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Elastische Querverformung

Storyboard

Wenn ein Drehmoment auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht gleichzeitig ein Bereich, in dem das Material komprimiert wird, und ein anderer Bereich, in dem es sich ausdehnt. Dies führt zu einer Bewegung, die senkrecht zum Normalenvektor der Oberfläche verläuft. Dieses Phänomen wird als Querdeformation bezeichnet.

>Modell

ID:(2064, 0)



Mechanismen

Iframe

>Top



Code
Konzept

Mechanismen

ID:(15372, 0)



Modell

Top

>Top



Parameter

Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
E
E
Elastizitätsmodul
Pa
\nu
nu
Poisson Koeffizient
-
G
G
Schermodul
Pa

Variablen

Symbol
Text
Variable
Wert
Einheiten
Berechnen
MKS-Wert
MKS-Einheiten
\tau
tau
Drehmoment
Pa
\gamma
gamma
Drehwinkel
rad
\gamma_3
gamma_3
Scherwinkel in der xy-Ebene
rad
\gamma_1
gamma_1
Scherwinkel in der yz-Ebene
rad
\gamma_2
gamma_2
Scherwinkel in der zx-Ebene
rad
\sigma_1
sigma_1
Spannung auf der Achse x
Pa
\sigma_2
sigma_2
Spannung auf der Achse y
Pa
\sigma_3
sigma_3
Spannung auf der Achse z
Pa
\tau_1
tau_1
Torsion in der x-Achse
Pa
\tau_2
tau_2
Torsion in der y-Achse
Pa
\tau_3
tau_3
Torsion in der z-Achse
Pa
\epsilon_1
e_1
Verformung der Koordinate x
-
\epsilon_2
e_2
Verformung des Koordinaten y
-
\epsilon_3
e_3
Verformung des Koordinaten z
-
W
W
Verformungsenergie
J
w
w
Verformungsenergiedichte
V
V
Volumen
m^3

Berechnungen


Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu
E =2* G *(1+ nu ) tau = G * gamma w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G ) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Berechnungen

Symbol
Gleichung
Gelöst
Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden
E =2* G *(1+ nu ) tau = G * gamma w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G ) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV




Gleichungen

#
Gleichung

E =2 G (1+ \nu )

E =2* G *(1+ nu )


\tau = G \gamma

tau = G * gamma


w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)

w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2


w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)

w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2


W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2

W = V * G * g^2/2


W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2

W = V * t ^2/(2* G )


W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)

W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G )


W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)

W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)

ID:(15373, 0)



Hooke Gesetz für den Scher Fall

Gleichung

>Top, >Modell


Bei Scherung geht die Verformung nicht mit einer Dehnung oder Stauchung einher, sondern mit einem seitlichen Versatz der Würfelflächen. Die Scherung wird daher durch den Winkel \gamma beschrieben, mit dem es möglich ist, die Fläche senkrecht zu den verschobenen Flächen zu drehen. In Analogie zum Hook'schen Gesetz für Stauchung und Dehnung haben wir den Zusammenhang zwischen Torsion \tau und Winkel \gamma:

\tau = G \gamma

\tau
Drehmoment
Pa
5366
\gamma
Drehwinkel
rad
5367
G
Schermodul
Pa
5364
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

ID:(3771, 0)



Schubmodul

Gleichung

>Top, >Modell


Der Schubmodul G hängt mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl
u
zusammen

E =2 G (1+ \nu )

E
Elastizitätsmodul
Pa
5357
\nu
Poisson Koeffizient
-
5365
G
Schermodul
Pa
5364
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

ID:(3772, 0)



Scherenergie

Gleichung

>Top, >Modell


Analog zur Dehnungsenergie ist die Scherenergie proportional zum Quadrat des Scherwinkels \gamma, wobei die Konstante in diesem Fall der Schubmodul ist:

W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2

\gamma
Drehwinkel
rad
5367
G
Schermodul
Pa
5364
W
Verformungsenergie
J
5368
V
Volumen
m^3
5226
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

ID:(3789, 0)



Energie Scheren und Torsion

Gleichung

>Top, >Modell


Da die Dehnungsenergie ist

W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2



mit dem Hookschen Gesetz für Materialien

\tau=G\gamma



erhält man:

W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2

\tau
Drehmoment
Pa
5366
G
Schermodul
Pa
5364
W
Verformungsenergie
J
5368
V
Volumen
m^3
5226
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

ID:(3791, 0)



Verformung und Scherenergie

Gleichung

>Top, >Modell


Das Verhältnis von Energie W, Volumen V, Elastizitätsmodul E und Dehnung \epsilon

W=\displaystyle\frac{1}{2}VE\epsilon^2



und die Scherenergie mit Winkel \gamma und Schubmodul

W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2



lässt sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern:

W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)

E
Elastizitätsmodul
Pa
5357
G
Schermodul
Pa
5364
\gamma_3
Scherwinkel in der xy-Ebene
rad
5374
\gamma_1
Scherwinkel in der yz-Ebene
rad
5372
\gamma_2
Scherwinkel in der zx-Ebene
rad
5373
\epsilon_1
Verformung der Koordinate x
-
5369
\epsilon_2
Verformung des Koordinaten y
-
5370
\epsilon_3
Verformung des Koordinaten z
-
5371
W
Verformungsenergie
J
5368
V
Volumen
m^3
5226
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3766, 0)



Spannung und Torsion Energie

Gleichung

>Top, >Modell


Mit dem Zusammenhang von Energie W, Volumen V, Elastizitätsmodul E und Verformungen \epsilon_i

W=\displaystyle\frac{1}{2}VE(\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2)



und Hooksches Gesetz für kontinuierliches Material

\sigma_i=E\epsilon_i



Energie kann als Funktion der Spannung geschrieben werden

W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)

E
Elastizitätsmodul
Pa
5357
G
Schermodul
Pa
5364
\sigma_1
Spannung auf der Achse x
Pa
5380
\sigma_2
Spannung auf der Achse y
Pa
5381
\sigma_3
Spannung auf der Achse z
Pa
5382
\tau_1
Torsion in der x-Achse
Pa
5383
\tau_2
Torsion in der y-Achse
Pa
5384
\tau_3
Torsion in der z-Achse
Pa
5385
W
Verformungsenergie
J
5368
V
Volumen
m^3
5226
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3767, 0)



Dehnungsenergiedichte und Scher

Gleichung

>Top, >Modell


Da die Energie W ist

W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)



wobei V das Volumen, E der Elastizitätsmodul und \epsilon_i die Dehnung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

w =\displaystyle\frac{ W }{ V }



Also hat man:

w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)

E
Elastizitätsmodul
Pa
5357
G
Schermodul
Pa
5364
\gamma_3
Scherwinkel in der xy-Ebene
rad
5374
\gamma_1
Scherwinkel in der yz-Ebene
rad
5372
\gamma_2
Scherwinkel in der zx-Ebene
rad
5373
\epsilon_1
Verformung der Koordinate x
-
5369
\epsilon_2
Verformung des Koordinaten y
-
5370
\epsilon_3
Verformung des Koordinaten z
-
5371
W
Verformungsenergiedichte
J/m^3
5375
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3768, 0)



Energiedichte Spannung und Torsion

Gleichung

>Top, >Modell


Da die Energie W ist

W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)



wobei V das Volumen, E der Elastizitätsmodul und \sigma_i die Spannung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

w =\displaystyle\frac{ W }{ V }



Also hat man:

w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)

E
Elastizitätsmodul
Pa
5357
G
Schermodul
Pa
5364
\sigma_1
Spannung auf der Achse x
Pa
5380
\sigma_2
Spannung auf der Achse y
Pa
5381
\sigma_3
Spannung auf der Achse z
Pa
5382
\tau_1
Torsion in der x-Achse
Pa
5383
\tau_2
Torsion in der y-Achse
Pa
5384
\tau_3
Torsion in der z-Achse
Pa
5385
W
Verformungsenergiedichte
J/m^3
5375
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2) W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G ) w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2 w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2 tau = G * gamma E =2* G *(1+ nu ) W = V * G * g^2/2 W = V * t ^2/(2* G )taugammaEnuGgamma_3gamma_1gamma_2sigma_1sigma_2sigma_3tau_1tau_2tau_3e_1e_2e_3WwV

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3769, 0)