$Pa$

5357

$V$

Volumen

$m^3$

5226

en donde \epsilon_i representa la deformación en cada eje.

ID:(3766, 0)

Energía de tensión y torsión

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la relación de la energía W, el volumen V, el modulo de elasticidad E y deformaciones \epsilon_i

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE(\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2)$

y la ley de Hook para el material continuo

$\sigma_i=E\epsilon_i$

se puede escribir la energía en función de la tensión

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

$W$

Energía de deformación

$J$

5368

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$E$

Módulo de Elasticidad

$Pa$

5357

$\sigma_1$

Tensión en el eje $x$

$Pa$

5380

$\sigma_2$

Tensión en el eje $y$

$Pa$

5381

$\sigma_3$

Tensión en el eje $z$

$Pa$

5382

$\tau_1$

Torsión en el eje $x$

$Pa$

5383

$\tau_2$

Torsión en el eje $y$

$Pa$

5384

$\tau_3$

Torsión en el eje $z$

$Pa$

5385

$V$

Volumen

$m^3$

5226

en donde \epsilon_i representa la deformación en cada eje.

ID:(3767, 0)

Densidad de energía de deformación y cizalla

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la energía W es

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

donde V es el volumen, E el modulo de elasticidad y \epsilon_i la deformación, se puede calcular la densidad de energía

$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$

por lo que se tiene:

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

$\gamma_3$

Ángulo por cizalla en el plano $xy$

$rad$

5374

$\gamma_1$

Angulo por cizalla en el plano $yz$

$rad$

5372

$\gamma_2$

Angulo por cizalla en el plano $zx$

$rad$

5373

$\epsilon_1$

Deformación de la coordenada $x$

$-$

5369

$\epsilon_2$

Deformación de la coordenada $y$

$-$

5370

$\epsilon_3$

Deformación de la coordenada $z$

$-$

5371

$W$

Densidad de energía de deformación

$J/m^3$

5375

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$E$

Módulo de Elasticidad

$Pa$

5357

en donde \epsilon_i representa la deformación en cada eje.

ID:(3768, 0)

Densidad de energía de tensión y torsión

Ecuación

>Top, >Modelo

Como la energía W es

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

donde V es el volumen, E el modulo de elasticidad y \sigma_i la tensión, se puede calcular la densidad de energía

$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$

por lo que se tiene:

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

$W$

Densidad de energía de deformación

$J/m^3$

5375

$G$

Módulo de cizalla

$Pa$

5364

$E$

Módulo de Elasticidad

$Pa$

5357

$\sigma_1$

Tensión en el eje $x$

$Pa$

5380

$\sigma_2$

Tensión en el eje $y$

$Pa$

5381

$\sigma_3$

Tensión en el eje $z$

$Pa$

5382

$\tau_1$

Torsión en el eje $x$

$Pa$

5383

$\tau_2$

Torsión en el eje $y$

$Pa$

5384

$\tau_3$

Torsión en el eje $z$

$Pa$

5385

en donde \epsilon_i representa la deformación en cada eje.

ID:(3769, 0)