
Elastische Querverformung
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Wenn ein Drehmoment auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht gleichzeitig ein Bereich, in dem das Material komprimiert wird, und ein anderer Bereich, in dem es sich ausdehnt. Dies führt zu einer Bewegung, die senkrecht zum Normalenvektor der Oberfläche verläuft. Dieses Phänomen wird als Querdeformation bezeichnet.
ID:(2064, 0)

Modell
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Parameter

Variablen

Berechnungen




Berechnungen
Berechnungen







Gleichungen
E =2 G (1+ \nu )
E =2* G *(1+ nu )
\tau = G \gamma
tau = G * gamma
w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) \displaystyle\frac{1}{2} G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)
w = E *( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)/2 + G *( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)/2
w =\displaystyle\frac{1}{2} E ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+ \displaystyle\frac{1}{2 G }( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)
w = E *( s_1 ^2+ s_2 ^2+ s_3 ^2)/2 + G *( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/2
W =\displaystyle\frac{1}{2} V G \gamma ^2
W = V * G * g^2/2
W =\displaystyle\frac{1}{2 G } V \tau ^2
W = V * t ^2/(2* G )
W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2)
W = V *( s_1 ^2 + s_2 ^2 + s_3 ^2)/(2* E )+ V * ( t_1 ^2+ t_2 ^2+ t_3 ^2)/(2* G )
W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2)
W =( V * E /2)( e_1 ^2+ e_2 ^2+ e_3 ^2)+( V * G/2)( g_1 ^2+ g_2 ^2+ g_3 ^2)
ID:(15373, 0)

Hooke Gesetz für den Scher Fall
Gleichung 
Bei Scherung geht die Verformung nicht mit einer Dehnung oder Stauchung einher, sondern mit einem seitlichen Versatz der Würfelflächen. Die Scherung wird daher durch den Winkel
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wobei
ID:(3771, 0)

Schubmodul
Gleichung 
Der Schubmodul
u
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wobei
ID:(3772, 0)

Scherenergie
Gleichung 
Analog zur Dehnungsenergie ist die Scherenergie proportional zum Quadrat des Scherwinkels
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ID:(3789, 0)

Energie Scheren und Torsion
Gleichung 
Da die Dehnungsenergie ist
W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2
mit dem Hookschen Gesetz für Materialien
\tau=G\gamma
erhält man:
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ID:(3791, 0)

Verformung und Scherenergie
Gleichung 
Das Verhältnis von Energie
W=\displaystyle\frac{1}{2}VE\epsilon^2
und die Scherenergie mit Winkel
W=\displaystyle\frac{1}{2}VG\gamma^2
lässt sich auf den dreidimensionalen Fall verallgemeinern:
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wobei
ID:(3766, 0)

Spannung und Torsion Energie
Gleichung 
Mit dem Zusammenhang von Energie
W=\displaystyle\frac{1}{2}VE(\epsilon_1^2+\epsilon_2^2+\epsilon_3^2)
und Hooksches Gesetz für kontinuierliches Material
\sigma_i=E\epsilon_i
Energie kann als Funktion der Spannung geschrieben werden
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wobei
ID:(3767, 0)

Dehnungsenergiedichte und Scher
Gleichung 
Da die Energie
W =\displaystyle\frac{1}{2} V E ( \epsilon_1 ^2+ \epsilon_2 ^2+ \epsilon_3 ^2) +\displaystyle\frac{1}{2} V G ( \gamma_1 ^2+ \gamma_2 ^2+ \gamma_3 ^2) |
wobei
w =\displaystyle\frac{ W }{ V } |
Also hat man:
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wobei
ID:(3768, 0)

Energiedichte Spannung und Torsion
Gleichung 
Da die Energie
W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V ( \sigma_1 ^2+ \sigma_2 ^2+ \sigma_3 ^2)+\displaystyle\frac{1}{2 G } V ( \tau_1 ^2+ \tau_2 ^2+ \tau_3 ^2) |
wobei
w =\displaystyle\frac{ W }{ V } |
Also hat man:
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wobei
ID:(3769, 0)