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Couler dans un puits
Storyboard 
S'il y a une nappe phréatique à une certaine profondeur et une cavité plus profonde que cette nappe, l'eau commencera à s'y écouler. À mesure que l'eau est extraite à un débit égal à l'afflux de la nappe qui la recharge, un miroir d'eau se formera à une profondeur qui dépend de ce débit.
ID:(2082, 0)
Couler dans un puits
Concept
Dans le cas de l'écoulement de l'eau souterraine vers un puits, a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est représenté par
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ce qui définit le profil de l'eau dans le sol :
ID:(4371, 0)
Solution hauteur d'écoulement vers un puits
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un puits, dans laquelle la valeur de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculée en fonction de le rayon du centre du puits ($r$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le rayon du puits d'eau ($r_0$) au bord du puits, ainsi que le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), a la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $r/r_0$ pour différentes valeurs de $r_0/s_0$, comme suit :
Le profil révèle que, loin du puits, la hauteur de la colonne d'eau est nettement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le puits, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du puits. Dynamiquement, a densité de flux ($j_s$) détermine la quantité d'eau qui s'écoule vers le puits, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) s'ajuste progressivement pour atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est trop faible par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive au puits, elle augmente, et si elle est trop élevée, elle diminue. Ainsi, a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau qui arrive avec la quantité d'eau qui est extraite par le puits.
ID:(10591, 0)
Solution de densité de flux vers un puits
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) nous montre que a densité de flux ($j_s$) est égal à :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $j_s/j_{s0}$ et $r/r_0$ pour diverses valeurs de $r_0/s_0$ de la manière suivante :
a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, tandis que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternative, pour l'augmenter.
ID:(2209, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $
h / h_0 = sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$
j = j_s0 /(( r / r_0 )*sqrt(1 + 2* r_0 *log( r / r_0 )/ s_0 ))
$ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $
r * @DIFF( h ^2, r, 1) = h_0 ^2* r_0 / s_0
ID:(15821, 0)
Solution statique en une dimension
Équation
Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$), l'équation
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
dans le cas stationnaire se réduit à
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) par a densité de flux ($j_s$) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$), alors vous avez :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position $x$ et non plus du temps $t$.
ID:(15107, 0)
Équation de débit dans un puits
Équation
Dans le cas du puits, nous pouvons travailler avec un système de coordonnées polaires et supposer une symétrie angulaire, ce qui signifie que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) dépend uniquement de le rayon du centre du puits ($r$) et satisfait l'équation
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Comme a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) satisfait à
| $ h \nabla^2 h + \nabla h \cdot \nabla h = 0 $ |
et en coordonnées polaires avec le rayon du centre du puits ($r$) pour le cas de la symétrie angulaire, nous avons
$\vec{\nabla}h = \displaystyle\frac{du}{dr}\hat{r}$
et
$\nabla ^2h = \displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh}{dr}\right)$
nous obtenons
$\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{d}{dr}\left(r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}\right)=0$
ou
$r\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=C$
avec $C$ comme constante. D'autre part, l'équation avec a conductivité hydraulique ($K_s$) et a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$)
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
en coordonnées polaires avec une symétrie de rotation se réduit à
$j_s = - K_s \displaystyle\frac{dh}{dr}$
ce qui à la surface du puits avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) conduit à la conclusion qu'avec
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
nous avons
$C=r_0\displaystyle\frac{dh^2}{dr}=r_02h_0\displaystyle\frac{dh}{dr}=2r_0h_0\displaystyle\frac{|j_{s0}|}{K_sh_0}=2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}$
aboutissant à
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
ID:(4430, 0)
Hauteur d'écoulement dans un puits
Équation
Dans le cas de l'écoulement vers un puits, a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est représenté par :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le rayon du centre du puits ($r$) avec le rayon du puits d'eau ($r_0$), le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est la suivante :
| $ r \displaystyle\frac{ dh^2 }{ dr } = 2 h_0 ^2\displaystyle\frac{ r_0 }{ s_0 } $ |
Cette équation peut être réarrangée pour faciliter l'intégration de la manière suivante :
$dh^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\displaystyle\frac{dr}{r}$
Ensuite, en intégrant des deux côtés, nous obtenons la hauteur sur le mur du puits avec a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le rayon du puits d'eau ($r_0$) :
$h^2 - h_0^2 = 2h_0^2\displaystyle\frac{r_0}{s_0}\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)$
Enfin, en réarrangeant a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
ID:(10593, 0)
Densité d'écoulement dans un puits
Équation
La solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$), et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
Avec la solution pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) donnés le rayon du centre du puits ($r$), le rayon du puits d'eau ($r_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\right)} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux dans plus d'une dimension ($\vec{j}_s$) à partir de a conductivité hydraulique ($K_s$) de la manière suivante :
| $ \vec{j}_s = - K_s \nabla h $ |
Et avec a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{ r }{ r_0 }\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 r_0 }{ s_0 }\ln\left(\displaystyle\frac{r}{r_0}\right)}}$ |
ID:(4368, 0)