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Solución clásica LBM en la aproximación BGK
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ID:(1153, 0)
Aproximación de Relajación
Ecuación
Una forma de solucionar la ecuación general de Boltzmann es linearizar la ecuación suponiendo que el termino de colisión se puede escribir como la diferencia entre la función distribución y la solución en equilibrio representada por la función distribución de Maxwell Boltzmann
| $\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$ |
ID:(9083, 0)
Distribución en Equilibrio (Gas de Particulas)
Ecuación
La distribución en equilibrio se puede aproximar por una distribución de Maxwell Boltzmann
| $f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$ |
en donde
ID:(8490, 0)
Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook
Ecuación
En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción
| $f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$ |
con
| $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
con
| Modelo | $\omega_i$ | Index |
| 1DQ3 | ? | i=0 |
| - | ? | i=1, 2 |
| 2DQ9 | 4/9 | i=0 |
| - | 1/9 | i=1,...,4 |
| - | 1/36 | i=5,...,8 |
| 3DQ15 | 1/3 | i=0 |
| - | 1/18 | i=1,...,6 |
| - | 1/36 | i=7,...,14 |
| 3DQ19 | ? | i=0 |
| - | ? | i=1,...,6 |
| - | ? | i=7,...,18 |
que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.
ID:(9084, 0)
Ejemplo de Desidad
Descripción
En el caso D2Q9 la densidad se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
\\n\\npor lo que se tiene\\n\\n
$rho[x,y] = O[x,y]+N[x,y]+E[x,y]+S[x,y]+W[x,y]+NE[x,y]+SE[x,y]+NW[x,y]+SW[x,y]$
ID:(9152, 0)
Ejemplo de Velocidad en x
Descripción
En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
por lo que se tiene
```
u_x[x,y] = E[x,y] + NE[x,y] + SE[x,y] - W[x,y] - NW[x,y] - SW[x,y]
```
ID:(9153, 0)
Ejemplo de Velocidad en y
Descripción
En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
por lo que se tiene
```
u_y[x,y] = N[x,y] + NE[x,y] + NW[x,y] - S[x,y] - SE[x,y] - SW[x,y]
```
ID:(9154, 0)
Ejemplo de elemento de Colisión
Descripción
En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores
| $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
\\n\\npor lo que se tiene para cada celda\\n\\n
$O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)$
\\n
$E = E+w(rho/9)(1+u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)$
\\n
$W = W+w(rho/9)(1-u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)$
\\n
$N = N+w(rho/9)(1+u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)$
\\n
$S = S+w(rho/9)(1-u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)$
\\n
$NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-NE)$
\\n
$SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-SE)$
\\n
$NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2)-NW)$
\\n
$SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2)-SW)$
\\n\\ncon\\n\\n
$u2 = u_x^2+u_y^2$
ID:(9155, 0)
Ejemplo Simulador Hidrodinámico
Descripción
En el caso de partículas de un liquido el método LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:
ID:(9156, 0)