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LBM klassische Lösung in der BGK Annäherung
Storyboard
ID:(1153, 0)
Relaxations Ansatz
Gleichung
Eine Möglichkeit, die allgemeine Gleichung zu lösen, wird linearisiert Boltzmann -Gleichung unter der Annahme, dass die Kollision Begriff kann als die Differenz zwischen der Verteilungsfunktion und Gleichgewichtslösung durch Maxwell-Boltzmann -Verteilung Funktion dargestellt geschrieben werden
| $\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$ |
ID:(9083, 0)
Gleichgewichtsverteilung (Gas Partikel)
Gleichung
Die Gleichgewichtsverteilung kann durch eine Maxwell-Boltzmann Verteilung angenähert werden,
| $f_i^{eq}=\displaystyle\frac{m}{2\pi kT}e^{-m|c\vec{e}_i-\vec{u}|^2/2kT}$ |
wobei
ID:(8490, 0)
Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook
Gleichung
En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción
| $f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$ |
con
| $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
con
| Modelo | $\omega_i$ | Index |
| 1DQ3 | ? | i=0 |
| - | ? | i=1, 2 |
| 2DQ9 | 4/9 | i=0 |
| - | 1/9 | i=1,...,4 |
| - | 1/36 | i=5,...,8 |
| 3DQ15 | 1/3 | i=0 |
| - | 1/18 | i=1,...,6 |
| - | 1/36 | i=7,...,14 |
| 3DQ19 | ? | i=0 |
| - | ? | i=1,...,6 |
| - | ? | i=7,...,18 |
que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.
ID:(9084, 0)
Ejemplo de Desidad
Beschreibung
En el caso D2Q9 la densidad se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
\\n\\npor lo que se tiene\\n\\n
$rho[x,y] = O[x,y]+N[x,y]+E[x,y]+S[x,y]+W[x,y]+NE[x,y]+SE[x,y]+NW[x,y]+SW[x,y]$
ID:(9152, 0)
Ejemplo de Velocidad en x
Beschreibung
En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
por lo que se tiene
| $$ |
ID:(9153, 0)
Ejemplo de Velocidad en y
Beschreibung
En el caso D2Q9 la velocidad de flujo se calcula simplemente sumando los distintos factores
| $\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$ |
por lo que se tiene
```
u_y[x,y] = N[x,y] + NE[x,y] + NW[x,y] - S[x,y] - SE[x,y] - SW[x,y]
```
ID:(9154, 0)
Ejemplo de elemento de Colisión
Beschreibung
En el caso D2Q9 el termino colision se calcula sumando los distintos factores
| $f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$ |
por lo que se tiene para cada celda
```
O = O+w(4rho/9)(1-3u2/2) - O)
E = E+w(rho/9)(1 + u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-E)
W = W+w(rho/9)(1 - u_x/3+5u_x^2-3u2/2)-W)
N = N+w(rho/9)(1 + u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-N)
S = S+w(rho/9)(1 - u_y/3+5u_y^2-3u2/2)-S)
NE = NE+w(rho/36)(1+u_x/3+u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - NE)
SE = SE+w(rho/36)(1+u_x/3-u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - SE)
NW = NW+w(rho/36)(1-u_x/3+u_y/3+5(u2-2u_xu_y)/2-3u2/2) - NW)
SW = SW+w(rho/36)(1-u_x/3-u_y/3+5(u2+2u_xu_y)/2-3u2/2) - SW)
```
con
```
u2 = u_x^2+u_y^2
```
ID:(9155, 0)
Ejemplo Simulador Hidrodinamico
Beschreibung
En el caso de partículas de un liquido el método LBM permite desarrollar simuladores como se muestra en el ejemplo:
ID:(9156, 0)