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Écoulement intérieur et érosion
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Le flux interne se produit à travers les capillaires formés entre les particules du sol. Chaque fois que ces capillaires ont des dimensions plus grandes que celles des petites plaques d'argile, il y a un risque que ces particules d'argile soient emportées par ce flux. Si cela se produit, le sol pourrait perdre une partie de sa teneur en argile, ce qui aurait un impact sur ses propriétés mécaniques, sa stabilité et son soutien à la vie organique.
ID:(379, 0)
Densité d'énergie
Équation
Étant donné qu'un fluide ou un gaz est un continuum, le concept d'énergie ne peut plus être associé à une masse spécifique. Cependant, il est possible de considérer l'énergie contenue dans un volume du continuum, et en la divisant par le volume lui-même, nous obtenons a densité d'énergie ($e$). Par conséquent, avec a densité ($\rho$), a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), a hauteur de la colonne ($h$), a accélération gravitationnelle ($g$) et a pression de la colonne d'eau ($p$), nous avons :
 $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
Une autre équation utile est celle correspondant à la conservation de l'énergie, qui s'applique dans les cas où la viscosité, un processus entraînant une perte d'énergie, peut être négligée. Si l'on considère l'équation classique de l'énergie $E$, qui prend en compte l\'énergie cinétique, l\'énergie potentielle gravitationnelle et une force externe déplaçant le liquide sur une distance $\Delta z$, on peut l\'exprimer de la manière suivante :
$E=\displaystyle\frac{m}{2}v^2+mgh+F\Delta x$
Si l\'on considère l\'énergie à l\'intérieur d\'un volume $\Delta x\Delta y\Delta z$, on peut remplacer la masse par :
$m=\rho \Delta x\Delta y\Delta z$
Et puisque la pression est donnée par :
$F=p \Delta S =p \Delta y\Delta z$
On obtient l\'équation de la densité d\'énergie :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
qui correspond à l'équation de Bernoulli.
ID:(3159, 0)
Équation générale de Bernoulli
Équation
Avec a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) représentant la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentant la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement, nous avons :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
Si nous supposons que a densité d'énergie ($e$) est conservé, alors pour une cellule où la vitesse moyenne est a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$), la densité est a densité ($\rho$), la pression est a pression de la colonne d'eau ($p$), la hauteur est a hauteur de la colonne ($h$), et l'accélération gravitationnelle est a accélération gravitationnelle ($g$), nous avons ce qui suit :
| $ e =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v ^2+ \rho g h + p $ |
En un point 1, cette équation sera égale à la même équation en un point 2 :
$e(v_1,p_1,h_1)=e(v_2,p_2,h_2)$
où A vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$), a hauteur ou profondeur 1 ($h_1$) et a pression dans la colonne 1 ($p_1$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 1, respectivement, et a vitesse moyenne du fluide au point 2 ($v_2$), a hauteur ou profondeur 2 ($h_2$) et a pression dans la colonne 2 ($p_2$) représentent la vitesse, la hauteur et la pression au point 2, respectivement. Par conséquent, nous avons :
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2+ \rho g h_1 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2+ \rho g h_2 + p_2 $ |
ID:(4504, 0)
Équation de Bernoulli, variantes
Équation
($$) peut être calculé à partir de a vitesse moyenne ($\bar{v}$) et a différence de vitesse entre les surfaces ($\Delta v$) avec a densité ($\rho$) en utilisant
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Dans le cas où il n'y a pas de pression hystrostatique, la loi de Bernoulli pour a densité ($\rho$), a pression dans la colonne 1 ($p_1$), a pression dans la colonne 2 ($p_2$), a vitesse moyenne du fluide au point 1 ($v_1$) et < var>5416
| $\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_1 ^2 + p_1 =\displaystyle\frac{1}{2} \rho v_2 ^2 + p_2 $ |
| $ \Delta p = p_2 - p_1 $ |
et en gardant à l'esprit que
$v_2^2 - v_1^2 = \displaystyle\frac{1}{2}(v_2-v_1)(v_1+v_2)$
avec
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
et
| $ \Delta v = v_2 - v_1 $ |
il faut que
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
ce qui nous permet de voir l'effet de la vitesse moyenne d'un corps et de la différence entre ses surfaces, comme observé dans une aile d'avion ou d'oiseau.
ID:(4835, 0)
Débit selon l'équation de Hagen-Poiseuille
Concept
Le profil de a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en le rayon de position dans un tube ($r$) nous permet de calculer le volumique flux ($J_V$) dans un tube en intégrant sur toute la surface, ce qui nous conduit à la loi bien connue de Hagen-Poiseuille.
Le résultat est une équation qui dépend de rayon du tube ($R$) élevé à la quatrième puissance. Cependant, il est essentiel de noter que ce profil d'écoulement n'est valable que dans le cas d'un écoulement laminaire.
Ainsi, avec cela, on déduit de a viscosité ($\eta$) que le volumique flux ($J_V$) devant un longueur du tube ($\Delta L$) et ($$), l'expression :
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Les articles originaux qui ont donné naissance à cette loi avec un nom combiné étaient:
"Ueber die Gesetze, welche des der Strom des Wassers in röhrenförmigen Gefässen bestimmen" (Sur les lois régissant l'écoulement de l'eau dans des récipients cylindriques), Gotthilf Hagen, Annalen der Physik und Chemie 46:423442 (1839).
"Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les tubes de très-petits diamètres", Jean-Louis-Marie Poiseuille, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 9:433544 (1840).
ID:(2216, 0)
Profil de vitesse d'un écoulement à travers un cylindre
Équation
En résolvant l'équation de flux avec la condition aux limites, nous obtenons a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) comme une fonction de le rayon de courbure ($r$), représentée par une parabole centrée sur a vitesse maximal ($v_{max}$) et égale à zéro en le rayon du tube ($R$) :
| $ v = v_{max} \left(1-\displaystyle\frac{ r ^2}{ R ^2}\right)$ |
Quand une a différence de pression ($\Delta p_s$) agit sur une section avec une aire de $\pi R^2$, avec le rayon du tube ($R$) comme le rayon de courbure ($r$), elle génère une force représentée par :
$\pi r^2 \Delta p$
Cette force pousse le liquide contre la résistance visqueuse, donnée par :
En égalant ces deux forces, nous obtenons :
$\pi r^2 \Delta p = \eta 2\pi r \Delta L \displaystyle\frac{dv}{dr}$
Ce qui nous conduit à l'équation :
$\displaystyle\frac{dv}{dr} = \displaystyle\frac{1}{2\eta}\displaystyle\frac{\Delta p}{\Delta L} r$
Si nous intégrons cette équation d'une position définie par le rayon de courbure ($r$) jusqu'au bord où se trouve le rayon du tube ($R$) (en tenant compte que la vitesse au bord est nulle), nous pouvons obtenir a vitesse dans un rayon du cylindre ($v$) en fonction de le rayon de courbure ($r$) :
Où :
est a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre de l'écoulement.
.
ID:(3627, 0)
Vitesse maximale d'écoulement à travers un cylindre
Équation
La valeur de a vitesse maximal ($v_{max}$) au centre d'un cylindre dépend de a viscosité ($\eta$), le rayon du tube ($R$) et du gradient créé par a différence de pression ($\Delta p_s$) et le longueur du tube ($\Delta L$), comme représenté ci-dessous :
| $ v_{max} =-\displaystyle\frac{ R ^2}{4 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Le signe négatif indique que le flux s'effectue toujours dans la direction opposée au gradient, c'est-à-dire, de la zone de plus haute pression vers la zone de plus basse pression.
ID:(3628, 0)