Discretización y Estructura de Celdas del Enfoque LBM

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Cellular Automata

Imagen

Los autómatas celulares son modelos en que discretiza el espacio tiempo y se definen autómatas en cada punto (célula) de la red que actúan en función de lo que hacen sus vecinos (autómatas pues tienen una forma definida de reaccionar). Un ejemplo es una estructura hexagonal:

Modelo D2Q7 (dos dimensiones y 7 elementos por celda - 6 lados y 1 centro)

En el caso que se aplica a un gas de partículas, cada nodo puede o no contener (estados 0 y 1) una partícula que puede solo tener las velocidades con las direcciones que los links entre celdas.

En la simulación con modelos tipo autómatas celulares existen dos fases:

- celda actúa sobre las demás
- celda procesa actuaciones del entorno

En el caso especial de que se modela un gas el primer paso corresponde al flujo (streaming) mientras que el segundo a las colisiones (collision).

la descripción matemática se realiza mediante la función de distribución de partículas f(\vec{x},\vec{v},t) donde \vec{x} es la posición, $\vec{v}$ la velocidad y t el tiempo. Como en este caso solo existen velocidades discretas \vec{e}_i se tiende a indicar la función distribución como un conjunto de funciones f_i tales que

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Dispersión

Ecuación

La dispersión se asocia al tiempo de relajación \tau que en la aproximación hidrodinamica se refleja mediante la viscosidad

con \rho la densidad, \Delta x el largo de la celda y \Delta t el intervalo de tiempo de simulación.

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Función de discretización

Ecuación

En el caso de la discretización en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

en donde w_i es el peso relativo.

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Simulador con camino discreto

Php

En este caso se considera un sistema en que la partícula inicia su viaje siempre en el origen en dirección del eje positivo. El espacio al lado izquierdo del borde definido en 'Border' tiene una probabilidad de colisión p_A mientras que en el lado derecho es de p_B. En que medio inicia su viaje la partícula queda por ello definido con la posición del borde siendo este 'A' si borde es positivo y 'B' si lo es negativo.

Uno puede experimentar eligiendo por ejemplo un medio B 'duro' es decir con una probabilidad alta (p_A\ll p_b) lo que hará que la distribución tienda a mostrar los 'rebotes' en la interfase. Un borde 'blando' se obtiene si la probabilidad en el segundo medio es baja (p_A\gg p_b) lo que hara que la distribución tienda a extenderse al segundo medio.

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Velocidad de partículas

Ecuación

Al discretizar asumimos que las partículas se mueven con una velocidad media c que se asocia a la malla de la red de células de largo \Delta x y tiempo \Delta t mediante

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Modelos D2Q9 (2 dimensiones, 9 puntos)

Imagen

El modelo D2Q9 es un modelo bidimensional (D2) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\nen el origen\\n\\n

$\vec{e}_0=(0,0)$

\\n\\nen las esquinas\\n\\n

$\vec{e}_1=(1,0)$

(E),\\n

$\vec{e}_2=(0,1)$

(N), \\n

$\vec{e}_3=(-1,0)$

(W) y \\n

$\vec{e}_4=(0,-1)$

(S)\\n\\ny en las diagonales\\n\\n

$\vec{e}_5=(1,1)$

(NE), \\n

$\vec{e}_6=(-1,1)$

(SE), \\n

$\vec{e}_7=(-1,-1)$

(SW) y \\n

$\vec{e}_8=(1,-1)$

(NW)

lo que se representa en la siguiente gráfica:

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Modelos D3Q15 (3 dimensiones, 15 puntos)

Imagen

El modelo D3Q15 es un modelo bidimensional (D3) en que se se conecta el nodo (punto central) en nodos a lo largo de los ejes cartesianos\\n\\n

$(1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) y (0,0,-1)$

\\n\\ny en las esquinas del cubo\\n\\n

$(1,0,1), (-1,0,1), (0,1,1) , (0,-1,1), (1,0,-1), (-1,0,-1), (0,1,-1) , (0,-1,-1)$

lo que se representa en la siguiente gráfica:

Es facil que se pueden construir modelos del tipo D3Q19 (incluyendo las mitades de las aristas laterales) o D3Q27 (todos los puntos posibles).

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