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Elastische Längsverformung
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Wenn eine Kraft auf die Oberfläche eines Körpers ausgeübt wird, entsteht eine Zone, in der das Material komprimiert oder expandiert, was zu einer Bewegung parallel zum Normalenvektor der Oberfläche führt. Dies wird als longitudinale Deformation bezeichnet.
ID:(325, 0)
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Gleichungen
$ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$
e = u / L
$ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $
e_e =- nu * e
$ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$
e_i = du_i / dx_i
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ \sigma = E \epsilon $
sigma = E * epsilon
$ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$
sigma = F / S
$ \sigma_i = E \epsilon_i $
s_i = E * e_i
$ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$
U = E * e ^2/2
$ V = S L $
V = S * L
$ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$
w = E *( e ^2+2* e_e ^2 + nu*( e + 2* e_e )^2/(1-2* nu ))/(2*(1+ nu ))
$ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$
W = V * E * e ^2/2
$ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$
W = V * E * sigma ^2/2
$ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$
w = W / V
ID:(15371, 0)
Hooke-Kraft eines Objekts
Gleichung
Da das Hookesche Gesetz die Federkraft ($F_k$) durch die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) auf folgende Weise in Beziehung setzt:
| $ F_k = k u $ |
kann man die Hookes Konstante ($k$) durch den mikroskopischen Ausdruck ersetzen und unter Verwendung der Definition von der Elastizitätsmodul ($E$) ergibt sich mit der Körperlänge ($L$) und die Körper Sektion ($S$), dass:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Mit dem Hookeschen Gesetz für die Federkraft ($F_k$), die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) wie folgt:
| $ F_k = k u $ |
und dem Ausdruck für die Hookes Konstante ($k$) in Bezug auf der Körperlänge ($L$), die Körper Sektion ($S$), der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$), die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$):
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
in Kombination mit dem Ausdruck für der Elastizitätsmodul ($E$):
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ergibt sich:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)
Verformung
Gleichung
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$).
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
In diesem Fall wird das Verhältnis zwischen die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) durch die Verformung ($\epsilon$) dargestellt, das wie folgt definiert werden kann:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ID:(3762, 0)
Verformung Continuum
Gleichung
Im Allgemeinen wird die Verformung ($\epsilon$) als die Veränderung von die Verlängerung ($u$) im Verhältnis zu der Körperlänge ($L$) definiert:
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
Dieses Konzept kann im mikroskopischen Grenzwert verallgemeinert werden, indem die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) als die Variation der Verschiebung in i ($\partial u_i$) über der Länge eines Elements in i ($\partial x_i$) in Richtung $i$ eingeführt wird, und es würde wie folgt ausgedrückt:
| $ \epsilon_i =\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }$ |
Der Grund für die Verwendung eines anderen Symbols, um das Differential auszudrücken
$d \rightarrow \partial$
ist, dass es verschiedene Differentiale gibt, die verschiedene Variablen im Modell beeinflussen. Die Verwendung des Symbols $\partial$ zeigt an, dass eine Variation nach der anderen durchgeführt werden sollte, was bedeutet, dass bei Betrachtung einer Variable die verbleibenden Variablen ihre Anfangswerte annehmen.
ID:(3763, 0)
Spannung
Gleichung
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abhängt.
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Ebenso, genau wie die Verformung ($\epsilon$) eingeführt wird, um die Verwendung der Dimension der Körperlänge ($L$) zu vermeiden, können wir einen Faktor konstruieren, der die Federkraft ($F_k$) in Abhängigkeit von die Körper Sektion ($S$) als die Spannung ($\sigma$) ausdrückt.
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F }{ S }$ |
ID:(3210, 0)
Hookesches Gesetz im kontinuierlichen Limes
Gleichung
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abhängt.
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Diese Funktion kann unter Verwendung der Definitionen von die Spannung ($\sigma$) und die Verformung ($\epsilon$) umgeschrieben werden, was zur kontinuierlichen Version des Hookschen Gesetzes führt:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Die Federkraft ($F_k$) ist eine Funktion, die von der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$) und der Körperlänge ($L$) abhängt.
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Diese Funktion kann unter Verwendung der Definition von die Spannung ($\sigma$)
| $ \sigma =\displaystyle\frac{ F_k }{ S }$ |
und der Definition von die Verformung ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
ausgedrückt werden, was zu
| $ \sigma = E \epsilon $ |
führt
ID:(8100, 0)
Hookesche Gesetz in richtungsabhängige Form
Gleichung
Das Hookesche Gesetz für Tensión ($\sigma$), Modulo de elasticidad ($E$) und Deformación ($\epsilon$) ist wie folgt ausgedrückt:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Dieses Gesetz kann für die Spannung auf der Achse $i$ ($\sigma_i$) und die Verformung in der Koordinaten $i$ ($\epsilon_i$) wie folgt verallgemeinert werden:
| $ \sigma_i = E \epsilon_i $ |
ID:(3764, 0)
Körpervolumen
Gleichung
Die Gesamtmasse der Volumen ($V$) des Körpers wird unter Verwendung von die Körper Sektion ($S$) und der Körperlänge ($L$) berechnet:
| $ V = S L $ |
ID:(15374, 0)
Spannungsenergie
Gleichung
Ähnlich wie bei einer Feder erfordert die Verformung eines Materials Energie. Die Energie der Arbeit ($W$), die benötigt wird, um das Material zu komprimieren oder zu expandieren, wird als das Integral von die Federkraft ($F_k$) entlang des Weges $ds$ während der Verformung berechnet:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Im Fall des kontinuierlichen Hooke'schen Gesetzes reduziert sich dies zu:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Wenn wir die Gleichung zur Berechnung von der Arbeit ($W$) als das Integral von die Federkraft ($F_k$) entlang des Pfads während der Verformung verwenden:
$W=\displaystyle\int_0^u \vec{F}\cdot d\vec{s}$
Und wir verwenden die Gleichung für die Federkraft ($F_k$) mit der Elastizitätsmodul ($E$), die Körper Sektion ($S$), die Verlängerung ($u$), der Körperlänge ($L$) und die Verlängerung ($u$)
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
wo wir entlang des zurückgelegten Pfads summieren. Im Falle einer elastischen Verformung ist die Beziehung linear und wird zu:
$W=\displaystyle\frac{ES}{L}\displaystyle\int_0^u d\vec{s}\cdot\vec{s}$
Dies führt zu:
$W=\displaystyle\frac{ES}{2L}u^2$
Durch Verwendung der Gleichung für die Verformung ($\epsilon$)
| $ \epsilon =\displaystyle\frac{ u }{ L }$ |
und der Gleichung für der Volumen ($V$)
| $ V = S L $ |
erhalten wir:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
ID:(3206, 0)
Energie Verformungs- und Spannungs
Gleichung
Da die Verformungsenergie ($W$) in Beziehung zu der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) steht, kann es wie folgt ausgedrückt werden:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Unter Verwendung des Hooke'schen Gesetzes können wir die Verformung ($\epsilon$) in Bezug auf die Spannung ($\sigma$) ersetzen, was zu folgendem führt:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
Da die Verformungsenergie ($W$) in Beziehung zu der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) wie folgt steht:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Wenn wir die Verformung ($\epsilon$) in der Gleichung durch die Spannung ($\sigma$) ersetzen:
| $ \sigma = E \epsilon $ |
Erhalten wir:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2 E } V \sigma ^2$ |
ID:(3790, 0)
Energiedichte
Gleichung
Für die Verformungsenergie ($W$), die in ein Volumen ($V$) enthalten ist, können wir die Verformungsenergiedichte ($w$) wie folgt definieren:
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
ID:(3770, 0)
Potenzielle Energiedichte
Gleichung
Die Verformungsenergie ($W$) in Abhängigkeit von der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) ist gleich
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Daher erhalten wir, wenn wir durch der Volumen ($V$) teilen, die Verformungsenergiedichte ($w$), das wie folgt definiert ist:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
Die Verformungsenergie ($W$) wird in Abhängigkeit von der Volumen ($V$), der Elastizitätsmodul ($E$) und die Verformung ($\epsilon$) wie folgt ausgedrückt:
| $ W =\displaystyle\frac{1}{2} V E \epsilon ^2$ |
Und mit die Verformungsenergiedichte ($w$) definiert als:
| $ w =\displaystyle\frac{ W }{ V }$ |
Erhalten wir:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(8104, 0)
Poissonzahl
Gleichung
Die seitliche Verformung steht direkt im Verhältnis zur Verformung, die sie verursacht. Der Proportionalitätskoeffizient wird als der Poisson Koeffizient ($\nu$) [1] bezeichnet und liegt normalerweise im Bereich von 0,15 bis 0,4.
Wenn die ursprüngliche Verformung die Verformung ($\epsilon$) beträgt und die erzeugte Verformung die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) ist, ergibt sich folgende Beziehung:
In der linearen Näherung repräsentiert der Poisson'sche Koeffizient das Verhältnis zwischen seitlichen und longitudinalen Verformungen.
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
wobei das Vorzeichen darauf hinweist, dass die Verformung in entgegengesetzter Richtung zur Ursache erfolgt.
[1] Dieses Konzept wurde von Siméon Denis Poisson in einer Arbeit zur statistischen Analyse eingeführt, in der er unter anderem Themen behandelt, die nichts mit Mechanik zu tun haben. Er erwähnt darin, was später als der Poisson'sche Koeffizient in einem Beispiel zur Elastizität bezeichnet wurde. Die Arbeit trägt den Titel "Recherches sur la Probabilité des Jugements en Matière Criminelle et en Matière Civile" (Forschungen zur Wahrscheinlichkeit von Urteilen in Straf- und Zivilsachen), verfasst von Siméon Denis Poisson (1837).
ID:(3765, 0)
Allgemeine potentielle Energiedichte
Gleichung
Densidad de energía elástica ($U$) als Funktion von Modulo de elasticidad ($E$) und Deformación ($\epsilon$) ist gleich
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
Diese Gleichung drückt Densidad de energía elástica ($U$) ohne Berücksichtigung von die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) aus, das durch den Poisson-Koeffizienten mit Deformación ($\epsilon$) verbunden ist. Densidad de energía elástica ($U$) kann als Funktion von Deformación ($\epsilon$) und die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) mit folgender Gleichung ausgedrückt werden:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
Densidad de energía elástica ($U$) mit Modulo de elasticidad ($E$), Deformación ($\epsilon$), die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) und der Poisson Koeffizient ($\nu$) wird wie folgt ausgedrückt:
| $ w =\displaystyle\frac{ E }{2(1+ \nu )}\left( \epsilon ^2+2 \epsilon_{\perp} ^2+\displaystyle\frac{ \nu }{1-2 \nu }( \epsilon +2 \epsilon_{\perp} )^2\right)$ |
Wenn wir die Verformung in Richtung senkrecht zur Kraft ($\epsilon_{\perp}$) durch die Gleichung ersetzen:
| $ \epsilon_{\perp} =- \nu \epsilon $ |
Erhalten wir den ursprünglichen Ausdruck:
| $ U =\displaystyle\frac{1}{2} E \epsilon ^2$ |
ID:(15375, 0)