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Elastische Querverformung

Storyboard

Wenn ein Drehmoment auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht gleichzeitig ein Bereich, in dem das Material komprimiert wird, und ein anderer Bereich, in dem es sich ausdehnt. Dies führt zu einer Bewegung, die senkrecht zum Normalenvektor der Oberfläche verläuft. Dieses Phänomen wird als Querdeformation bezeichnet.

>Modell

ID:(2064, 0)

Mechanismen

Iframe

>Top

Wissen

Code

Konzept

Mechanismen

ID:(15372, 0)

Modell

Top

>Top

Parameter

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$E$

Elastizitätsmodul

$\nu$

Poisson Koeffizient

$G$

Schermodul

Variablen

Symbol

Text

Variable

Wert

Einheiten

Berechnen

MKS-Wert

MKS-Einheiten

$\tau$

tau

Drehmoment

$\gamma$

gamma

Drehwinkel

rad

$\gamma_3$

gamma_3

Scherwinkel in der $xy$-Ebene

rad

$\gamma_1$

gamma_1

Scherwinkel in der $yz$-Ebene

rad

$\gamma_2$

gamma_2

Scherwinkel in der $zx$-Ebene

rad

$\sigma_1$

sigma_1

Spannung auf der Achse $x$

$\sigma_2$

sigma_2

Spannung auf der Achse $y$

$\sigma_3$

sigma_3

Spannung auf der Achse $z$

$\tau_1$

tau_1

Torsion in der $x$-Achse

$\tau_2$

tau_2

Torsion in der $y$-Achse

$\tau_3$

tau_3

Torsion in der $z$-Achse

$\epsilon_1$

e_1

Verformung der Koordinate $x$

$\epsilon_2$

e_2

Verformung des Koordinaten $y$

$\epsilon_3$

e_3

Verformung des Koordinaten $z$

$W$

Verformungsenergie

$w$

Verformungsenergiedichte

$V$

Volumen

m^3

Berechnungen

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen:

, dann die Variable auswählen:

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable

Gegeben

Berechnen

Ziel :

Gleichung

Zu verwenden

Gleichungen

Gleichung

$ E =2 G (1+ \nu )$

E =2* G *(1+ nu )

$ \tau = G \gamma $

tau = G * gamma

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2$

W = V * G * g^2/2

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2$

W = V * t ^2/(2* G )

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G )

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)

ID:(15373, 0)

Hooke Gesetz für den Scher Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Bei Scherung geht die Verformung nicht mit einer Dehnung oder Stauchung einher, sondern mit einem seitlichen Versatz der Würfelflächen. Die Scherung wird daher durch den Winkel \gamma beschrieben, mit dem es möglich ist, die Fläche senkrecht zu den verschobenen Flächen zu drehen. In Analogie zum Hook'schen Gesetz für Stauchung und Dehnung haben wir den Zusammenhang zwischen Torsion \tau und Winkel \gamma:

$ \tau = G \gamma $

$\tau$

Drehmoment

$Pa$

5366

$\gamma$

Drehwinkel

$rad$

5367

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

ID:(3771, 0)

Schubmodul

Gleichung

>Top, >Modell

Der Schubmodul G hängt mit dem Elastizitätsmodul E und der Querkontraktionszahl
u zusammen

$ E =2 G (1+ \nu )$

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$\nu$

Poisson Koeffizient

$-$

5365

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

wobei G der sogenannte Schubmodul ist.

ID:(3772, 0)

Scherenergie

Gleichung

>Top, >Modell

Analog zur Dehnungsenergie ist die Scherenergie proportional zum Quadrat des Scherwinkels \gamma, wobei die Konstante in diesem Fall der Schubmodul ist:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2$

$\gamma$

Drehwinkel

$rad$

5367

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$W$

Verformungsenergie

$J$

5368

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(3789, 0)

Energie Scheren und Torsion

Gleichung

>Top, >Modell

Da die Dehnungsenergie ist

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

mit dem Hookschen Gesetz für Materialien

$\tau=G\gamma$

erhält man:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2$

$\tau$

Drehmoment

$Pa$

5366

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$W$

Verformungsenergie

$J$

5368

$V$

Volumen

$m^3$

5226

ID:(3791, 0)

Verformung und Scherenergie

Gleichung

>Top, >Modell

Das Verhältnis von Energie W, Volumen V, Elastizitätsmodul E und Dehnung \epsilon

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE\epsilon^2$

und die Scherenergie mit Winkel \gamma und Schubmodul

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2$

lässt sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern:

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$\gamma_3$

Scherwinkel in der $xy$-Ebene

$rad$

5374

$\gamma_1$

Scherwinkel in der $yz$-Ebene

$rad$

5372

$\gamma_2$

Scherwinkel in der $zx$-Ebene

$rad$

5373

$\epsilon_1$

Verformung der Koordinate $x$

$-$

5369

$\epsilon_2$

Verformung des Koordinaten $y$

$-$

5370

$\epsilon_3$

Verformung des Koordinaten $z$

$-$

5371

$W$

Verformungsenergie

$J$

5368

$V$

Volumen

$m^3$

5226

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3766, 0)

Spannung und Torsion Energie

Gleichung

>Top, >Modell

Mit dem Zusammenhang von Energie W, Volumen V, Elastizitätsmodul E und Verformungen \epsilon_i

$W=\displaystyle\frac{1}{2}VE(\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2)$

und Hooksches Gesetz für kontinuierliches Material

$\sigma_i=E\epsilon_i$

Energie kann als Funktion der Spannung geschrieben werden

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$\sigma_1$

Spannung auf der Achse $x$

$Pa$

5380

$\sigma_2$

Spannung auf der Achse $y$

$Pa$

5381

$\sigma_3$

Spannung auf der Achse $z$

$Pa$

5382

$\tau_1$

Torsion in der $x$-Achse

$Pa$

5383

$\tau_2$

Torsion in der $y$-Achse

$Pa$

5384

$\tau_3$

Torsion in der $z$-Achse

$Pa$

5385

$W$

Verformungsenergie

$J$

5368

$V$

Volumen

$m^3$

5226

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3767, 0)

Dehnungsenergiedichte und Scher

Gleichung

>Top, >Modell

Da die Energie W ist

$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

wobei V das Volumen, E der Elastizitätsmodul und \epsilon_i die Dehnung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$

Also hat man:

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)$

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$\gamma_3$

Scherwinkel in der $xy$-Ebene

$rad$

5374

$\gamma_1$

Scherwinkel in der $yz$-Ebene

$rad$

5372

$\gamma_2$

Scherwinkel in der $zx$-Ebene

$rad$

5373

$\epsilon_1$

Verformung der Koordinate $x$

$-$

5369

$\epsilon_2$

Verformung des Koordinaten $y$

$-$

5370

$\epsilon_3$

Verformung des Koordinaten $z$

$-$

5371

$W$

Verformungsenergiedichte

$J/m^3$

5375

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3768, 0)

Energiedichte Spannung und Torsion

Gleichung

>Top, >Modell

Da die Energie W ist

$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

wobei V das Volumen, E der Elastizitätsmodul und \sigma_i die Spannung ist, kann die Energiedichte berechnet werden

$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$

Also hat man:

$ w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)$

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$G$

Schermodul

$Pa$

5364

$\sigma_1$

Spannung auf der Achse $x$

$Pa$

5380

$\sigma_2$

Spannung auf der Achse $y$

$Pa$

5381

$\sigma_3$

Spannung auf der Achse $z$

$Pa$

5382

$\tau_1$

Torsion in der $x$-Achse

$Pa$

5383

$\tau_2$

Torsion in der $y$-Achse

$Pa$

5384

$\tau_3$

Torsion in der $z$-Achse

$Pa$

5385

$W$

Verformungsenergiedichte

$J/m^3$

5375

wobei \epsilon_i die Verformung in jeder Achse darstellt.

ID:(3769, 0)