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Ecuación de Colisión

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ID:(1136, 0)


Cálculo de colisiones

Ecuación

En caso de colisiones se tiene que dos partículas con velocidad \vec{v}_1 y \vec{v}_2 colisionan pasando a tener las velocidades \vec{v}_1' y \vec{v}_2' respectivamente. La probabilidad de que las velocidades tras la colisión sean \vec{v}_1' y \vec{v}_2' se pueden calcular de la sección eficaz \sigma según\\n\\n

$\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_1',\vec{v}_2')d\vec{v}_1'd\vec{v}_2')$

\\n\\nComo la probabilidad de que las partículas que entran a la colisión sean \vec{v}_1 y \vec{v}_2 se calculan con la función distribución\\n\\n

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)$



Como el desplazamiento ocurre en función de la velocidad relativa |\vec{v}_2-\vec{v}_1| se tiene finalmente que la variación de las partículas son

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$

ID:(9078, 0)


Colisiones que abandonan la celda

Ecuación

En el caso que abandonan la celda se considera

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



integrando sobre una de las velocidades que inician la colisión y ambas resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

ID:(9080, 0)


Colisiones que contribuyen

Ecuación

En el caso de contribuciones a la celda se considerar

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



integrando sobre las velocidades que inician la colisión y una de las resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

ID:(9079, 0)


Colisiones totales

Ecuación

Con el termino de las colisiones que contribuyen

$f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)d\vec{v}_12d\vec{v}_22$



y aquellas que reducen partículas

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$



se obtiene el factor total de intercambio

$\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}2d\vec{v}_12(f(\vec{x},\vec{v}2,t)f(\vec{x},\vec{v}_12,t)-f(\vec{x},\vec{v},t)f(\vec{x},\vec{v}_1,t))|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}2,\vec{v}_12)$

ID:(9081, 0)


Distribución en Equilibrio (Gas de Particulas)

Ecuación

La distribución en equilibrio se puede aproximar por una distribución de Maxwell Boltzmann

$f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$

en donde m es la masa de la partícula, T la temperatura del sistema y k la constante de Boltzmann.

ID:(8490, 0)


Ecuación LBM en la aproximación de relajación

Ecuación

En la aproximación de relajación se supone que la distribución f_i(\vec{x},t) tiende a relajarse en un tiempo \tau a una distribución en equilibrio f_i^{eq}(\vec{x},t) según la ecuación\\n\\n

$\displaystyle\frac{df_i}{dt}=-\displaystyle\frac{f_i-f_i^{eq}}{\tau}$



que tiene en la aproximación discreta la ecuación

$f_i(\vec{x}+c\vec{e_i}\delta t,t+\delta t)=f_i(\vec{x},t)+\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_i^{eq}(\vec{x},t)-f_i(\vec{x},t))\delta t$

donde el termino de las diferencias en las funciones distribución representa las colisiones.

ID:(8489, 0)


Colisiones

Ecuación

En caso de que las partículas colisionan la función distribución f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$



Las colisiones lleva a que partículas de celdas vecinas sufran un colisión que las lleva a la celda en consideración y partículas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de partículas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuación de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

ID:(9077, 0)