Storyboard

El flujo interior se produce a través de los capilares que se forman entre los granos. Cada vez que estos capilares tienen dimensiones mayores que las de las pequeñas placas de arcilla, existe el riesgo de que estas últimas sean arrastradas por dicho flujo. Si esto sucede, el suelo podría perder parte de su contenido de arcilla, lo que afectaría sus propiedades mecánicas, estabilidad y capacidad de soporte para la vida orgánica.

>Modelo

ID:(379, 0)

Descripción

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La erosión puede remover parte de las componentes del suelo reduciendo la superficie interna sobre la que se basa el desarrollo vegetal.

ID:(18, 0)

Descripción

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La porosidad permite el desplazamiento de agua creando corrientes en el suelo.

Dichas corrientes puede arrastra consigo las plaquitas de las que esta compuesta la arcilla. Esto tanto por su menor masa como por su forma mas aerodinámica.

La remoción de las plaquitas es grave ya que reduce en forma sustancial la cantidad de superficie que contiene el suelo con lo que se afecta en forma directa la capacidad del suelo de soportar vida.

El transporte de materiales como la arcilla dependen de la velocidad del fluido. Esta depende a su vez del gradiente de presión y del nivel de compactación del material. Por ello el empobrecimiento del suelo es una función de las características de este y de las condiciones bajo las cuales fluye el agua por la porosidad existente.

Para comprender como levitan las plaquitas debemos estudiar la corriente que se da en su entorno.

ID:(1237, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que un fluido o gas es un continuo, el concepto de energía ya no puede asociarse a una masa específica. Sin embargo, es posible considerar la energía contenida en un volumen del continuo y, al dividirla por el volumen mismo, se obtiene la densidad de energía ($e$). Por lo tanto, con la densidad ($\rho$), la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la altura de la columna ($h$), la aceleración gravitacional ($g$), y la presión de la columna de agua ($p$), tenemos:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h$

Altura de la columna

$m$

5406

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

5342

$e$

Densidad de energía

$J/m^3$

4932

$p$

Presión de la columna de agua

$Pa$

10114

$v$

Velocidad en un radio del cilindro

$m/s$

5449

Relación

Desarrollo

Otra ecuación útil es la que corresponde a la conservación de energía, que se aplica en casos donde la viscosidad, un proceso en el cual se pierde energía, puede ser despreciada. Si consideramos la clásica ecuación de energía $E$, que incluye la energía cinética, la energía potencial gravitacional y una fuerza externa que desplaza el líquido una distancia $\Delta z$, podemos expresarla de la siguiente manera:

$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$

Si consideramos la energía en un volumen $\Delta x\Delta y\Delta z$, podemos reemplazar la masa por:

$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$

Y como la presión se expresa como:

$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$

Obtenemos la ecuación de densidad de energía:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

que corresponde a la ecuación de Bernoulli.

ID:(3159, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representando la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representando la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente se tiene que:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$h_1$

Altura o profundidad 1

$m$

6259

$h_2$

Altura o profundidad 2

$m$

6260

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

5342

$p_1$

Presión en la columna 1

$Pa$

6261

$p_2$

Presión en la columna 2

$Pa$

6262

$v_1$

Velocidad media del fluido en el punto 1

$m/s$

5415

$v_2$

Velocidad media del fluido en el punto 2

$m/s$

5416

Relación

Desarrollo

Si asumimos que la densidad de energía ($e$) se conserva, podemos afirmar que para una celda en la que la velocidad media es la velocidad en un radio del cilindro ($v$), la densidad es la densidad ($\rho$), la presión es la presión de la columna de agua ($p$), la altura es la altura de la columna ($h$) y la aceleración gravitacional es la aceleración gravitacional ($g$), se cumple lo siguiente:

$e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p$

En un punto 1, esta ecuación será igual a la misma ecuación en un punto 2:

$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$

con la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$), la altura o profundidad 1 ($h_1$) y la presión en la columna 1 ($p_1$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 1, respectivamente, y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$), la altura o profundidad 2 ($h_2$) y la presión en la columna 2 ($p_2$) representan la velocidad, altura y presión en el punto 2, respectivamente. Por lo tanto, se tiene:

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2$

ID:(4504, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El diferencial de la presión ($\Delta p$) se puede calcular de la velocidad promedio ($\bar{v}$) y la diferencia de velocidad entre superficies ($\Delta v$) con la densidad ($\rho$) mediante

$\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

5342

$\Delta v$

Diferencia de velocidad entre superficies

$m/s$

5556

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

$\bar{v}$

Velocidad promedio

$m/s$

10298

Relación

Desarrollo

Para el caso de que no exista presión histrostatica la ley de Bernoulli para la densidad ($\rho$), la presión en la columna 1 ($p_1$), la presión en la columna 2 ($p_2$), la velocidad media del fluido en el punto 1 ($v_1$) y la velocidad media del fluido en el punto 2 ($v_2$)

$\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2$

se puede reescribir con el diferencial de la presión ($\Delta p$)

$\Delta p = p_2 - p_1$

y teniendo presente de que

$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$

con

$\bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$

y

$\Delta v = v_2 - v_1$

se tiene que

$\Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v$

que permite ver el efecto de la melocidad promedio de un cuerpo y de la diferencia de esta entre sus superficies como se observa en un ala de avion o ave.

ID:(4835, 0)

Descripción

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Si se asume que los capilares del suelo se pueden modelar como cilindros, el perfil de velocidades tendrá la forma:

donde v_{max} es la velocidad máxima al centro del cilindro, R es el radio de este y r es la distancia al centro que calculamos la velocidad.

La velocidad máxima es igual a

donde dp es la variación de la presión a lo largo del canal de extensión dL y \eta es la viscosidad.

ID:(107, 0)

Concepto

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El perfil de la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en el radio de la posición en un tubo ($r$) permite calcular el flujo de volumen ($J_V$) en un tubo mediante una integración de toda la superficie, lo que nos conduce a la conocida ley de Hagen-Poiseuille.

El resultado es una ecuación que depende de radio del tubo ($R$) elevado a la cuarta potencia. No obstante, es fundamental tener en cuenta que este perfil de flujo solo se mantiene en caso de que el flujo sea laminar.

Con ello, se deduce de la viscosidad ($\eta$) que el flujo de volumen ($J_V$) ante un largo de tubo ($\Delta L$) y un diferencial de la presión ($\Delta p$) la expresión:

Los articulos originales que dieron origen a esta ley con un nombre combinado fueron:

"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sobre las leyes que rigen el flujo del agua en recipientes cilíndricos), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839)

"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres" (Investigación experimental sobre el movimiento de líquidos en tubos de diámetros muy pequeños), Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).

ID:(2216, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Al resolver la ecuación de flujo con la condición de borde, obtenemos la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$) como una parábola centrada en la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) y que se anula en el radio del tubo ($R$):

$v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Condiciones

Variables

$r$

Posición radial en cilindro

$m$

5420

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

$v$

Velocidad en un radio del cilindro

$m/s$

5449

$v_{max}$

Velocidad máxima del flujo

$m/s$

5421

Relación

Desarrollo

La diferencia de presión ($\Delta p_s$) sobre una sección de área $\pi R^2$, con el radio del tubo ($R$) como el radio de la curvatura ($r$), genera una fuerza que se representa como:

$\pi r^2 \Delta p$

Esta fuerza impulsa el líquido en contra de la resistencia viscosa, que está dada por:

$F_v =-2 \pi r \Delta L \eta \displaystyle\frac{ dv }{ dr }$

Igualando estas dos fuerzas, obtenemos:

$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$

Lo que nos lleva a la ecuación:

$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$

Si integramos esta ecuación desde una posición definida por el radio de la curvatura ($r$) hasta el borde donde el radio del tubo ($R$) (teniendo en cuenta que la velocidad en el borde es nula), podemos obtener la velocidad en un radio del cilindro ($v$) en función de el radio de la curvatura ($r$):

$v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$

Donde:

$v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

es la la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro del flujo.

.

ID:(3627, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El valor de la velocidad máxima del flujo ($v_{max}$) en el centro de un cilindro depende de la viscosidad ($\eta$), el radio del tubo ($R$), y del gradiente creado por la diferencia de presión ($\Delta p_s$) y el largo de tubo ($\Delta L$), como se representa a continuación:

$v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

Condiciones

Variables

$\Delta p$

Diferencial de la presión

$Pa$

6673

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

5430

$R$

Radio del tubo

$m$

5417

$v_{max}$

Velocidad máxima del flujo

$m/s$

5421

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

5422

Relación

El signo negativo indica que el flujo siempre se produce en la dirección negativa del gradiente, es decir, desde el área de mayor presión hacia el área de menor presión.

ID:(3628, 0)

Imagen

>Top

Si una plaquita de arcilla se encuentra en el fondo de un caudal se genera una diferencia de presión entre la parte superior y la inferior que genera una fuerza efectiva que intenta elevarla hacia el caudal.

ID:(1639, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La plaquita de arcilla sera arrastrada por la corriente en la medida que la fuerza hidrostática dp,S supere la fuerza gravitacional mg, donde S es la sección de la plaquita, m su masa, dp la diferencia de presión entre la parte interior y superior de esta y g la aceleración gravitacional.

Por ello la condición de ser arrastrada es:

$dp S > m g$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$dp$

Diferencia de presión que levanta la plaquita

$Pa$

6276

$m_c$

Masa de una plaquita de arcilla

$kg$

6278

$s_c$

Sección de la plaquita

$m^2$

6277

Relación

ID:(4506, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La masa de la plaquita se puede calcular de la densidad solida del material y del volumen mediante\\n\\n

$m=\rho_sV$

\\n\\nEl volumen se calcula del cuadrado del lado l_c y la altura w_c de modo que\\n\\n

$V=w_cl_c^2$

Con ello la masa del la plaquita es:

$m = \rho_s w_c l_c ^2$

Condiciones

Variables

$w_c$

Altura de una plaquita de arcilla

$m$

5989

$\rho_s$

Densidad sólida

$kg/m^3$

4944

$l_c$

Largo y ancho de una plaquita de arcilla

$m$

5991

$m_c$

Masa de una plaquita de arcilla

$kg$

6278

Relación

ID:(4508, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La sección S sobre la que actúa la presión sobre la plaquita se calcula del cuadrado del lado l_c de esta:

$S = l_c ^ 2$

Condiciones

Variables

$l_c$

Largo y ancho de una plaquita de arcilla

$m$

5991

$s_c$

Sección de la plaquita

$m^2$

6277

Relación

ID:(4507, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La condición de estabilidad general

se puede reescribir con la masa

y la sección

como

$dp > \rho_s w_c g$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$w_c$

Altura de una plaquita de arcilla

$m$

5989

$dp$

Diferencia de presión que levanta la plaquita

$Pa$

6276

Relación

ID:(10630, 0)