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Flux provenant d'un canal
Storyboard 
Si un canal se trouve au-dessus du niveau de la nappe phréatique, un flux sera créé du canal vers la nappe phréatique. Ce flux dépend des propriétés du sol et du débit qui se produit dans le canal.
ID:(2081, 0)
Flux provenant d'un canal
Concept
Dans le cas où le flux émerge du canal, une situation se présente où le niveau de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) doit diminuer à mesure que l'on s'éloigne du canal, assurant ainsi l'existence du gradient de pression qui entraîne le flux. Le problème est que si le flux se déplace rapidement à l'intérieur du milieu, la hauteur aura tendance à atteindre zéro et, par conséquent, le flux approchera l'infini, ce qui n'a aucun sens.
Cela signifie qu'il n'y a pas de solution stationnaire dans un tel scénario, et la seule solution est que le milieu se remplisse jusqu'à atteindre la hauteur du canal, devenant ainsi effectivement constant.
La question est de savoir s'il existe une situation stationnaire non triviale qui représente une situation réelle et intéressante. Un cas possible est lorsque le niveau du milieu diminue au point de devenir plus bas que la colonne avant que la solution ne diverge. Ce cas correspond à la situation où le flux émerge à la surface, et il n'y a pas de divergence dans la solution. Cela impliquerait qu'un flux est généré et sort à l'extérieur à un certain point, avec le risque d'affaiblir les fondations et ainsi de déstabiliser le milieu, qui agit comme un barrage.
ID:(4746, 0)
Situation qui répond aux conditions limites
Concept
Si nous considérons une situation où le flux du canal peut émerger à la surface, nous avons une situation où le flux pénètre puis sort du milieu, rendant la solution viable.
L'émergence à la surface implique simplement que la hauteur de la colonne de liquide devient plus élevée que celle du milieu environnant. En fait, de manière similaire au cas du flux vers un canal, cela générerait de l'eau en surface, qui, si elle n'est pas autorisée à s'écouler, formerait effectivement un nouveau canal.
Dans le cas du flux provenant d'un canal, il est possible de modéliser le système de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$) et satisfaisant à la condition suivante :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol, comme indiqué dans l'image suivante :
La clé de l'équation réside dans le fait que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et a densité de flux ($j_s$) doit rester constant en tout temps. Dans ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminuera, et vice versa. De plus, le signe reste le même. Par conséquent, le flux du canal, c'est-à-dire le flux positif, ne se produira que si la hauteur du canal est supérieure à celle du point où le flux émerge. À mesure que le liquide s'éloigne du canal, la hauteur diminuera, et la densité du flux augmentera.
ID:(4370, 0)
Solution de hauteur d'écoulement à partir d'un canal
Concept
La solution de l'équation de flux unidimensionnel depuis un canal, dans laquelle la valeur de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculée en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) au bord du canal, ainsi qu'avec le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), prend la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $x/x_0$ de la manière suivante :
Le profil révèle que la hauteur diminue à mesure que l'on s'éloigne du canal pour maintenir un gradient de pression. Cependant, un problème survient lorsque la distance atteint la moitié de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), car la hauteur de la colonne atteint zéro et il n'y a pas de solution pour des distances plus grandes (l'argument de la racine carrée devient négatif). En d'autres termes, pour que la solution ait un sens, il doit y avoir un mécanisme qui élimine le liquide avant d'atteindre cette distance critique.
ID:(4374, 0)
Solution de densité de flux à partir d'un canal
Concept
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) nous montre que a densité de flux ($j_s$) est égal à :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/x_0$ comme suit :
a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, tandis que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse d'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternative, pour l'augmenter.
ID:(7827, 0)
Barrage I - Mina Córrego do Feijão
Concept
Un exemple illustrant l'effet du flux à travers la base dans le cas d'un barrage est survenu au Barrage 1 de la mine 'Córrego do Feijão' à Brumadinho, Minas Gerais, au Brésil.
Le 25 janvier 2019, le Barrage 1, qui se trouve au centre de l'image, s'est effondré comme le montrent les images de 1 à 6. Initialement, la base a commencé à se déplacer tandis que le sommet a commencé à s'enfoncer. Finalement, un torrent d'eau a émergé de la base alors que toute la structure s'effondrait. Sur l'image centrale inférieure, vous pouvez voir la situation après que le barrage se soit complètement vidé du côté qui le contenait ([1], [2]) :
L'image en haut à gauche montre le barrage avant l'effondrement, et le schéma explique comment l'eau pousse contre la surface de la base (flèches bleues) et fait s'effondrer le centre (flèche beige). Les images montrent à nouveau la structure avant l'effondrement (photo en haut à droite), lorsque la base est forcée, provoquant l'effondrement de la partie supérieure (photo en bas à gauche), et le débit d'eau résultant à la base (photo en bas à droite) [3] :
La dynamique est générée par la forte pression et le débit élevé qui existent à la base, expliquant l'émergence de l'eau par ce chemin.
Dans ce cas, il y avait de multiples signes de danger, ce qui a conduit à une surveillance satellite détaillée du mouvement de plusieurs points pendant plus d'un an. Les points sont indiqués sur la photo supérieure, et sur la deuxième image en bas à gauche, vous pouvez voir un détail de la base. Plus précisément, les points qui ont connu le plus grand déplacement total (Bs et Bp) sont mis en évidence, et ces points sont également représentés sur le graphique à droite. Le graphique montre également la quantité de pluie, qui contribue dans une certaine mesure mais n'est pas nécessairement un facteur clé [4] :
Cet exemple vise à démontrer comment une forte pression à la base, associée à un débit d'eau élevé, contribue à la dynamique observée, sans nécessairement expliquer quand ou comment elle est devenue instable. Cela sera exploré plus en détail par la suite.
[1] Google Earth Pro pour Brumadinho, Minas Gerais, Brésil, janvier 2019 et février 2019
[2] Caméras de la Vale S.A.
[3] Procédure d'Investigation Criminelle n° MPMG-0090.19.000013-4, Enquête de Police n° PCMG-7977979, MINISTÉRIO PÚBLICO DO ESTADO DE MINAS GERAIS
[4] Déformations Précédant l'Effondrement du Barrage de Brumadinho Révélées par des Données InSAR du Sentinel-1 Utilisant les Techniques SBAS et PSI, Fábio F. Gama, José C. Mura, Waldir R. Paradella et Cleber G. de Oliveira, MDPI, Remote Sens. 2020, 12, 3664.
ID:(4378, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $
h * @DIFF( h , x, 1) = - h_0 ^2/ s_0
$ h j_s = h_0 j_{s0} $
h * j_s = h_0 * j_{s0}
$ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $
h / h_0 = sqrt(1 - 2* x / s_0 )
$ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $
j / j_s0 = 1/sqrt(1 - 2* x / s_0 )
ID:(15820, 0)
Solution statique en une dimension
Équation
Nous pouvons étudier le cas stationnaire, ce qui implique que a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$) doit être constant et, en particulier, peut prendre des valeurs à un point spécifique représenté par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Si, pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) divisé par a densité de flux ($j_s$), l'équation
| $\displaystyle\frac{\partial h}{\partial t} = - \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}( h j_s )$ |
dans le cas stationnaire se réduit à
$\displaystyle\frac{d}{dx} (h j_s) = 0$
ce qui correspond au produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) par a densité de flux ($j_s$) étant constant. Si vous avez des valeurs pour un point spécifique défini par a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$), alors vous avez :
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
Note : L'équation différentielle est une équation différentielle ordinaire car elle dépend uniquement de la position $x$ et non plus du temps $t$.
ID:(15107, 0)
Équation de débit à partir d'un canal
Équation
L'équation différentielle pour calculer a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$), a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$) est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Dans ce cas, le signe de la pente est négatif, car la hauteur doit diminuer pour générer le gradient de pression nécessaire au déplacement du liquide.
ID:(4369, 0)
Hauteur d'écoulement d'un canal
Équation
L'équation pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), qui dépend de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), est la suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
La formule pour a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) en fonction de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), dépendant de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), est la suivante :
| $ h \displaystyle\frac{ dh }{ dx } = -\displaystyle\frac{ h_0 ^2 }{ s_0 } $ |
Nous pouvons la réorganiser pour faciliter l'intégration comme suit :
$h dh = -\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}dx$
Ensuite, en intégrant par rapport à $h_0$, la hauteur à l'origine, nous obtenons :
$\displaystyle\frac{1}{2}(h^2 - h_0^2) =-\displaystyle\frac{h_0^2}{x_0}x$
Cela nous conduit à l'expression suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
ID:(2214, 0)
Densité de débit d'un canal
Équation
La solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Avec la solution pour a densité de flux ($j_s$) et le flux à un point de référence ($j_{s0}$) donnée a position de la colonne d'eau au sol ($x$) et le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Nous pouvons calculer a densité de flux ($j_s$) avec a conductivité hydraulique ($K_s$) en utilisant :
| $ j_s = - K_s \displaystyle\frac{ dh }{ dx }$ |
et en utilisant
| $ s_0 \equiv \displaystyle\frac{| j_{s0} |}{ K_s h_0 }$ |
de cette manière, nous obtenons :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 - \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
ID:(4742, 0)