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Flujo hacia un pozo
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Si hay una napa freática a una cierta profundidad y además existe una hendidura más profunda que dicha napa, el agua comenzará a fluir para llenarla. A medida que se extraiga el agua a una velocidad igual al flujo que la napa repone, se formará un espejo de agua a una profundidad que dependerá de dicho flujo.
ID:(2082, 0)
Flujo hacia un pozo
Concepto
En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
que define el perfil del agua en el suelo:
ID:(4371, 0)
Solución altura del flujo hacia un pozo
Concepto
La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un pozo, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$), la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el radio del pozo de agua ($r_0$) en el borde del pozo, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:
El perfil revela que, lejos del pozo, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el pozo, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del pozo. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el pozo, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al pozo, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se extrae a través del pozo.
ID:(10591, 0)
Solución densidad de flujo hacia un pozo
Concepto
La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $r/r_0$ para distintos $r_0/s_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
ID:(2209, 0)
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$
j = j_s0 /(( r / r_0 )*sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 ))
$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $
r * @DIFF( h ^2, r, 1) = h_0 ^2* r_0 / s_0
ID:(15821, 0)
Solución estatica en una dimensión
Ecuación
Podemos estudiar el caso estacionario, lo que implica que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) debe ser constante y, en particular, puede tomar valores en un punto específico representados por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$):
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) dividido por la densidad de flujo ($j_s$) la ecuación
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
en el caso estacionario se reduce a
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
lo que corresponde a que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) por la densidad de flujo ($j_s$) es constante. Si se tienen los valores para un punto en particular, definido por la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$), entonces se tiene que:
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Nota: La ecuación diferencial es una ecuación diferencial ordinaria, ya que depende únicamente de la posición $x$ y no del tiempo $t$ en absoluto.
ID:(15107, 0)
Ecuación del flujo hacia un pozo
Ecuación
En el caso del pozo, podemos utilizar un sistema de coordenadas polares y asumir simetría angular, lo que significa que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) depende únicamente de el radio desde el centro del pozo ($r$) y satisface la ecuación
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Como la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) satisface
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
y en coordenadas polares con el radio desde el centro del pozo ($r$) para el caso de simetría angular, tenemos
$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$
y
$\nabla^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$
obtenemos
$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$
o
$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$
con $C$ como una constante. Por otro lado, la ecuación con la conductividad hidráulica ($K_s$) y la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$)
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
en coordenadas polares con simetría rotacional se reduce a
$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$
lo cual en la superficie del pozo con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) lleva al hecho de que con
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
tenemos
$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$
resultando en
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
.
ID:(4430, 0)
Altura del flujo hacia un pozo
Ecuación
En el caso del flujo hacia un pozo, la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se describe mediante:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
La ecuación para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de el radio desde el centro del pozo ($r$) con el radio del pozo de agua ($r_0$), el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es la siguiente:
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Puede resolverse para facilitar la integración de la siguiente manera:
$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$
Luego, al integrar ambos lados, se obtiene la altura en la pared del pozo con la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y el radio del pozo de agua ($r_0$):
$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$
Finalmente, despejando la altura de la columna de agua en el suelo ($h$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
ID:(10593, 0)
Densidad de flujo hacia un pozo
Ecuación
La solución para la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) dados el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$), y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Con la solución para la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) dados el radio desde el centro del pozo ($r$), el radio del pozo de agua ($r_0$) y el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Podemos calcular la densidad de flujo en más de una dimensión ($\vec{j}_s$) a partir de la conductividad hidráulica ($K_s$) mediante:
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
y con la densidad de flujo ($j_s$) y el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) utilizando
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de esta manera, obtenemos:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
ID:(4368, 0)