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Resistencia
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El flujo en torno a un ala lleva la formación de torbellinos que según la forma y angulo del ala con respecto del flujo puede originar torbellinos en una sección de estos. Si se consideran elementos de volumen en torno del ala y se asume que se puede locamente asumir conservación de energía se tiene que las distintas velocidades llevaran a distintas presiones (Bernoulli) sobre la superficie.
La suma de todas las presiones sobre la superficie en la dirección de vuelo, tanto por delante del ala (fuerza hacia atrás) como detrás del ala (fuerza hacia adelante) llevan a una fuerza total que denominamos resistencia. Para poder impulsar un cuerpo (avión/ave) es necesario que la propulsión supere esta fuerza de resistencia.
ID:(464, 0)
Mecanismos
Concepto
Mecanismos
ID:(15180, 0)
Ala generando sustentación
Descripción
Al observar el flujo promedio alrededor de un ala, se puede notar que las líneas sobre el ala son más largas que las del lado inferior. En términos simplificados, se argumenta que debido a esta trayectoria más larga, se espera que la velocidad en la parte superior ($v_t$) sea mayor que la velocidad en la parte inferior ($v_b$), aunque ambos sean superiores a la velocidad respecto del medio ($v$).
Si la ley de Bernoulli es aplicable, la diferencia de velocidades resultaría en una diferencia de presiones que actúan sobre el ala. En particular, si la velocidad en la parte superior ($v_t$) es mayor, su correspondiente la presión en la parte superior del ala ($p_t$) sería menor que con la velocidad en la parte inferior ($v_b$) y su correspondiente la presión en la parte Inferior del ala ($p_b$). Esto implicaría la existencia de una la fuerza de sustentación ($F_L$) debido al efecto de esta diferencia de presión.
Sin embargo, como se ve hacia el final del perfil del ala (lado derecho), se forman turbulencias, lo que limita la aplicabilidad del principio de Bernoulli. Específicamente, se debe considerar que en una cierta parte del perímetro del ala, puede que no sea aplicable y no contribuirá a la sustentación.
ID:(11075, 0)
Ala generando resistencia
Descripción
El objeto no solo genera sustentación, sino que también genera resistencia al flujo de aire en su entorno. Aunque la ley de Bernoulli no se pueda aplicar directamente, podemos entender el tipo de efecto que podría esperarse, incluso si es necesario modelarlo de otra manera. En este sentido, en el flujo en la punta del ala, la velocidad es nula y, por lo tanto, la presión es máxima. De manera análoga, en la parte posterior del objeto, la velocidad sería máxima y, por lo tanto, la presión sería mínima. Esto genera una presión que se opone al avance del objeto y, por lo tanto, corresponde a una resistencia.
Sin embargo, es importante tener en cuenta que este argumento es solo parcialmente correcto. En particular, se generan turbulencias en la parte posterior del ala, lo que complica el argumento de alta velocidad y también cuestiona el uso de la ley de Bernoulli.
Siguiendo la forma en que se modeló el proceso para el caso de la sustentación, podemos asumir que el teorema Kutta-Joukowski, en el que la fuerza de sustentación ($F_L$) con la densidad ($\rho$), la velocidad respecto del medio ($v$) y la circulación aerodinamica ($\Gamma$) es:
| $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
Podemos asumir que es vectorial, lo que significa que tiene una componente vertical que explica la sustentación y una componente horizontal que modela la resistencia.
ID:(11076, 0)
Coeficiente de resistencia de una esfera
Descripción
El coeficiente de resistencia ($C_W$) a menudo es una función del la número de Reynolds ($Re$). En el caso de una esfera, el coeficiente de resistencia tiene la forma:
En el rango de bajos números de Reynolds, el coeficiente de resistencia es proporcionalmente inverso a la velocidad $1/v$:
$C_W =\displaystyle\frac{24}{Re}$
lo que significa que en este rango, la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad (ley de Stokes).
En el rango de altos números de Reynolds, el coeficiente de resistencia crece muy lentamente como
$C_W=\displaystyle\frac{0.44}{Re^{0.2}}$
lo que implica que la fuerza de resistencia es proporcional a la velocidad al cuadrado. Sin embargo, es importante destacar que hay una discontinuidad en la cual el coeficiente se reduce bruscamente. Esta reducción corresponde a una situación en la que la zona de turbulencia disminuye.
ID:(1169, 0)
Aplicación del coeficiente de resistencia
Descripción
Si se desea reducir la resistencia de una pelota, es necesario aumentar el número de Reynolds para aprovechar la disminución del coeficiente de resistencia. Esto se logra introduciendo ranuras, como las que tiene una pelota de golf. Estas ranuras actúan como pequeños separadores que mantienen la capa de aire adherida a la pelota, lo que hace que el flujo permanezca más lineal durante más tiempo, reduciendo así la sección que genera resistencia.
ID:(1170, 0)
Fuerza de resistencia total
Descripción
Al inclinar el ala, no solo se genera sustentación; una parte de esta también genera resistencia, ya que la dirección de la sustentación es ortogonal a la superficie del ala. Si representamos gráficamente la fuerza de sustentación ($F_L$), la fuerza de resistencia ($F_W$) y el angulo de ataque del ala ($\alpha$), obtenemos:
ID:(9578, 0)
Modelo
Concepto
Variables
Parámetros
Parámetro seleccionado
Cálculos
Ecuación
$ C_L = c \alpha $
C_L = c * alpha
$ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$
F_ L / L = - rho * v * Gamma
$ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$
F_L = rho * S_w * C_L * v ^2/2
$ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $
F_R = F_w *cos( alpha )+ F_L *sin( alpha )
$ F_R = \displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_w v ^2 + \displaystyle\frac{2 m ^2 g ^2}{ c ^2 S_w \rho }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$
F_R = rho * S_p * C_w * v ^2/2+2* m ^2* g ^2/( c ^2* S_w * rho * v ^2)
$ F_W =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_W v ^2$
F_W = rho * S_p * C_W * v ^2/2
$\cos\alpha\sim 1$
cos(alpha)=1
$\sin\alpha\sim\alpha$
sin(alpha)=alpha
ID:(15185, 0)
Teorema de Kutta-Joukowski
Ecuación
De los trabajos de Kutta [1] y Joukowski [2] se derivó un teorema que establece una relación entre la circulación aerodinamica ($\Gamma$) y la fuerza de sustentación ($F_L$) a través de la envergadura de las alas ($L$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$) mediante la siguiente fórmula:
 $ \displaystyle\frac{ F_L }{ L } = - \rho v \Gamma$ |
[1] "Über die Aufgabe der Flügeltheorie und ein neues Verfahren zur Herleitung derselben." (Sobre la tarea de la teoría de alas y un nuevo método para su derivación.), Martin Wilhelm Kutta, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1902)
[2] "Über die Erhaltung des Luftkreises um ein Profil." (Sobre la conservación del círculo de aire alrededor de un perfil.), Nikolai Zhukovsky, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (1904)
ID:(1166, 0)
Fuerza de sustentación
Ecuación
Para crear una presión mayor debajo que encima del ala y generar sustentación, se emplea la Ley de Bernoulli, corrigiendo la falta de conservación de la densidad de energía mediante un coeficiente de sustentación ($C_L$). La presión sobre el ala, la fuerza de sustentación ($F_L$), se puede estimar utilizando la densidad ($\rho$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), el coeficiente de sustentación ($C_L$) y la velocidad respecto del medio ($v$) mediante la siguiente fórmula:
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
La fuerza de sustentación ($F_L$), junto con la envergadura de las alas ($L$), la densidad ($\rho$), el factor de velocidad superior del ala ($c_t$), el factor de velocidad inferior del ala ($c_b$), la largo superior del ala ($l_t$), la largo inferior del ala ($l_b$) y la velocidad respecto del medio ($v$), se encuentra en
| $ F_L = \rho L ( c_b l_b - c_t l_t ) v ^2$ |
Si consideramos la superficie que genera sustentación ($S_w$), definido por la envergadura de las alas ($L$), la largo superior del ala ($l_t$) y la largo inferior del ala ($l_b$),
| $ S_w = \displaystyle\frac{1}{2} L ( l_t + l_b )$ |
y para el coeficiente de sustentación ($C_L$), definido como
| $ C_L = 4\displaystyle\frac{ c_t l_t - c_b l_b }{ l_t + l_b }$ |
obtenemos
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
ID:(4417, 0)
Fuerza de resistencia
Ecuación
De manera análoga que se obtuvo la ecuación para la fuerza de sustentación ($F_L$) con la densidad ($\rho$), el coeficiente de sustentación ($C_L$), la superficie que genera sustentación ($S_w$) y la velocidad respecto del medio ($v$)
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
Dentro de dicha analogia lo que corresponde a la superficie que genera sustentación ($S_w$) va a equivaler a el perfil total del objeto ($S_p$) y el coeficiente de sustentación ($C_L$) a el coeficiente de resistencia ($C_W$) por lo que se obtiene la fuerza de resistencia ($F_W$):
| $ F_W =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_W v ^2$ |
Si se asume que la ecuación para la fuerza de sustentación ($F_L$) con la envergadura de las alas ($L$), la densidad ($\rho$), la velocidad respecto del medio ($v$) y la circulación aerodinamica ($\Gamma$)
El coeficiente de resistencia se mide y, en corrientes turbulentas sobre cuerpos aerodinámicos, generalmente se obtienen valores alrededor de 0.4.
ID:(4418, 0)
Cálculo de la fuerza de resistencia total
Ecuación
La fuerza total de resistencia ($F_R$) se compone de las componentes horizontales de la fuerza de resistencia ($F_W$) y de la fuerza de sustentación ($F_L$), que se puede calcular a partir del angulo de ataque del ala ($\alpha$):
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
La componente horizontal de la fuerza de sustentación ($F_L$) corresponde a la fuerza de sustentación ($F_L$) multiplicada por el seno del angulo de ataque del ala ($\alpha$):
$F_L \sin\alpha $
y la componente horizontal de la fuerza de resistencia ($F_W$) corresponde a la fuerza de resistencia ($F_W$) multiplicada por el coseno del ángulo de angulo de ataque del ala ($\alpha$):
$F_W \cos\alpha $
Por lo tanto, la fuerza total de resistencia ($F_R$) se calcula como:
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
ID:(9579, 0)
Constante de sustentación
Ecuación
A partir de mediciones, se concluye que el coeficiente de sustentación ($C_L$) es proporcional al angulo de ataque del ala ($\alpha$) siendo la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$):
| $ C_L = c \alpha $ |
Después de cierto ángulo, la curva disminuye hasta llegar a cero. Esto se debe a que sobre dicho ángulo crítico, los vórtices cubren completamente la superficie superior del ala, lo que resulta en la pérdida de sustentación. Este fenómeno se conoce como "stall" (entrada en pérdida).
ID:(4441, 0)
Seno para ángulos pequeños
Ecuación
Para ángulos pequeños, la función seno se puede aproximar por una recta que pasa por el origen. Si expresamos el angulo de ataque del ala ($\alpha$) en radianes, la pendiente de esta recta es igual a la unidad y obtenemos:
| $\sin\alpha\sim\alpha$ |
El seno se puede calcular utilizando un polinomio de la forma:
$\sin \alpha = \alpha - \displaystyle\frac{1}{3!}\alpha^3 + \displaystyle\frac{1}{5!}\alpha^5 \ldos$
Para valores pequeños de el angulo de ataque del ala ($\alpha$) ($\alpha \ll 1$), los términos con potencias superiores son despreciables, y obtenemos:
| $\sin\alpha\sim\alpha$ |
ID:(9580, 0)
Coseno para ángulos pequeños
Ecuación
Para valores pequeños de el angulo de ataque del ala ($\alpha$), la función coseno se puede aproximar por una parábola invertida que pasa por el origen. Si el ángulo se expresa en radianes y es aproximadamente cero, obtenemos:
| $\cos\alpha\sim 1$ |
El coseno se puede calcular utilizando un polinomio de la forma:
$\cos \alpha = 1 - \displaystyle\frac{1}{2!}\alpha^2 + \displaystyle\frac{1}{4!}\alpha^4 \ldots$
Para valores pequeños de el angulo de ataque del ala ($\alpha$) ($\alpha \ll 1$), los términos con potencias superiores son despreciables, y obtenemos:
| $\cos\alpha\sim 1$ |
ID:(14473, 0)
Fuerza total de resistencia
Ecuación
Usando las relaciones de la fuerza de sustentación ($F_L$), la fuerza de resistencia ($F_W$) y el angulo de ataque del ala ($\alpha$), podemos calcular la fuerza total de resistencia ($F_R$) de la siguiente manera:
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
Si aplicamos estas relaciones a cada fuerza, asumimos ángulos pequeños y consideramos una situación en la que el ángulo es tal que se logra mantener la masa del cuerpo ($m$), obtenemos la siguiente expresión utilizando el coeficiente de sustentación ($C_L$), el coeficiente de resistencia ($C_W$), la superficie que genera sustentación ($S_w$), el perfil total del objeto ($S_p$), la aceleración gravitacional ($g$), la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$), la densidad ($\rho$) y la velocidad respecto del medio ($v$):
| $ F_R = \displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_w v ^2 + \displaystyle\frac{2 m ^2 g ^2}{ c ^2 S_w \rho }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
Utilizando las relaciones de la fuerza total de resistencia ($F_R$) con la fuerza de sustentación ($F_L$), la fuerza de resistencia ($F_W$) y el angulo de ataque del ala ($\alpha$):
| $ F_R = F_w \cos \alpha + F_L \sin \alpha $ |
podemos calcular la fuerza de resistencia utilizando la densidad ($\rho$), el coeficiente de resistencia ($C_W$), el perfil total del objeto ($S_p$) y la velocidad respecto del medio ($v$):
| $ F_W =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_W v ^2$ |
y la fuerza de sustentación con la superficie que genera sustentación ($S_w$) y el coeficiente de sustentación ($C_L$):
| $ F_L =\displaystyle\frac{1}{2} \rho S_w C_L v ^2$ |
utilizando la relación para el coeficiente de sustentación ($C_L$) con la constante de proporcionalidad del coeficiente de sustentación ($c$):
| $ C_L = c \alpha $ |
usando la relación para el seno del ángulo de ataque $\alpha$ pequeño:
| $\sin\alpha\sim\alpha$ |
y el coseno:
| $\cos\alpha\sim 1$ |
con la condición de equilibrar el peso del ave o avión para la masa del cuerpo ($m$) y la aceleración gravitacional ($g$):
| $ \alpha =\displaystyle\frac{2 m g }{ c \rho S_w }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
obtenemos:
| $ F_R = \displaystyle\frac{1}{2} \rho S_p C_w v ^2 + \displaystyle\frac{2 m ^2 g ^2}{ c ^2 S_w \rho }\displaystyle\frac{1}{ v ^2}$ |
ID:(4546, 0)
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